函数及图象学生导学案(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数及其图象知识点整理高新育才 程献 一、平面直角坐标系1、在平面内，有_的两条数轴，组成平面直角坐标系注意 1) 坐标平面内的点与_一一对应2） 坐标轴上的点不属于任何象限。2、不同位置点的坐标的特征： 1）坐标轴上点的特征： x轴上点的纵坐标为0，一般记为P（_，_）；x轴可写成直线y=0， y轴上点的横坐标为0，一般记为Q（_，_）；y轴可写成x=0，2）各象限内点的坐标的特征：第一象限：（_，_）； 第二象限：（_，_）； 第三象限：（_，_）； 第四象限 ：（_，_）；3 、点P（x，y）坐标的几何意义 ：1）点P（x，y）到x轴的距离是_；2）点P（x，y

2、）到y轴的距离是_；3）点P（x，y）到原点的距离是_;4、关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征1）点P（a，b）关于x轴的对称点P1（_，_）；2）点P（a，b）关于y轴的对称点P2（_，_）；3）点P（a，b）关于原点的对称点P3（_，_）；5、同一数轴上两点间距离，（1）x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）则AB=|x1-x2|；（2）y轴上两点C（0，y1），D（0，y2），则CD=|y1-y2|。6、过P（a，b）平行于x轴的直线可写成y=b，平行于y轴的直线可写成x=a，第一、三象限的两轴角平分线y=x； 第二、四象限的夹角平分线y=-x。二、函数的概念1、常量 在某问题的研究

3、过程中，保持不变的量叫做常量。变量 在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数 一般地，设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值y都有唯一的值和它相对应，那么说y是x的函数，x为自变量，y是因变量。函数值 如果变量y是自变量x的函数，即y=f（x），那么当x在定义域内取每一个确定的值，如x=a时，变量y都有惟一确定的值与它对应，这个对应值叫做自变量取确定值a时的函数值，通常用记号f（a）来表示函数的图像 对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。3、函数常用表

4、示方法：解析式，列表法，图像法4、函数图像的画法 由函数解析式画函数的图像，一般按下列步骤进行。（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：用表中的对应值作为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点；（3）连线：用光滑的曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来。在描点时，描出的点越多，图像越精确，实际上，一般不可能把所有的点都描出来，只能用光滑的曲线连接描出的一些点，从面得到函数的近似图像。注意：画图象应在自变量取值范围内画5、自变量取值范围：（1）整式时自变量取全体实数；（2）分式时分母不为零；（3）二次根式中被开方数是非负数；（4）a0，a-p中a0；（5）使实际问题有意

5、义. 求自变量取值范围时考虑应周密：例如y=+x2中x0且x2几个常见的函数（一）正比例函数1、函数_（k0的常数）叫做正比例函数2、正比例函数的图像：正比例函数y=kx（k0的常数）的图像是经过坐标原点和（1，_）的一条直线，也叫做直线y=kx根据两点确定一条直线的规律，在画正比例函数的图像时，除了取原点以处，只需另外再取一个点就可以了，一般取符合解析式的整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）描起来较方便。如画函数的图像时，分别取点（0，0）和（2，-1），然后描点、连线即可。3、正比例函数的性质正比例函数y=kx（k0的常数）有如下的性质：当k0时，它的图像在第_象限内，y随x的增大而_；

6、当k0时，它的图像在第_象限内，y随x的增大而_。4、函数的性质应结合它的图像来理解（二）一次函数1、函数y=_ （_常数， _0）叫做一次函数当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数 k0），这时y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特殊情况。2、一次函数的图像一次函数的图像是经过点（0，_）且平行于直线y=kx的一条直线，一次函数y=kx+b的图像也叫做直线y=kx+b。直线y=kx+b与y轴相交于点（0，b）两条直线L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1b2，那么L1 L2，反之也成立。由两点确定一条直线可知，在画一次函数的图像时，

7、只要先描出直线上的两点，再过这两点画一条直线就可以了，当b0时，一般取与坐标轴相交的两点（_，0）、（0，_）较好。3、直线位置与常数的关系k决定直线的方向 k0直线的方向向上；k0直线的方向向下b决定直线与y轴交点的位置： b0 直线与y轴交点在x轴的_；b=0 直线过_点；b0 直线与y轴交点在x轴的_；根据下列一次函数y=kx+b(k 0)的草图回答出各图中k、b的符号：4、一次函数的性质：与正比例函数的性质一样，当k0，y随x的增大而_；当k0，y随x的增大而_。5、一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b（k0），当y=0时，即对应一元一次方程y=kx+b（k0），也就是说一

8、次函数y=kx+b（k0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程y=kx+b（k0）的根。6、求一次函数表达式：待定系数法由已知条件，先设一个式子中的未知系数，然后根据已知数据求出未知系数，从而法语出这个式子的方法叫待定系数法。说明：求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一般都采用待定系数法。7、一次函数图像与坐标轴交点： 直线y=kx+b（k0）与x轴交点（_，0），与y轴交点（0，_），与两坐标轴围成的三角形的面积_（三）反比例函数1、函数y=（k0的常数）叫做反比例函数，也可以说y与x成反比例，函数中的x0。 与正比例函数一样，确定了k值，就可以确定一个反比例函数。反比例函数y

9、=还可表示成y=kx-1的形式。2、反比例函数的性质 当k0时，它的图像的两个分支分别在第_限内，在每个象限内，y随x的增大而_。当k0时，它的图像的两个分支分别在第_象限内，在每个象限内，y随x的增大而_。图像的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。注意：用性质时，要注意“在每个象限内”这个条件。3、k决定双曲线的位置 k0 图像的两个分支分别在第_ 象限内。k0 图像的两个分支分别在第_ 象限内。4、k的几何意义 过双曲线y=（k0） 上任意一点P引x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，则矩形PBOA的面积为 _ , POB的面积为_（四）二次函数1、 函数y=ax2+bx

10、+c（其中a、b、c是常数，a0）叫做二次函数2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，它是一个轴对称图形，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。3、二次函数常用的两种表达形式二次函数的解折式有两种常用的表达形式：一般式、顶点式。两根式中x1、x2是抛物线与x轴相交的两个交点的横坐标，即方程ax2+bx+c=0的两个实根。 二次函数解析式的两种常用表达形式各有其优点，可以根据不同需要互相转化，如一般式通过配方可化为顶点式。4、二次函数的性质 a0时，抛物线的开口向_，顶点是它的最_点；a0时，抛物线的开口向_，顶点是它的最_点；a决定抛物线的开口_和开口_。越大，开口越_。抛物线的对

11、称轴是直线x=_，顶点坐标是（_，_） 如果抛物线用顶点式y= a（xh）2+k表示时，那么对称轴是直线x=_，顶点坐标是（_，_） 当b=c=0时，二次函数为最简单的二次函数y=ax2。当b、c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与y=ax2的图像的形状相同，位置不同，可以通过适当的平移，使两个图形重合，如把二次函数y=(x1)24的图像，向左平移一个单位，向上平移四个单位，即与y=3x2的图像重合。画二次函数的图像时，应先求出它的对称轴和顶点坐标，然后利用它的对称性列表取点，如取与y轴的交点及基本对称点，如果图像与x轴有两个交点，取这两个交点等，最后描点连接，就可画出二次函数的图

12、像。5、抛物线中间由a、b、c决定： a0 开口向_ a决定抛物线的开口方向 a0 开口向_ c决定抛物线与y轴交点的位置：c0 图像与y轴交点在x轴的_方；c=0 图像过_点； c0 图像与x轴交点在x轴的_方。a、b决定抛物线对称轴的位置： （对称轴：x=）a、b同号 对称轴在y轴_ 侧； b=0 对称轴是y轴；a、b异号对称轴在y轴_ 侧。=b24ac决定抛物线与x轴交点情况：0 抛物线与x轴有两个不同交点；=0抛物线与x轴有惟一公共点（相切）；0抛物线与x轴有无公共点。6、二次函数的最值二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a0）中，如果a0，那么当x=时，函数y有最小值

13、，记作y最小值；如果a0，那么当x=时，函数y有最大值，记作y最大值；所谓最值就是最大值或最小值，二次函数取最大值或最小值是与决定图像开口方向的a有关。二次函数的最值反映到图像上，就是最高点或最低点，也就是顶点的纵坐标。7、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a0），当y0时，即对应一元二次方程ax2+bx+c0（a0），也就是说，二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程ax2+bx+c0（a0）的根。当=b24ac0时，由于一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根，所以抛物线y=a

