正态过程的定义(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2.2 正态过程的定义定义1 设T为任意参数集，定义在上的随机变量集合称为正态系，如对任意正整数及是维正态向量。特别，当时就称正态随机过程。 本节及下节均设。由2.1节引理2为维正态向量的充要条件是的任意线性组合为正态随机变量，其中实数列不全为零，任意。得：定理1 是正态过程的充要条件为其任意有限多个元素的线性组合是正态随机变量。 下面说明正态分布函数中参数及的概率意义。定理2设的分布函数为，其中，则分析：通过特征函数求期望、方差。证明 的特征函数为 （1） 据2.1节引理2知识正态随机变量，其特征函数可自（1）中令而得，即因而，。其次由公式 得 由上可见正态过程完全

2、由其均值及协方差所决定，由1.1节定理2知是是对称非负定的。上面是先有而得、，下面我们证明其反过来的问题。 定理3 （实正态过程的存在性定理） 设已给参数集，实值函数及对称非负定的二元实值函数，则存在概率空间及定义在其上的实正态过程，使其均值为，协方差为。分析：给定两个实值函数构造实正态过程。证明 对及，构造元特征函数 （2）如此得到的特征函数族满足相容性条件，即及其中是的任一排列。故 据1.1节定理1 设已给参数集及满足相容性条件（A），（B）的分布函数族，则必存在概率空间存在及定义在其上的随机过程使对任意自然数，任意实数及任意，有存在及定义在其上的随机过程使对任意及，维向量的特征函数为（2

3、）。由上面的定理2知 换言之，的均值及协方差函数分别为及。定义2 设与为实过程，称复值过程为正态的，如对任意及为维正态向量。复正态过程存在性定理定理3 对复值函数及也成立，即存在复正态过程使 （3）分析： 证明（4）就有（3）成立 关键是找二元实值过程 从维着手，找出相应的特征函数 （需构造出均值、协方差阵） 实际上，设只要能证存在二元实过程，使得是正态过程且满足即可。因此由知 （5）又由（4），（5）得为证存在满足（4）的二元正态过程，任取并令则是实对称非负定阶矩阵。实际上，对任意不全为零的实数记则一方面另一方面，如令则由的非负定性，我们有 （7）最后一等式是因上式左方为实值，因而右方的虚部都应等于零。由（6），（7）知非负定。今对造元特征函数其中与的关系同前。于是如同定理3，存在二元随机过程，使对任意及的特征函数为（8），由定理2可知（4）满足。专心-专注-专业