2022年《概率论与数理统计教程》沈恒范著期末复习重点2.pdf

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1、概率论与数理统计教程期末复习提要第一章随机事件与概率1事件的关系ABABAABBABA2运算规则（1）BAABABBA（2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP（2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P（5）)(1)(APAP（6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()()()()(

2、ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA,独立)()()(BPAPABP（注意独立性的应用）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

3、 -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 第二章随机变量及其分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（ 1）0ip， （2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（ 1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(； （3）对任意Ra，0)(aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pBpXP)1(，pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2, 1 ,0,)(，npnpqPoisson分布)(P,

4、2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1,)(1kpqkXPkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(，2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24 分布函数)()(xXPxF，具有以下性质（1）1)(,0)(FF； （2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6） 对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数， 且在)(xf连续点上，)()(xfxF5 正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布)

5、1 , 0(N的分布函数，则有（1）5.0)0(； （2）)(1)(xx； （3）若),(2NX，则)()(xxF；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （4）以u记标准正态分布)1 ,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP6 随机变量的函数)(XgY（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（ 2 ）X连 续 ，)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一 阶 连 续 导 数 ， 则|)(|)()(11ygyg

6、fyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1 二 维 离 散 随 机 向 量 ， 联 合 分 布 列ijjipyYxXP),(， 边 缘 分 布 列iipxXP)(，jjpyYP)(有（1）0ijp； （2）ijijp1； （3）jijipp，iijjpp2 二维连续随机向量，联合密度),(yxf，边缘密度)(),(yfxfYX，有（1）0),(yxf； （ 2）1),(yxf； （3）GdxdyyxfGYXP),(),(；（4）dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(3 二维均匀分布其它0,),(,)(1),(GyxGmyxf，其中)(Gm为G的面积4 二维正态

7、分布),(),(222121NYX，其密度函数（牢记五个参数的含义）2222212121212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf且),(),(222211NYNX；5 二维随机向量的分布函数),(),(yYxXPyxF有（1）关于yx,单调非降；（2）关于yx,右连续；（3）0),(),(),(FyFxF；（4）1),(F，)(),(xFxFX，)(),(yFyFY；（5）),(),(),(),(),(111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP；（6）对二维连续随机向量，yxyxFyxf),(),(2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

8、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6随机变量的独立性YX ,独立)()(),(yFxFyxFYX（1）离散时YX,独立jiijppp（2）连续时YX,独立)()(),(yfxfyxfYX（3）二维正态分布YX ,独立0，且),(222121NYX7随机变量的函数分布（1）和的分布YXZ的密度dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时iiipxXE)(，iiipxgXgE)()(；(2) 连续时dxxxfXE)()

9、(，dxxfxgXgE)()()(；(3) 二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(； （5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovbYaXCov

10、XYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX ,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD4相关系数)()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY5k阶原点矩)(kkXE，k阶中心矩kkXEXE)(第五章大数定律与中心极限定理1Chebys

11、hev 不等式2)(|)(|XDXEXP或2)(1|)(|XDXEXP2大数定律3中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE， 则),(21nnNXnii近似， 或),(121nNXnnii近似或)0,1(1NnnXnii近似，（ 2） 设m是n次 独 立 重 复 试 验 中A发 生 的 次 数 ，pAP)(， 则 对 任 意x， 有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX，则),(npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均

12、值niiXnX11（)(XE，nXD2)(） ；样本方差niiXXnS122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(2222212nXXXn，其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1 , 0(N，若)(),(2212nYnX且独立，则)(212nnYX；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5

13、页，共 6 页 - - - - - - - - - - （2）t分布)(/ntnYXt，其中)(),1 ,0(2nYNX且独立；（3）F分布),(/2121nnFnYnXF，其中)(),(2212nYnX且独立，有下面的性质),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布（1）)/,(2nNX；（2）)()(11222nXnii；（3）)1() 1(222nSn且与X独立；（4）)1(/ntnSXt；（5）)2()()(21212121nntnnnnSYXt，2) 1()1(212222112nnSnSnS（6）)1, 1(/2122222121nnFSSF第七章参

14、数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数； （2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （4）令导数或偏导数为 0， 解出极大似然估计 （如无解回到 （1）直接求最大值， 一般为 minix或 maxix）3估计量的评选原则(1)无偏性：若)?(E，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间2已知nxu/2nux2未知nsxt/)1(2nsntx2未知222)1(sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -