基于PASCO系统的混沌摆实验_韩晓茹.docx

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1、 基于 PASCO系统的混沌摆实验 韩晓茹，傅筱莹，彭可鑫，向勇，陈建育，金立 (浙江理工大学理学院，浙江杭州 310018) 摘要：基于 PASCO系统研制了受周期外力驱动的混沌摆实验仪，调节混沌摆系统的参量可演示非线性动力学特 征行为，描绘了无驱动及有驱动下的系统相位图，并分析了初值敏感性、奇异性（奇异吸引子 ） 现象 .应用混沌摆的动力 学方程，进行 Matlab仿真实验 .实验结果表明：混沌摆实验系统动力学的性质依赖于振动频率值，系统驱动振幅必须大 于一定阈值是混沌相出现的必要条件 . 关键词：混沌； PASCO系统；转动传感器；混沌摆；数值模拟 中图分类号： 415.5 文献标识码

2、： A 文章编号： 1005-4642(2011)11-0005-05 1 引言 混沌现象亦称 “ 蝴蝶效应 ” fr3，这种现象普遍 存在于物理学、化学、电子学、生物学和社会学等 科学领域 .近年来许多学者通过非线性电路对混 沌行为进行了广泛地研宄，其中最典型的是由美 国 Berkeley大学的 Leon 0 Chua提出的蔡氏电 路（ Chua s circuit )，它是能产生混纯行为的最 小、最简单的三阶自治电路 w .但是，采用力学装 置呈现混沌现象的实践在国内外都相对少见 如果借助原理浅显、结构简单的实验装置来呈现 混沌的特性，可以使学生较好地理解和掌握混沌 知识 .本文主要完成了

3、基于 PASCO系统的混 沌摆实验仪的研制，利用 PASCO系统高性能的 传感器采集信号，在计算机科学工作室软件 DataStudio上进行实验，呈现了混沌的基本特征， 并对该过程实现了 Matlab数值模拟 . 2 实 验 原 理 与方法 工作室输入计算机，最高采样频率为 250 kHz. 3)数据采集软件 .包括 240个预设的物理实 验，可进行多种实验数据的显示形式和处理功能 . 2. 2实验仪构建 所需仪器主要由下面几部分组成 ： PASCO 系统750接口、 0 30 V直流稳压电源、圆盘、机 械震荡驱动器、转动传感器、偏心铜圆柱、 120 cm 长钢杆 （ 2根）、 45 cm长钢

4、杆 （ 1根）、底座 （ 1个）、 细线和弹簧 .电源用于输出驱动电压，万用表可 测量对应电压的实际值 .该装置实物图见图 1. 2.1 PASCO系统简介 PASCO系统是采用传感器和数据采集接 口，利用电脑进行控制和数据采集的物理实验系 统，主要包括 3部分： 1) 传感器 .现有传感器 60余种 . 2) 数据采集接口 .将传感器的数据通过科学 图 1 PASC.O系统混沌摆实验仪实物图 使用 DataStudio程序：启动科学工作室，选 择转动传感器并连接到模拟通道 A， 选择转动传 感器并连接到数字通道 1和 2.利用转动传感器 来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率 .选 收稿日期

5、 =2011-06-30;修改日期 =2011-08-29 资助项目：浙江省新世纪高等教育教学改革项目 （ No. ZC2010020);物理实验省级示范中心 （ No. SB1002001-E);校级 教改项目 （ No. EL1108) 作者简介：韩晓茹 （ 1989 ），女，山东龙口人，浙江理工大学理学院应用物理专业 2008级本科生 . 通信作者：金立 （ 1972 ），男 .浙江杭州人，浙江理工大学理学院高级实验师，硕士，从事物理实验教学与伩器开发 . 6 物 理 实 验 第 31卷 图 2 无 外 部 策 动 力 时 的 系 统 相 图 取平滑函数 “ Smooth(， :c)”

6、， 设置图表中的横坐 标为角度 （ rad)，纵坐标为角速度 （ rad/s). 通过电机的驱动使曲柄连杆做周期性圆周运 动引起圆盘在外力的作用下做混沌摆运动，转动 传感器记录它的运动并传输到计算机进行处理， 描绘出图像 . 2.3实验原理 混沌摆的动力学方程 7为 (1) 其中磁阻尼系数为 p弹簧的劲度系数为 A表 示转轮的转角； AL。 是初始位置时弹簧伸长 ， Lm 和 L。 分别为初始时刻和 f时刻外部策动振幅， ( 2) (3) 式中彡。为初始相角， co为策动力角速度，为策 动振幅， La和 Lb表示外部策动力与转轮的距离 . 为方便讨论动力学性质，式 （ 1)可改写为如下 的标准

7、一阶微分方程形式： (4) 式中转轮的内外半径分别为 r， i?， 质量为 M， 转轮 圆盘的转动惯量 J=Mi?2/2， J。 为偏心铜圆柱的 转动惯星 ， AL = LC Leo+ZXLwAdCo和的初始 值作为系统的可调节参量 .为简单起见，对系统 动力学性质没有影响的弹簧初始伸长和外部策动 力的初相位分别取么乙。 =0,56。 = 1171： /18. 当无外部策动力 （ AL = 0)和磁阻尼系数 (/ = 0)时，该装置构成保守动力学系统 .式 （ 4)简化为 (5) 系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感 . 当有外部策动力和阻尼存在时，该系统成为 耗散动力学体系，表现出许多复杂

8、的动力学性质， 这些性质依赖于驱动振幅 A。、 振动频率和转动 初始角 0等可调节实验参量 .具备了产生混沌现 象的基本条件 8:方程右侧至少有 1个非线性项 ; 至少有 3个变量 . 为方便理解混沌现象，对上述动力学方程应 用 Matlab作了数值模拟，定义和表示圆周率 7T. 当无外部策动力 （ AL = 0)时，系统在不同的初始 角度 0=扣 /6,和 /4,扣 /2下的数值模拟图像如图 2所示 .由图可知，当系统没有出现混沌时，系统 对初始值不敏感 .外部策动力条件下，不同条件 下的系统相图如图 3所示 .同理，在实验中通过 改变参量出现的双周期、三周期、多周期这些特殊 的图像通过数值

9、模拟也能实现，如图 4所示 . 图 3 有 外 部 策 动 力 时 的 系 统 相 图 第 11期 韩晓茹，等：基于 PASCO系统的混沌摆实验 7 (d)Ae = l. 2， w= 7 = 扣 /3,五周期 图 4 不 同 条 件 下 的 特 殊 相 图 已测参量：转轮外半径 i? = . 048 m， 内半径 r=0. 024 m,质量 M=0. 118 2 kg,偏心铜圆柱质 量 m = 0. 014 5 kg， L = 0. 048 m， 弹簧劲度系数 = 2 =2. 4 N . m 1， La = 0. 05 m，Lb=0. 16 m. 从混沌摆的相轨迹 （ PASCO仪器上呈现的

10、相图）很容易判断是否为混沌运动，为方便比较混 沌现象，特定几个特殊的初始相位，即心 . 3. 1无驱动情况 改变摆角初始值，为 0= ， 2 ， 4 .实验结 果如图 5所示 .从相位图表现可知在无驱动时混 沌摆作振幅衰减运动，当系统没有出现混沌时，系 统对初始值不敏感 . 从数值模拟结果发现，系统动力学性质依赖 于驱动振幅 A。 和 振 动 频 率 对 于 一 个 非 线 性 系统，依次改变系统的参量，可以出现从无序向有 序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现 混 纯现象 . 3 PASCO系统混沌状态测试 8 物 理 实 验 第 31卷 3.2.2 可变驱动电压 逐渐增大驱动电压，从而

11、增加驱动频率下得 到如图 7所示的相位变化图 .从实验结果可知， 在一定范围内当混沌摆的驱动电压越大时驱动频 率越大，系统的运动越趋于复杂 .当驱动电压较 小时，如 1周期、 2周期所示结果都是周期运动的 相图 .当驱动电压达到一定时就出现了混沌现 象，如单吸引子与双吸引子所示结果就是混沌现 象的相图 . 3.2有源驱动情况 3. 2. 1 固定驱动电压 驱动一定 (V=5.2 V)的情况下，改变摆角初 始值分别为 0=1 ， 135， 15 .实验结果如图 6 所示 .相位图表现为混沌现象，并且各个初值对 应的相位图差异很大 .比较图 6发现系统从双吸 引子逐渐向单吸引子改变，当系统出现混沌

12、时，系 统对初始值很敏感 . 由单吸引子与双吸引子现象可知，当驱动频 率达到一定值时系统从周期运动逐渐出现混沌现 象 .当角度初始值稍微改变时系统的运动情况却 变化很大，可以出现混沌运动，也可以出现周期运 动，这就是混沌系统的初值敏感性的基本特征 . 观察奇异吸引子相图，当相图存在吸引子现 象时，吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附 近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳 回原来的循环 .对应于混 沌摆的实际运动，则是 铜圆柱时而做周期运动时而角度超过 360，有时 可以一直不停旋转多圈，然后再作周期运动 .尽 管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但 是相轨道总不会超出边界，也绝不会

13、自相重复 . 通过上述实验的手段，依次改变 PASCO混 沌摆系统的参量，系统由稳定有序逐渐失稳，开始 分岔，系统由有序到无序 .同时可以出现从无序 向有序的转变，随着有序程度不断地增加，最后会 观察到混沌现象，从而可得出结论：混沌是一种确 定的系统中出现的貌似不规则的有序运动 . 4 结 束 语 基于 PASCO系统设计了受周期外力驱动的 混沌摆，采用转动传感器采集数据，并用 Matlab 进行了数值模拟 .基于 PASCO系统开发传统实 验，其实验内容融合了激光技术、传感器技术、信 息存储和光电技术应用 91()=等，可以培养学生的 实验能力、分析与研宄能力，提高创新能力，并使 学生在自主

14、学习和训练过程中可以检验自己的能 力，展示个性才华，使综合实验能力得到提高 . 参考文献： 1 Mccauley J L. Nonlinear dynamics and chaos theory M. Stockholm： Royal Swedish Academy of Sciences Press, 1991:52-85. 2 梁勇，温吉华 . 将 混 沌 引 入 大 学 物 理 教 学 的 探 讨 J.滁州学院学报， 20 5,7(4) :99-101. 3 郝柏林 . 从 抛 物 线 谈 起 混 沌 动 力 学 引 论 M. 上海：上海科技教育出版社， 1993:5-18. 4 Chu

15、a L 0， Wu Chaiwah， Huang Anshan, et al. Au- niversal circuit for studying and generating chaos part II： Strange attractors J. IEEE Transactions on Circurts and Systems, 1993,40(10) ： 745-761. 5 李明，于艳春，李冠成，等 .混沌理论及现象实验仪 的研制 J.实验技术与管理， 2005， 22(1): 59-64. 6 程敏熙，曾碧芬，刘惠娜，等 .周期性外力驱动的混 沌摆 J.物理实验， 2009,29(

16、1):7-13. 7 朱桂萍，王健 .混沌摆系统的动力学分析和数值模拟 J.扬州大学学报（自然科学版）， 2008， 11(3):27-30. 8 陈士华，陆君安 .混沌动力学初步 M 武汉：武汉 水力水电学院出版社， 1998:137-154. 9 朱海平 .PASCO实 验 在 物 理 教 学 中 的 应 用 J.丽 水学院学报， 2007,29(2) :89-91. 10 彭东青，刘志高，黄宏炜 .基于 PASCO系 统 的 物 质折射率测量 J.物理实验， 2008， 28(2):33-35. Chaotic pendulum experiment based on PASCO sys

17、tem HAN Xiacru, FU Xiacying, PENG Kxin, XIANG Yong, CHEN Jian-yu, JIN Li (Faculty of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China) Abstract： A development of chaotic pendulum instrument was made, which could demonstrate chaos phenomenon driven by periodic force based on PASCO system

18、. Adjusting the parameters of the chaotic pendulum instrument, the system could demonstrate different nonlinear dynamic actions? plot phase diagram sunder situations with or without driving force? and then analyzing sensitivity to the initial value and singularity. Using the dynamic equation for the

19、 chaotic pendulum, the simulation experiment based on Matlab was carried out. The results indicated that the properties of the chaotic pendulum dynamic system were sensitive to the driving frequency, and a threshold value of the driving amplitude existed for the appearance of chaos phase. Key words： chaos； PASCO system； rotation sensor； chaotic pendulum； numerical simulation 责任编辑：任德香