2022年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .pdf

《2022年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .pdf（11页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5 分，共 20 分）1计算()ln(1)d d1Dyxyxx yxy_，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域. 2设)(xf是连续函数，且满足220( )3( )d2f xxf xx，则( )f x_. 3曲面2222xzy平行平面022zyx的切平面方程是_. 4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_. 二、 （5 分） 求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数. 三、 （15 分）设函数)(xf连

2、续，10( )()g xf xt dt，且Axxfx)(lim0，A为常数， 求( )g x 并讨论)(xg在0 x处的连续性 . 四、 （15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界， 试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe. 五、 （10 分） 已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、 （10 分） 设抛物线cbxaxyln22过原点 .当10 x时，0y，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积

3、为31.试确定cba,，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小 . 七、 （15 分） 已知)(xun满足1( )( )1,2,nxnnuxuxxen，且neun)1(，求函数项级数1)(nnxu之和 . 八、 （10 分） 求1x时，与02nnx等价的无穷大量. 20XX 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 （25 分，每小题5 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （1）设22(1)(1)(1)n

4、nxaaa，其中| 1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex. （3）设0s，求0(1,2,)sxnnIex dx n. （4）设函数( )f t有二阶连续导数，221,( , )rxyg x yfr，求2222ggxy. （5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离 . 二、 （15 分）设函数( )f x 在(,)上具有二阶导数，并且( )0fx， lim( )0 xfx，lim( )0 xfx，且存在一点0 x，使得0()0f x. 证明： 方程( )0f x在 (,)恰有两个实根 . 三、（ 15 分）设函数( )yf x由参数方程22(1)( )xt

5、ttyt所确定，且22d3d4(1)yxt，其中( ) t具有二阶导数，曲线( )yt 与22132tuyedue在1t出相切，求函数( ) t. 四、 （15 分）设10,nnnkkaSa，证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散 . 五、 （15 分）设l是过原点、方向为( , )， （其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc（其中0cba，密度为 1）绕l旋转 . （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向( , )的最大值和最小值. 六、 (15 分)设函数( )x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，

6、曲线积分422d( )d0Lxy xxyxy的值为常数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （1）设L为正向闭曲线22(2)1xy，证明422d( )d0Lxy xxyxy；（2）求函数( )x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d( )dCxy xxyxy. 20XX 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共3 小题，每小题各5 分，共 15 分）（1）求11 cos0sinli

7、mxxxx；（2）.求111lim.12nnnnn；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （3）已知2ln 1arctanttxeyte，求22ddyx. 二、 （本题 10 分）求方程24 d1 d0 xyxxyy的通解 . 三、 （本题 15 分）设函数( )f x 在0 x的某邻域内具有二阶连续导数，且0 ,0 ,0fff均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,k kk ，使得12320230lim0hk fhk fhk fh

8、fh. 四、 （本题 17 分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222: zxy ，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（ 本题 16 分） 已知 S是空间曲线22310 xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）（取上侧），是 S在( , , )P x y z 点处的切平面，( , , )x y z 是原点到切平面的距离，, ,表示 S的正法向的方向余弦. 计算：（1）d, ,SzSx y z； （2）3dSzxyzS六、 （本题12 分）设( )f x 是在 (,)内的可微函数，且( )( )fxmf x ，其中01m，任取实数

9、0a ，定义1ln(),1,2,.nnaf an，证明：11()nnnaa绝对收敛 . 七、（ 本题 15 分） 是否存在区间0,2 上的连续可微函数( )fx ， 满足(0)(2)1ff，( )1fx，20( )d1f xx?请说明理由 . 20XX 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 （本大题共5 小题，每小题6 分，共 30 分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim( !)nnn. （2）求通过直线2320:55430 xyzlxyz的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

10、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 点 (4 ,3,1) . （3）已知函数( ,)ax byzu xy e，且20ux y. 确定常数a和 b ，使函数(,)zz xy 满足方程20zzzzx yxy. （4）设函数( )uu x 连续可微，(2)1u，且3(2 ) d() dLxy u xxuu y在右半平面与路径无关，求( ,)u xy . （5）求极限13sinlimdcosxxxtxttt. 二、 （本题 10 分）计算20sindxexx . 三、 （本题 10 分）求方程21sin2501

11、xxx的近似解，精确到0.001. 四、（本题12 分）设函数( )yf x 二阶可导，且( )0fx，(0)0f，(0)0f，求330( )lim( )sinxx f uf xu，其中u是曲线( )yf x 上点( ,( )P xf x处的切线在x轴上的截距 . 五 、 （ 本 题12分 ） 求 最 小 实 数 C ， 使 得 满 足10() d1fxx的 连 续 函 数( )f x都 有10()fx dxC . 六、 （本题 12 分）设( )f x 为连续函数，0t. 区域是由抛物面22zxy 和球面2222xyzt(0)z所围起来的部分. 定义三重积分222( )()dF tf xyz

12、v ，求( )F t 的导数( )Ft . 七、 （本题 14 分）设1nna 与1nnb 为正项级数，证明：（1）若111lim0nnnnnaabb，则级数1nna 收敛；（2）若111lim0nnnnnaabb，且级数1nnb 发散，则级数1nna 发散 . 20XX 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1. 求极限2lim 1sin14nnn. 2. 证明广义积分0sindxxx不是绝对收敛的. 3. 设函数( )yy x 由323322xx yy确定，求( )y x 的极值 . 精品资料 - - - 欢迎下载

