第6章统计量与抽样分布.pptx

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1、第六章第六章 统计量与抽样分布统计量与抽样分布n随机样本与统计量随机样本与统计量 n 分布分布 t分布分布 F分布分布1n正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布2n数理统计数理统计 是一门以数据为基础的学科是一门以数据为基础的学科, 可以定义为收可以定义为收集数据集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、分析数据和由数据得出结论的一组概念、 原原则和方法则和方法。n例如：若规定灯泡寿命低于例如：若规定灯泡寿命低于10001000小时者为次品，如何确定小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能

2、抽取一部分灯泡作为样本进行检验，灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计研究的问以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计研究的问题。题。26.1 6.1 随机样本与统计量随机样本与统计量n 总体：研究对象的全体；总体：研究对象的全体； n 个体：总体中的成员；个体：总体中的成员；n总体的容量：总体中包含的个体数；总体的容量：总体中包含的个体数；n有限总体：容量有限的总体；有限总体：容量有限的总体；n无限总体：容量无限的总体，通常将容量非无限总体：容量无限的总体，通常将容量非常大的总体也按无限总体处理。常大的总体也按无限总体处理。3n例例：1

3、）了解某校了解某校“大学生的月消费水大学生的月消费水平平” 。总体是该校大学生全体。这是。总体是该校大学生全体。这是一个有限总体，每个大学生有许多指标，一个有限总体，每个大学生有许多指标，我们关注的是学生我们关注的是学生“过去过去6个月平均每个月平均每月的花费月的花费”这一指标。这一指标。4n2）了解某城市的空气质量情况，了解某城市的空气质量情况，调查调查该城市的该城市的PM2.5值。这是一个无限总体，值。这是一个无限总体，描述空气质量有许多指标，而我们仅关描述空气质量有许多指标，而我们仅关心心PM2.5值值。5n3）研究某种药物在人体中的吸收情况。研究某种药物在人体中的吸收情况。这是一个有限

4、总体，但数量非常巨大，这是一个有限总体，但数量非常巨大，我们常把它看出无限总体。我们常把它看出无限总体。6 为了采用数理统计方法进行分析，首先要收集为了采用数理统计方法进行分析，首先要收集数据数据，数据收集方法一般有两种。数据收集方法一般有两种。（1）通过调查、记录收集数据。如为了调查大学生）通过调查、记录收集数据。如为了调查大学生“过去过去6个月平均每月的花费个月平均每月的花费” ，可以进行问卷调，可以进行问卷调查；要了解查；要了解PM2.5值，需要在城市设立若干值，需要在城市设立若干PM2.5监监测站点，定时收集数据。测站点，定时收集数据。（2）通过实验收集数据。如为了了解药物吸收情）通过

5、实验收集数据。如为了了解药物吸收情况，要征集若干志愿者，把他们分成若干组，观察况，要征集若干志愿者，把他们分成若干组，观察他们服药后不同时间点药物含量数据。他们服药后不同时间点药物含量数据。 关于调查数据和实验数据的收集可以根据数据关于调查数据和实验数据的收集可以根据数据本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课程讲授，这里不作详细介绍。程讲授，这里不作详细介绍。n总体的某个指标总体的某个指标X, 对于不同的个对于不同的个体来说有不同的取值体来说有不同的取值, 这些取值构这些取值构成一个分布成一个分布, 因此因此X可以看成一个可以看成一个随机变量随

6、机变量. 有时候就把有时候就把X称为总体称为总体. 假设假设X的分布函数为的分布函数为F(x), 也称也称F(x)为总体为总体. 7n数理统计主要任务是从总体中抽取数理统计主要任务是从总体中抽取一部分个体一部分个体, 根据这部分个体的数根据这部分个体的数据对总体分布给出推断据对总体分布给出推断. 被抽取的被抽取的部分个体叫做总体的一个部分个体叫做总体的一个 样本样本.8随机样本：随机样本：从总体中随机地取从总体中随机地取n个个体个个体, 称为一称为一个随机样本。个随机样本。简单随机样本：简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本满足以下两个条件的随机样本( (X1,X2,Xn) )称为容量是称为

7、容量是n的简单随机样本。的简单随机样本。1.1.代表性代表性: :每个每个Xi与与X同分布；同分布；2.2.独立性独立性: : X1,X2,Xn是相互独立的随机变量。是相互独立的随机变量。9 说明说明 ：后面提到的后面提到的样本样本均指均指简单随机样本简单随机样本。 注意注意 ：一个容量为一个容量为n的样本的样本是指是指n个独立与总体分布相同的随机变量。个独立与总体分布相同的随机变量。 一旦对样本进行观察，得到实际数值一旦对样本进行观察，得到实际数值称为样本观察值（或样本值）。称为样本观察值（或样本值）。 两次观察，样本值可能是不同的。两次观察，样本值可能是不同的。12,nx xx12,nXX

8、X10n如何取得的样本才称是简单随机样本如何取得的样本才称是简单随机样本? 对于有限总体对于有限总体, 采用放回抽样就能得到简单随采用放回抽样就能得到简单随机样本机样本. 但当总体容量很大的时候但当总体容量很大的时候,放回抽样有时候很放回抽样有时候很不方便不方便, 因此在实际中当总体容量比较大时因此在实际中当总体容量比较大时,通常通常将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样本来处理本来处理. 对于无限总体对于无限总体, 一般采取不放回抽样一般采取不放回抽样. 1112（88，88） （88，75） （88，70） （88，63）（75，88） （75

9、，75） （75，70） （75，63）（70，88） （70，75） （70，70） （70，63）（63，88） （63，75） （63，70） （63，63）例例1.1 1.1 有有4 4个学生参加个学生参加概率论与数理统计概率论与数理统计 课程考试，成绩分别为课程考试，成绩分别为88,75,70, 63.88,75,70, 63. 现从中抽取容量为现从中抽取容量为2 2 的样本，列出的样本，列出 全部的样本全部的样本. .答：共有答：共有1616个样本，分别为：个样本，分别为：统计量：统计量：样本的不含任何未知参数的函数。样本的不含任何未知参数的函数。常用统计量：常用统计量：设（设（X

10、1,X2,Xn）为取自总体）为取自总体X的简单随机样本。常用的统计量如下：的简单随机样本。常用的统计量如下：111. niiXXn样本均值1113. 1,2,1 () 1,2,nkkiinkkiikAXknkBXXkn样本矩阶矩：阶中心矩：22112. () ,1niiSXXSn样本方差为样本标准差131222,(),()()() ,3()() nkkkkkkX XXE XVar XE XE XXSAE XBE X对于总体是来自总体的样本设下列数字特征存在，问：（1） 与 ，（2）与，（ ）与，（4）与都相等吗？ 思考题思考题 ：答：不对。前者是随机变量，观察两次得到答：不对。前者是随机变量，

11、观察两次得到的统计量的值可能不一样；的统计量的值可能不一样；后者是数，可能已知也可能未知。后者是数，可能已知也可能未知。14当总体数字特征未知时当总体数字特征未知时( (设各阶矩存在设各阶矩存在) )1516例例1.2 接例接例1.1，总体为，总体为88，75，70，63，显然，显然，总体均值为总体均值为74. 计算全部计算全部16个样本的样本均值个样本的样本均值.从中看到，用样本均值估计总体均值，可能估计从中看到，用样本均值估计总体均值，可能估计过高，可能估计过低。过高，可能估计过低。所有样本均值的平均值恰好是总体均值。所有样本均值的平均值恰好是总体均值。(无偏性无偏性)样本样本编号编号样本

12、样本样本样本均值均值样本样本编号编号样本样本样本样本均值均值样本样本编号编号样本样本样本样本均值均值1(88,88) 887(75,70) 72.513(63,88) 75.52(88,75) 81.58(75,63) 6914(63,75) 693(88,70) 799(70,88) 7915(63,70) 66.54(88,63) 75.510(70,75) 72.516(63,63) 635(75,88) 81.511(70,70) 7016个样本均值的平个样本均值的平均为均为746(75,75) 7512(70,63) 66.5 222n分布记为，176.2 6.2 分布分布 t分布分

13、布 F分布分布22( (一一) ) 分布分布定义：设随机变量定义：设随机变量 相互独立相互独立, ,12,nXXX 0,1 1,2,iXNin则称则称221=(1)niiX服从自由度为服从自由度为n的的其中，自由度指其中，自由度指(1)(1)式右端包含的独立变量式右端包含的独立变量个数个数. .18 2221101, 0,222 0, 0,.nyxnyeyfynyxe dx分布的概率密度函数为： 其中, x( )f x010n1n4n2分布的概率密度函数192 分布的性质分布的性质21221212( ),1,2,();iiYniY YYYnn2.2.设设 且且 相互独立，则有相互独立，则有22

14、22( ),(),()2 ;nEn Varn1.1.设设 则有则有2 分布可加性分布可加性 212211,1,2,.iimmmiiiiYnimY YYYn一般地，若，相互独立，则 22222,01,nnfdynynn为分布的上 分对给定的概率称满足条件的点上 分位数的值可查位数分布表20在在Excel表单的任一单元格输入表单的任一单元格输入 “=CHISQ.INV.RT (0.1,25)” ；点击点击确定确定 即在单元格中出现即在单元格中出现 34.382.2120.1(25).例例2.1 2.1 利用利用ExcelExcel求求2212222122223452.2, , ,1() 5)(2)

15、 ( ), ,nniiXNX XXXXna XXbXXXka b k 1 例设总体已知， 是取自总体 的样本. 求(1)统计量 的分布； (2)设,若 ( 则各为 多少？ 22 1,2,iiXYin解：(1)作变换 12, ,0,1 1,2,niY YYYNin显然相互独立，且 22211()nniiiiXYn2于是 2321212(2)(0,2),(0,1)2XXXXNN234534522(0,6),(0,1)6XXXXXXNN345122223451222226(2)()(2)26XXXXXXXXXX与相互独立，故221,21,62.abk24 1212226.4 1, nnntt nf

16、ttnn 定理：分布的概率密度为： 121222 ,1, nnntt nf t ntnn 分布的概率密度函数为：25( (二二) ) t分布分布tn分 布 概 率 密 度 函 数26 , 01,tnf t n dttnt ntt对给定的称满足条件的点为分布的上。 分布的上 分位数可位数查分分布表1( )( )tntn 27在在Excel表单的任一单元格输入表单的任一单元格输入 “=T.INV (10.05, 25)” 或或 “=T.INV.2T (0.05*2, 25)” ；点击点击“确定确定” 即在单元格中出现即在单元格中出现 “1.708”.280.05(25).t例例2.3 2.3 利用

17、利用ExcelExcel求求 221211221212, ,/,/,.XnYnX YX nFn nFY nFF n nnn设且独立，则称随机变量服从自由度的 分布，记为其中, 称为第一自由度， 称为第二自由度.11221( ,),(,).FF n nFF n n性质：则29( (三三) ) F分布分布12121222121212122122121110 ,1, 0, ;, 0, 6. 0.,5 1nnnnnnnbF n nn nxnn xxBf x n nxB a bxxdx分布的概率密度函数为： 中定：其理 abab.3012,Fnn分分 布布 概概 率率 密密 度度 函函 数数12;,fx

18、 nn1212,121212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 对于给定的称满足条件的点为分布的上 分位数.的值可查 分布表.111221( ,)(,)Fn nF n n31在在Excel表单的任一单元格输入表单的任一单元格输入 “=F.INV.RT (0.1, 9, 10)” 或或 “=F.INV (10.1, 9, 10)” ；点击点击“确定确定” 即在单元格中出现即在单元格中出现 “2.347”.320.1(9,10).F例例2.4 2.4 利用利用ExcelExcel求求6.3 6.3 正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布3334212221221

19、2,( ,)()1()2nniiniiXXXNXSXXX 设是来自正态总体的简单随机样本， 和分别是样本均值和样本方差。问：（）服从什么分布？（ ）服从什么分布？ 思考题思考题 ：22(1)( )nn答：(1)，(2).35 (1).Xt nSn3622= (1).(1)(1)XXnt nnSSnn注意到222211111222222222(1)(1,1);SSF nnSS则37定理定理6.3.4 6.3.4 设样本设样本 和和 分别分别来自总体来自总体 和和 且相互独立，且相互独立，样本均值分别为样本均值分别为 样本方差分别为样本方差分别为1211,nnXXYY221122,NN , ,X

20、Y2212,SS12221212(2)(0,1);XYNnn2222111122122222112222(1)(1)(1,1);(1)(1)SnSnSF nnnnS注意到38222121212122211222212(3),2 .1111,.2wwwwXYt nnSnnnSnSSSSnn当时其中,1212122211222212112 .11(+)(2)XYnnt nnnSnSnn2122223.1,(),(),();(2),()nXXXXX SE X Var XE SXNVar S 例设总体 的均值 ，方差存在，是取自总体 的样本，为样本均值和样本方差；求:(1)若，求. 391111()(

21、)(),nniiiiE XEXE Xnn解：(1)221111()()(),nniiiiVar XVarXVar Xnnn22221111()() )()11nniiiiE SEXXEXnXnn2211()()1niiE XnE Xn2222211()().1ninnn4022(1)2(1)nSVarn422().1Var Sn2222(1)(2),(1),nSXNn 412141922121422213.2, ( ),(2)()4iiXNXXYYXX SY SXYat ka kSXS 例设总体，与是取自总体 的两个独立样本，和分别为样本均值和样本方差；求(1)若则各为多少？服从什么分布？ 4222(1)( ,),( ,),49XNYNXY且 与 相互独立，21216 1336 (3)31313XYSXYttS由 分布定义，2221123(3),SXYS又且与相互独立，2136(0,),(0,13613XYXYNN（）6 13,3.13ak432422222214222181(2)() (4),(8),()iiiiSXXS且与独立，24422222221181()()4(4,8).48iiiiFSXXSF由 分布定义知，44