14、x2+bx+c与x轴有两个交点。当=b24ac0时，由于一元二次方程ax2+bx+c0有两个相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一交点，即抛物线的顶点；当=b24ac0时，由于一元二次方程ax2+bx+c0没有实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点。8、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。9、会用二次函数来解决有关实际问题（五）分段函数自变量的取值范围分成几段，函数在每段上都用相应的函数解析式表示，这样的函数叫做分段函数。（六）常见题解法及思路1、直角坐标系问题其实就是各特殊点、象限点的坐标问题，只要掌握各点坐标特征，问题就可迎刃而解。2、对于函数问题，

15、其概念理解应全面，应注意三点：1）两个变量x与y；2）变量y的值随变量x的值变化而变化；3）对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应。3、画函数图像的一般方法是：列表、描点、连线4、灵活掌握各特殊函数本身的定义、表达式特征、图象、性质，其中也包括函数的对称性和增减性，并且由数形结合思想将表达式、图象、性质三位一体。如：会由函数图象来判断解析式的系数符号，或由一些对图象的描述性语言来判断解析式的系数符号。5、求两个函数的交点问题，把两个解析式组成方程组，方程组若有解，则为交点坐标6、用待定系数法求函数解析式的方法1）有几个待定的系数，就要有几个条件来列出相应的方程（组）计算。2）由了解各特殊函数

16、中系数的作用来进行计算，如：一次函数y=kx+b1与y=kx+b2（k0），由于x的系数相同而知两直线平行，反之亦然。又如：二次函数y=ax2+bx+c（a 0），与y=x2的图像形状相同，则意味着a=等，这些也可作为用待定系数法时使用的条件。3）在二次函数中，其待定系数法可用解析式不只是标准式y=ax2+bx+c（a0）还有其他在特殊条件下使用的可使运算简便的解析式。如：顶点式y=a(x-h)2+k，（a0）当给定函数的顶点为p(h , k)时使用。7、一次函数图像与x,y轴所围成三角形与四边形的面积问题8、抛物线与x轴两交点（x1，0），（x2，0）则对称轴，又P(-1,5),Q（3,5）

17、在抛物线上，则对称轴x=19、有些求线段和、差的最值常常是利用点的对称来解决.例：已知A（1，3），B(2,1)在x轴上求一点, P1使AP1+BP1最小； P2使最大 已知C(3,3),D(,-1)在x轴上求一点, Q1使最大； Q2使CQ2+DQ2最小；解：如图B（2，1）关于x轴对称B(2,-1),直线AB与x轴交点即为所求AP1+BP1最小点P1（,0）； 直线AB与x轴交点即为P2（）如图 D关于x轴对称点D（）直线CD与x轴的交点即为所Q1（）；直线CD与x轴的交点Q2（）让复习不走弯路的四个小窍门 常常看到在大大小小的数学考试后，一些同学大呼小叫：这道题我本来会做的，可惜不是这里

18、看错了，就是那里算错了；还有一些同学在考试过程中，对于“难题”百思不得其解，可是交卷之后，并没有得到别人的任何帮助，便想出了解题的方法。上述这些现象我们将如何面对，争取不走弯路或少走弯路？对此我向大家提出几点建议，希望对同学们的学习有所帮助。1、钻研课本，打好基础在数学复习中，首先应将课本中的基本概念、法则、公式、性质、公理、定理及解答问题中常用的一些基本数学思想方法进行梳理，注意挖掘和发挥课本中例题、习题的潜在功能，归纳整理基础知识、基本技能。2、练习重效率，切忌好高骛远。做练习题若不注意消化吸收，只是一味地贪多求快，轻易重难，则会劳而无功。复习时，一要落实课本中练习、习题以及读一读、想一想

19、、做一做等探索性内容，二要精选近年来各地中考试题中的优秀试题，进行强化训练，不能贪多求快，要注意练习的效率3、注重反思解题的思维过程，提高思维能力。平时做练习时，注重反思解题的思维过程、探索过程、自己出错的原因和思维的断层。解题时，要注意观察已知条件和需解决的问题的特点、挖掘其背后隐含信息、联想有关的已学知识、寻求解决问题的突破口；解题后应反思，此题的解法自己是怎么想出来的，通过解题自己受到了什么启发，特别是在解答时曾感困难的问题，更应思考在什么地方遇到了困难，造成困难的原因是什么，由此又可吸取什么经验、教训等等。 4、树立自信，保持好心态。良好的心态对理科考试尤为重要，也是思路顺畅的前提。过度紧张会导致思路不清，计算错误或做不出题。学会自我调控情绪，培养自信心，以积极的心态面对考试。 最后祝愿同学们成功在中考考场！专心-专注-专业