13、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 4. 过曲线3(0)yx x上的点A作切线， 使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标 . 二、 （满分 12 分）计算定积分2sinarctand1cosxxxeIxx. 三、 （满分12 分）设fx在0 x处存在二阶导数(0)f，且0lim0 xfxx. 证明：级数11nfn收敛 . 四、 （满分 12 分）设( ),( )0()f xfxmaxb ，证明2sin( )dbaf xxm. 五 、 （ 满

14、 分14 分 ） 设是 一个 光 滑 封 闭 曲面 ， 方 向 朝 外 . 给 定 第 二 型 的 曲 面 积 分333d d2d d3d dIxxy zyyz xzzx y. 试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值 . 六、 （满分14 分）设22dd( )()aaCy xx yIrxy，其中a为常数，曲线C 为椭圆222xxyyr，取正向 . 求极限lim( )arIr. 七、 （满分 14 分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和. 20XX 年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5 小题，每题6 分，共 30 分）1. 已知1xye 和1

15、xyxe 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 . 2. 设有曲面22:2S zxy 和平面022:zyxL. 则与L平行的S的切平面方程是 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 3. 设函数( )yy x 由方程21sind4yxtxt 所确定 . 求0ddxyx . 4. 设1(1)!nnkkxk，则nnxlim . 5. 已知130( )lim 1xxf xxex，则20)(limxxfx . 二、 （本题 12 分

16、）设n为正整数，计算21d1cos lnddneIxxx. 三、 （本题14 分）设函数( )fx 在 1 ,0上有二阶导数，且有正常数,A B 使得( )f xA ，|( ) |fxB . 证明：对任意 1 ,0 x，有22| )( |BAxf. 四、 （本题 14 分） （1）设一球缺高为h，所在球半径为R. 证明该球缺体积为2)3(3hhR，球冠面积为Rh2； （2）设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分d dd dd dIx y zy z xz x y. 五 、 （ 本题15 分） 设f在,ba上 非负

17、 连续， 严格 单增 ， 且存 在,baxn， 使 得bannndxxfabxf)(1)(. 求nnxlim. 六、 （本题 15 分）设2222212nnnnAnnnn，求nnAn4lim. 20XX 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题6 分，共 5小题，满分30 分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （2）设函数,zz x y由方

18、程,0zzFxyyx所决定，其中,F u v具有连续偏导数，且0uvxFyF则zzxyxy. （3）曲面221zxy在点1, 1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是. （4）函数3,5,00,0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0 x收敛的是. （5）设区间0,上的函数u x定义域为20 xtu xedt，则u x的初等函数表达式是. 二、 （12 分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、 （12 分）设fx 在,a b内二次可导，且存在常数,，使得对于,xa b，有fxfxfx ，则fx在,a b内无穷次可导 . 四、 （14 分）求幂级数30211 !nnnxn的收敛域及其

19、和函数. 五、 （16 分）设函数fx在0,1上连续，且11000,1fx dxxfx dx. 试证：（1）00,1x使04fx；（2）10,1x使14fx. 五、 （16 分）设,fx y在221xy上有连续的二阶偏导数，且2222xxxyyyfffM. 若0,00,0,00,00 xyfff，证明：221,4xyMfx y dxdy. 20XX 年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5 分，满分30 分）1、若 fx 在点xa可导，且0f a，则1limnnfanfa_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

20、归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2、若10f，1f存在，求极限220sincostan3lim1 sinxxfxxxIex. 3、设 fx 有连续导数，且12f，记2xzf e y，若zzx，求fx在0 x的表达式. 4、设sin2xfxex ，求 02na，40f. 5、求曲面222xzy平行于平面220 xyz的切平面方程 . 二、 （14 分）设 fx 在 0,1 上可导，00f，且当0,1x，01fx， 试证当0,1a，2300ddaafxxfxx. 三、（ 14 分） 某物体所在的空间区域为222:22xy

21、zxyz ， 密度函数为222xyz ，求质量222d d dMxyzx y z. 四、 （14 分）设函数fx在闭区间0,1上具有连续导数，00f，11f，证明：10111lim2nnkknfx dxfnn. 五、（ 14 分）设函数fx 在闭区间0,1 上连续，且10d0Ifxx，证明：在0,1 内存在不同的两点12,x x ，使得12112fxfxI. 六、（ 14 分）设 fx 在,可导，且23fxfxfx. 用 Fourier级数理论证明 fx 为常数 .20XX 年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1. 已知可导函数 ?满足xxtdttfxxf01sin)(2)(c

22、os，则( )f x=_.2 求nnn22sinlim.3. 设( , )wf u v具有二阶连续偏导数，且= +u xcy v x cy，其中c为非零常数 . 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 21xxyywwc=_. 4.设( )f x有二阶导数连续， 且(0)(0)0,(0)6fff，则240(s in)limxfxx=_. 5. 不定积分sin2sin2(1 sin )xexIdxx=_. 6. 记曲面222zxy和22

23、4zxy围成空间区域为V，则三重积分Vzdxdydz=_. 二、 （本题满分14 分) 设二元函数( , )f x y在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数( )( cos , sin)gtf tt. 若对任何都有(0)0dgdt且22(0)0d gdt. 证明)0,0(f是( , )f x y的极小值 . 三、 (本题满分14 分) 设曲线为在2221xyz，1xz，0,0,0 xyz上从(1,0,0)A到(0,0,1)B的一段 . 求曲线积分xdzzdyydxI. 四、(本题满分15 分) 设函数( )0f x且在实轴上连续，若对任意实数t ，有|( )1txef x dx

24、，则, ()a b ab，2( )2babaf x dx. 五、 (本题满分15 分) 设na为一个数列，p为固定的正整数。若limn pnnaa，其中为常数，证明limnnanp. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -