第6章抽样与抽样分布_2.pptx

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1、6 - 1统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 2统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 3统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 4统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 5统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)简简单单随随机机抽抽样样分分层层抽抽样样整整群群抽抽样样系系统统抽抽样样多多阶阶段段抽抽样样概概率率抽抽样样方方便便抽抽样样判判断断抽抽样样自自愿愿样样本本滚滚雪雪球球抽抽样样配配额额抽抽样样非非概概率率抽抽样样抽抽样样方方式式6 - 6统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 7统计学统计学S

2、TATISTICS(第二版第二版)6 - 8统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 9统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 10统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 11统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 12统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 13统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 14统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 15统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 16统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 17统计学统计学STA

3、TISTICS(第二版第二版)6 - 18统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 19统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 20统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 21统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 22统计学统计学STATISTICS(第二版第二版) 三大抽样分布三大抽样分布大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因

4、为这三个统计量不仅有明确背景，而且其是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的为统计中的“ 三大抽样分布三大抽样分布 ” 。6 - 23统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)定义定义 设设 X1, X2, Xn, 独立同分布于标准独立同分布于标准 正态分布正态分布N(0,1) ，则，则X12+ Xn2的分布称的分布称 为自由度为为自由度为n 的的分布，记为分布，记为 。当随机变量当随机变量 时，对给定时，对给定 (0 1)，称满足称满足 P( 的的 是自由度为是自由度为n 1的卡方分布的的卡方分布

5、的1 分位数分位数. .分位数分位数 可以从附表可以从附表3 中查到。中查到。6 - 24统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)该密度函该密度函数的图像数的图像是一只取是一只取非负值的非负值的偏态分布偏态分布 22,Var()2Enn6 - 25统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)F 分布分布定义定义 设设X1 , X2 X1与与X2独立，则称独立，则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为的分布是自由度为 m 与与 n 的的 F分布，分布，记为记为F F(m, n)，其中其中m 称为分子称为分子自由度自由度，n 称为分母自由度。称为分母自由度。当随机变量当

6、随机变量F F(m,n) 时，对给定时，对给定 (0 1) ，称满足称满足 P(F F1 (m,n) 的的F1 (m,n) 是自是自由度为由度为m 与与 n 的的F 分布的分布的 分位数。分位数。由由 F 分布的构造知分布的构造知 F (n,m) = 1/F1 (m,n)。6 - 26统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)该密度函数该密度函数的图象也是的图象也是一只取非负一只取非负值的偏态分值的偏态分布布 6 - 27统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)定义定义 设随机变量设随机变量X1 与与X2 独立，独立， 且且X1 N(0,1), X2 则称则称t t= =X1/

7、X2/n的分布为自由度为的分布为自由度为n 的的t 分布，记为分布，记为t t(n) 。 6 - 28统计学统计学STATISTICS(第二版第二版) t 分布的密度函数分布的密度函数的图象是一个关于的图象是一个关于纵轴对称的分布，纵轴对称的分布，与标准正态分布的与标准正态分布的密度函数形状类似密度函数形状类似，只是峰比标准正只是峰比标准正态分布低一些尾部态分布低一些尾部的概率比标准正态的概率比标准正态分布的大一些。分布的大一些。6 - 29统计学统计学STATISTICS(第二版第二版) n 1时时, , t 分布的数学期望存在且为分布的数学期望存在且为0； n 2时时，t 分布的方差存在，

8、且为分布的方差存在，且为n/(n 2)； 当自由度较大当自由度较大 (如如n 30) 时，时， t 分布可以用分布可以用 正态分布正态分布 N(0,1)近似。近似。 自由度为自由度为1的的 t 分布就是分布就是标准柯西分布，标准柯西分布， 它的均值不存在；它的均值不存在；6 - 30统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)当随机变量当随机变量t t(n) 时，称满足时，称满足P(t t1 (n) 的的 t1 (n) 是自由度为是自由度为 n 的的 t 分布的分布的 分位数分位数. .分位数分位数 t1 (n) 可以从附表可以从附表4中查到。中查到。譬如譬如 n=10, , =0.05，

9、那么从附表，那么从附表4上查得上查得t1 0.05(10) = t0.95(10)=1.812 .由于由于 t 分布的分布的密度函数关于密度函数关于0 对称对称, , 故其分位数故其分位数间有如下关系间有如下关系t (n 1)= t1 (n 1)6 - 31统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)定理定理 设设 x1, x2, xn 是来自是来自N( , 2) 的的 样本，其样本均值和样本方差分别为样本，其样本均值和样本方差分别为和和x = xi/n s2= (xi x)2/(n 1)(3) (n 1) s2/ 2 1则有则有(1) x 与与 s2 相互独立；相互独立；(2) x N(

10、 , 2/n) ；6 - 32统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)推论推论 设设 x1, x2, xn 是来自是来自N( 1, 12) 的的 样本，样本，y1, y2, yn 是来自是来自N( 2, 22) 的样本的样本， 且此两样本相互独立，则有且此两样本相互独立，则有特别，若特别，若 12 = 22 ，则，则F=sx2/sy2 F(m 1,n 1)221222/(1,1)/xysFF mns6 - 33统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)推论推论 在推论的记号下，设在推论的记号下，设 12 = 22 = 2 ，并记，并记则则2)()(2) 1() 1(1122222

11、nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw)2(11)()(21nmtnmsyxw6 - 34统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)充分性的概念充分性的概念例例 为研究某个运动员的打靶命中率，我们为研究某个运动员的打靶命中率，我们 对该运动员进行测试，观测其对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第次，发现除第 三、六次未命中外，其余三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的次都命中。这样的 观测结果包含了观测结果包含了两两种信息：种信息：(1) 打靶打靶10次命中次命中8次；次；(2) 2次不命中分别出现在第次不命中分别出现在第3次和第次和第6次次 打靶上。打靶上。6 - 35统计

12、学统计学STATISTICS(第二版第二版)第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观测，次观测，得到得到 x1, x2, xn，每个，每个xj 取值非取值非0即即1，命中为，命中为1，不命中为不命中为0。令。令 T = x1+xn ，T为观测到的命中为观测到的命中次数。在这种场合仅仅记录使用次数。在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与不会丢失任何与命中率命中率 有关的信息，统计上将这种有关的信息，统计上将这种“样本加工样本加工不损失信息不损失信息”称为称为“充分性充分性

13、”。样样本本 x=(x1,x2,xn) 有一个样本分布有一个样本分布F (x)，这个分布包含了样本中一切有关这个分布包含了样本中一切有关 的信息。的信息。6 - 36统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)统计量统计量T =T (x1,x2,xn) 也有一个抽样分布也有一个抽样分布FT(t) ，当我们期望用统计量，当我们期望用统计量T 代替原始样代替原始样本并且不损失任何有关本并且不损失任何有关 的信息时，也就的信息时，也就是期望抽样分布是期望抽样分布 FT(t) 像像 F (x) 一样概括一样概括了有关了有关 的一切信息，这即是说在统计量的一切信息，这即是说在统计量 T 的取值为的取

14、值为 t 的情况下的情况下,样本样本 x 的条件分布的条件分布 F (x|T=t) 已不含已不含 的信息，这正是统计量的信息，这正是统计量具有充分性的含义。具有充分性的含义。6 - 37统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)定义定义 设设 x1, x2, , xn 是来自某个总体是来自某个总体 的样本，总体分布函数为的样本，总体分布函数为F( x ; )，统计，统计 量量 T = T(x1, x2, , xn) 称为称为 的的充分统计充分统计 量，量，如果在给定如果在给定T 的取值后，的取值后，x1, x2, xn 的条件分布与的条件分布与 无关无关. .6 - 38统计学统计学ST

15、ATISTICS(第二版第二版)充分性原则：充分性原则： 在统计学中有一个在统计学中有一个 基本原则基本原则- 在充分统计量存在的场合，任何统计推断都在充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计可以基于充分统计量进行，这可以简化统计 推断的程序。推断的程序。定理定理 设总体概率函数为设总体概率函数为 p(x ; )， X1, , Xn 为样本，则为样本，则 T=T(X1, Xn) 为充分统计量的充分为充分统计量的充分 必要条件是：存在必要条件是：存在两两个函数个函数g(t; )和和h(x1, , xn)， 使得对任意的使得对任意的 和任一组观测值和任一组观测值

16、 x1, x2, xn，有，有p(x1, x2, xn; ) =g(T(x1,x2,xn); )h(x1,x2,xn) 6 - 39统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 40统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 41统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 42统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 43统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)5 . 21NxNii25. 1)(122NxNii6 - 44统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 45统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 -

17、46统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)5 . 2x625. 02x6 - 47统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)5x50 x5 . 2x6 - 48统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)nxx6 - 49统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 50统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 51统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)(xEnx22122NnNnx6 - 52统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)为样本数目MnMxnixix222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 .

18、1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11Mxniix6 - 53统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)nx6 - 54统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)nsx6 - 55统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 56统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)NNNN101或nnpnnp101或6 - 57统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 58统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)(pEnp)1 (21)1 (2NnNnp6 - 59统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 60统计学统计学

19、STATISTICS(第二版第二版) 1() 1(222nsn22) 1(sn 6 - 61统计学统计学STATISTICS(第二版第二版),(2NX) 1 , 0 ( NXz2zY ) 1 (2Y),(2NX) 1()(2212nxxnii6 - 62统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 63统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 64统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 65统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 66统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 67统计学统计学STATISTICS(第二版第二版

20、)6 - 68统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 69统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 70统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 71统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 72统计学统计学STATISTICS(第二版第二版),(2111NX),(2222NX21xx 2121)( xxE222121221nnxx6 - 73统计学统计学STATISTICS(第二版第二版) 6 - 74统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 75统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)2121)( ppE222

21、1112)1 ()1 (21nnpp6 - 76统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 77统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)1, 1(212221nnFss6 - 78统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)21nVnUF ),(21nnFF6 - 79统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 80统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 81统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 82统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 83统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 84统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)6 - 85统计学统计学STATISTICS(第二版第二版)