2022年微积分知识点总结9-4- .pdf

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1、第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的链式求导法则为：口诀：分段用乘，分叉用加。多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）xvvzxuuzxz口诀：分段用乘，分叉用加。yvvzyuuzyzxzzfxfxu口诀：分段用乘，分叉用加。yzzfyfyu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - xvvfxuufxw口诀： 分段用乘， 分叉用加。yvvfyuufywzvvfzuufzwxvvfxuufxz口诀：分段用乘，分叉用加。

2、yvvfyuufyz根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则：（做题时，一次可能只会用到一个- 用到那个就写那个，不必全部写出了。）xvvfxuufxz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufyzxvvfxuufxf111口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufyf111xvvfxuufxf222yvvfyuufyf222xvvfxfxf口诀：分段用乘， 分叉用加。yvvfyf（简单！ ）

3、（因为图中：红色线段有3 条；蓝色线段只有2 条。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从最后一题的解题过程中就能看出来。 ）xvvfxfxf111口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf11xvvfxfxf222口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf22三、 1. (11-7)已知函数(,)zf xy xy，其中f具有二阶连续的偏导数，求2zx y。精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

4、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设yxu，xyv，（这两个属于具体函数）则vufz,（这个属于抽象函数）对式，把y看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写出它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函数的记号后面标出它的“自变量”-因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”有几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然”。 ）yffxvvfxuufxz?121对式，把x看作常数，由链式

5、法则和函数的和、积求导法则得：?)()(222112yvvfyuufyfyvvfyuufyxz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - )1(1222121211xffyfxff222121211xyfyffxff（）2221211)(xyfffyxf注：1fvuf,1vufu,uz（这些记号都是为抽象函数准备的！ ）2fvuf,2vufv,vz（具体函数不需要这些记号！ ）11fuf1；21fvf112fuf2；22fvf2xvvfxf

6、xf口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf（简单）三、 1. (07-7)设xyxxfz,，其中f具有连续二阶偏导数，求xyz2和yxz2。解：本题考查的知识点是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 多元复合函数的高阶偏导数设xyv，（这个属于具体函数）则vxxfz,（这里面既有具体函数又有抽象函数-其中，x为具体函数；vxf,为抽象函数。）yvvfyf（下面用到的就是这一个）先求xyz2对式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法

7、则得：?xfxyvvfxyz12vxff,22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - xvvfxfxf222（下面用到的就是这一个）对式，把y看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：2222122221222fxyfxyffxvvfxfxyz?设xyv，（这个属于具体函数）则vxxfz,（这里面既有具体函数又有抽象函数）再求yxz2xvvfxfxf（下面用到的就是这一个）对式，把y看作常数，由链式法则和函数求导法则得：?221,xyff

8、xvxfxvvfxfxvxfxzvxfxyvxxfvxf,21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - yvvfyf（下面用到的就是这一个）yvvfyf11（下面用到的就是这一个）yvvfyf22（下面用到的就是这一个）对式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：?yvvfxyvxfxyvvfxyvvfyxz2212,1?xfxyfxxfxxf1111222122222212211fxyfxffx22212fxyf22221fxyf

9、xyz2比较xyz2和yxz2的求解过程， 可以看出：xyz2比yxz2的求解过程要精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 简单得多。这是因为在中，y的关系简单。注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关， 所以就可以自由选择次序-优先选择关系少的变量（在本题中， 显然 y 的关系少， 这样优先选择 y 就会简单的多。） ！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -