2022年北师大版必修5高中数学第一章《如何由递推公式求通项公式》word典型例题素材 .pdf

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1、名师精编优秀教案如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般； 化归转换思想， 通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。类型一：1( )nnaaf n或1( )nnag na分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()nnnnnaaaaaaaa或121121nnnnnaaaaaaaa例 1.(1) 已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公

2、式。（2）已知数列na满足1(1)1,2nnnaas，求数列na的通项公式。解： （1）由题知：121111(1)1nnaannn nnn112211()()nnnnnaaaaa+(a- aa1111111()()()121122nnnn312n（2）2(1)nnsna112(2)nnsnan两式相减得：12(1)(2)nnnananan即：1(2)1nnannan121121nnnnnaaaaaaaa121121nnnnn类型二：1(,(1)0)nnapaqp qpq p其中为常数，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

3、 - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案分析： 把原递推公式转为：1(),1nnqatp atp其中 t=，再利用换元法转化为等比数列求解。例 2. 已知数列na中，11,123nnaaa，求na的通项公式。解：由123nnaa可转化为：132(3)nnaa令3,nnba11n+1n则b =a+3=4且b=2bnb1是以b =4为首项，公比为 q=2的等比数列114 22nnbn即123nna类型三：1( )(nnapaf n 其中p为常数 )分析：在此只研究两种较为简单的情况，即( )f x是多项式或指数幂的形式。（1）( )f

4、 x是多项式时转为1(1)()nnaA nBp aAnB，再利用换元法转为等比数列（2）( )f x是指数幂：11(0)nnnaparqpqr若pq时则转化为11nnnnaarqq，再利用换元法转化为等差数列若pq时则转化为11(),nnnnqratqp atqtpq其中例 3. （1）设数列na中，111,321nnaaan，求na的通项公式。（2）设数列na中，111,32nnnaaa，求na的通项公式。解： （1）设1(1)3()nnaA nBaAnB1322nnaaAnBA与原式比较系数得：221211AABAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

5、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案即1(1)13(1)nnanan令1,nnbann+1n11则b=3b且b =a+1+1=3nb1是b =3为首项，公比 q=3的等比数列13 3331nnnnnban即:(2) 设1123(2 )nnnnatat展开后得：132nnnaa对比得：1t1123(2 )nnnnaa令11,12 ,323nnnnnbabba1则且b =nb1是b =3为首项，公比 q=3的等比数列13 3332nnnnnnba即:类型四：1(0,0)rnnnapapa分析：

6、这种类型一般是等式两边取对数后得：1lglglgnnarap，再采用类型二进行求解。例 4. 设数列na中，21111,(0)nnaaaaa，求na的通项公式。解：由211nnaaa，两边取对数得: 11lg2lglgnnaaa设1lg2(lg)nnatat展开后与上式对比得：1lgta112(lglg)naaaan+1原式可转化为lg+lg令1(lglg)nnbaa，则1,1nnbba且b1=lg1nba1是b =lg为首项，公比 q=2的等比数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，

7、共 5 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案112lgnbna，即111lglg2lgnnaaa也即11 2nnaa类型五：1( )( )( )nnnf n aag n ah n分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。例 5. 已知数列na满足：1111,31nnnaaaa，求na的通项公式。解：原式两边取倒数得：11113113nnnnaaaa1,1nan nn-11设b =则b -b=3, 且b =13nb1是b =为首项，公差 d=2的等差数列1(1) 332bnnn即132nan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -