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1、定义证明二重极限第一篇：定义证明二重极限定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数

2、。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0 户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周。成立，则称a为函数人p)当pp。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正

3、无穷时，(inx/x2)的极限为0;(2)证明数列xn，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx 0,x2 0,故lnx/x2 0且lnx1),lnx/x2 (x-1)/x2.而(x-1)/x2极限为0故(inx/x2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=a时,显然极限为ax0 a时,xn-x(n-1)=/2 0,单调递减且xn=/2 a,a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=a同理可求x0 a时,极限亦为a综上,数列极限存在,且为(一)时函数的极限：

4、以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=2函数极限的性质(3学时)教学目的：

5、使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限

6、性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第二篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limxx0yy

7、0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limxx0yy0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limxx0yy0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx0y0x+yx2+y2=0,但是

8、若沿曲线x2y-(x2+y2)=0(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(202*)0l_0l02_02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x10yy0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，y

9、o)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i10ry0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜iogx，yyy0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。3当沿曲线y=-x+x2趋于(00)时，极限为lim(-x2+x3)/x2=-1;当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx2/2x=0。故极

10、限不存在。4x-y+x2+y2f(x,y)=x+y它的累次极限存在：x-y+x2+y2limlim=-1y- 0x- 0x+yx-y+x2+y2limlim=1x- 0y- 0x+y当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)- (0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。第三篇：用极限定义证明极限例1、用数列极限定义证明：limn?2?0 n?n2?7n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n 2；不等号（

11、1）成立的条件是2 n；不等号（2）成立的条件是7 n；n4，即n 2；不等号（4）成立的条件是n?，故取n=max7, 2?44。这样当n n时，有n 7，n?。 ?4 因为n 7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n?，所以不等号（3）成立的条件是1?|不等式（4）能成立，因此当n n时，上述系列不等式均成立，亦即当n n时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|?。 n2?7n的方法，因此，对于具体的数，2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 knn?4?0 n?n2?n?1n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2? n?n?

12、1n?n?1n?n?1n2n22不等号（1）成立的条件是n?,故取n=max4, ,则当n n时，上面的不等式都成?例2、用数列极限定义证明：lim立。注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2?n?1?n2n2?n?1?nn?n?n22n(n?1)2?n?1(?1)n例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1)(?1)n1(1)1(2)证明：?0(设0?1)，欲使|an?0|?|?成立 22(n?1)(n?1)n?111?解得：n?1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n?1?1数n都是成立的，因此取n?1，则当n n时，不等号（

13、2）成立，进而上述系列等式由不等式?和不等式均成立，所以当n n时，|an?0|?。在上面的证明中，设定0?1，而数列极限定义中的?是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?1，则n?1就有1?可能不是正整数，例如若?2，则此时n1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?1，这样就能保证n是正整数了。那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已经证明的结论，当?0.5时，有对应的n1，当n n1时，|an?0|0.5成立。因此，当nn1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立：|an?0|0.51?，亦即对于所有大

15、立，同函数极限的定义可得x+时，sinx/x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2证明：对于任意给定的 0，要使不等式|1-4x2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1| 成立，只需要0 |x+1/2| /2成立.所以取=/2,则当0 |x+1/2| 时，必有|1-4x2/2x+1-2|=|2x+1| ，由函数极限的定义可得x-1/2时，1-4x2/2x+1的极限为2.注意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正

16、无穷。把maxa1,.am记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b a =0,m 那么存在n1,当x n1,有a/m =f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x n2时，0 =f2(x)同理，存在ni，当x ni时，0 =fi(x)取n=maxn1,n2.nm;那么当x n,有(a/m)n =f1(x)n =f1(x)n+.fm(x)n所以a/m =(1/n)对n取极限，所以a/m =g(x)n时成立;令x趋于正无穷，a/m =下极限g(x) =上极限g(x) 注意这个式子对任意m 1,b a都成立，中间两个极限都是固定的数。令m趋于正无穷，b趋于a;有a =下极限g(x) =上极

17、限g(x) 这表明limg(x)=a;证毕;证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。还有个看起来简单些的方法记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷;g(x)=maxf1(x),.fm(x);然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。有种简单点的方法，就是maxa,b(请继续关注)=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。2一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号

18、:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本

19、性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下

20、几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例72第五篇：函数极限的定义证明习题1?31. 根据函数极限的定义证明:(1)lim(3x?1)?8;x?3(2)lim(5x?2)?12;x?2x2?4?4;(3)limx?2x?21?4x3(4)lim?2.x?2x?121证明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?

21、9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|? , 只须|x?3|?.31证明因为? ?0, ?, 当0?|x?3|?时, 有|(3x?1)?8|? , 所以lim(3x?1)?8.x?331(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|? , 只须|x?2|?.51证明因为? ?0, ?, 当0?|x?2|?时, 有|(5x?2)?12|? , 所以lim(5x?2)?12.x?25(3)分析|x?(?2)|?.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)?|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)?, 只须x?2x?2x?2x2?4x2

22、?4?(?4)?, 所以lim?4.证明因为? ?0, ?, 当0?|x?(?2)|?时, 有x?2x?2x?2(4)分析 1?4x3111?4x31?2?, 只须|x?(?)|?.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?12221?4x3111?4x3?2?, 所以lim证明因为? ?0, ?, 当0?|x?(?)|?时, 有?2.12x?12x?122x?2. 根据函数极限的定义证明:(1)lim1?x32x3sinxx?1;2(2)limx?x?0.证明 (1)分析|x|?11?x32x311?x3?x3?22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11?,

23、只须?, 即322|x|2?.证明因为? ?0, ?x?(2)分析sinxx?0?12?, 当|x|?x时, 有1x1?x32x311?x31?, 所以lim?.x?2x3221x?, 即x?sinxx|sinx|x?, 要使sinx证明因为?0, ?x?2, 当x?x时, 有xsinxx?0?, 只须?.?0?, 所以limx?0.3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2| ?时, |y?4| 0. 001？解由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2|x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要|x?2|?

24、0.001?0.0002, 取?0. 0002, 则当0?|x?2|?时, 就有|x2?4|?0. 001.5x2?1x?34. 当x?时, y?x2?1x2?3?1, 问x等于多少, 使当|x| x时, |y?1| 0.01?解要使?1?4x2?3?0.01, 只|x|?3?397, x?.0.015. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.x|x|6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.xx证明因为xlimf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?xlimf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0

25、?limf(x)?limf(x),?x?0x?0所以极限limf(x)存在.x?0因为lim?(x)?lim?x?0x?0|x|?x?lim?1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?xlim?(x)?lim?x?0x?0lim?(x)?lim?(x),?x?0x?0所以极限lim?(x)不存在.x?07. 证明: 若x?及x?时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a.x?证明因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以? 0,x?x?x1?0, 使当x?x1时, 有|f(x)?a|? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|? .取x?ma

26、xx1, x2, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|? , 即limf(x)?a.x?8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则? 0, ?0, 使当0 |x?x0| ? 时, 有|f(x)?a| ? .因此当x0? x x0和x0 x x0? 时都有|f(x)?a| ? .这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则? 0,?1 0, 使当x0?1 x x0时, 有| f(x)?a ?2 0, 使当

27、x0 x x0+?2时, 有| f(x)?a| ? .取?min?1, ?2, 则当0 |x?x0| ? 时, 有x0?1 x x0及x0 x x0+?2 , 从而有| f(x)?a| ? ,即f(x)?a(x?x0).9. 试给出x?时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x?时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x?时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?证明设f(x)?a(x?)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f(x)?a|? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|? 第 14 页共 14 页

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