2022年首届全国大学生数学竞赛决赛试卷详细答案 .pdf

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1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷详细答案（数学类）tian27546 西西）（解：，则（）设每空分）一填空题（共分，拟试题。记得这个是一个高考模时只有唯一解，所以取得最小值，在经过分析（则解：设常数则）内有唯一的实数根，在区间（的方程若关于.932143)2(f2)(,2)x,1)(_,0)0(11:)2(3233322kkkkxxfxkfxkxxfkkxkxx21)(2)()(lim)(1)x)a)()lim)(1)()(lim)(1)()()()(alimlim_lim)(),()()()(, a)x: )3(20axafxfafafaxdttfafaxaffafaxaffaffaxaaxa

2、afbxafaxdttfbfaxxaaxaxaxaxaxx（解：的值等于存在且非零，则若导数式得上连续，由积分中值公在区间【（设函数12)(2)()()()()()()a:_)()()a,6)a: )4(cbacbaacbcacbcabacacbbcacbbcb（解则（设（名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 是很简单以数学类的填空题是不年天津市也竞赛过。所题都会有，当然题，在解几书籍后面习题是个基础大家去看看。第方法

3、里有个一般结论，一起，其次在数分最新的数分演练上有几个在民强题很多书上都有包括周常见的到的题目，第三了，在高中模拟卷上经试一试，第二题不用说妨用含参积分做，读者不当然还有一种方法就是成一个重积分就是了，基本都有，就是把它换题吉米上和一些数分都做过都看过呢，第一不是很简单，也是不是总结一下这些题目，是20074，大家去查查。数学分析也考过这个题也考过，当然历年复旦几年江苏非理科，年莫斯科大学竞赛考过看过，在这个也是老题，大家都）（因此时得到：证明：由有限增量公式：证明）（处可导，且）上有定义，在在（分）设二91977.20)1(o21)0( )(),(0)0( )(fk1),(0)0( )0()

4、()(f.2)0( )(lim000,11)(10(1222212fnnfnkfnknkfnknxxffxfxfnkffxxfnknkn一题一样，所以略分）：此题和非数最后三 12(内处处成立。在证明：导数，有二阶偏与中在，（时，）当有界，且满足条件：（内连续在（内连续，在（分）设（四D),(),(,D)2(),xf11D),xD),(,1| ),xD12222222222222yxgyxfeygxgeyfxfgfyyxygyxfyxygf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

5、第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 非常好。我个人觉得这个题考的到思想方法一样的题，这个在椭圆极值里找得盾。所以命题得证不可能是最小值点，矛从而正定的，的黑塞矩阵不可能是半在点此至少有一个是负数，因与因此会有因此在极值点那么由于不然，的这个极小值非负，若值，下面来证明在点个最小值也一定是极小会取得最小值，并且这内某点在区域因此函数那么由条件有证：考虑函数.|yh|h, 0|h),(,h,0),(),(),(),(pD,lim,),(22),(22),(222200222200000000100000022pphxyhxyxpeeyhxyxgyxfyxhpyxhgfhyx

6、yxyxgfyx.16I,)(21)(21u:)2(;n1I1.limI,1,1.10;10| ),(,10; 10| ),xR101n221n20nxyvyxIxydxdyIxydxdyIyxyxRyxyRR的值，并由此推出计算利用变量变换：）：证明（回答一下俩个问题：定义考虑积分（分）设（五名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 晰明了，值得回味。提供了更好的思路，清教授中国义上有，前几年在数学其实这个题在复旦的讲要

7、级数。利用重积分计算那个重这个试题很好的反应了）的结论就有结合（于是有积分域】一致收敛，因此【在显然级数因此因此上有证：在luyuanhongntdttdtduuuuduuuuvududvvududvxydxdyvuvuyxvuJnnndxdyyxdxdyxyIyxyvvuvuvuvunnnnRnRnnnnn1n222306012122221020101022101022R1n20222022200216162411arctan1141arctan11414121, 10 , 10,21|),(),(|)2(.1I,10) 1()1 (,) 1()1 (11,xy11, 1)1(|x|R) 1

8、 (的类型。并指出曲面的方程旋转所生成的旋转面绕不重合时，求与）当（是异面直线。与满足什么条件时，）问：参数（分）已知俩直线的方程（六LLL2L,1.11: ,:L13LLbabzayxLzyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 22222222222222220 xx:L121: 0, 2a5xL11: 0b21: )4(0 x121: L,0,2,3x:11: L, 0, 2, 1a2xL: L0, 1a150)

9、 1()(1()(2a)(1a22y.) 1() 1a|) 1 , 1 , 1 ( | )1 , 1 , 1(),( |) 1 , 1 , 1 ( |)1 , 1 , 1 (),x|,2yQ,: LLLQ11: L,L), x20, 11bxzyzxyzyxbzyzybzyxLbzybzayxLazyxzyLzyxbazyLzayxbzybzyxbaabzyxaabxzyzxyzyxabzxtxzyzxyzyxbtabtbtattzyabzxtbtZatYtXQpbZaYXzyxZYXpzypba：曲面退化为平面一部分转为异面直线且垂直，旋与，此时）（旋转曲面为单叶双曲面为异面直线且不垂直，：

10、与，此时，平面退化为相交且垂直，旋转曲面：与此时）（所以旋转曲面为圆锥面原点相交且不垂直，交点为与此时）：（面平行，旋转曲面为圆柱：与，此时）：（种情形讨论一下：现在分（）（代入得其中（由等距知：对应的参数的方程得到点代入平面的参数形式为线的距离相等，又因为直到直线与，则的交点为与直线平面垂直的平面的方程为与直线，过点的坐标为（）设曲面上点（否则俩直线相交。行；否则俩条直线重合或平以）要求是异面直线，所解：（均为对角阵和使得存在实可逆矩阵证明：且满足阶半正定实对称矩阵，均为分）设（七BCACCCankAnBATTC,nr1n,20名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 。均为对角阵。命题得证与可逆且则显然都是对角阵，取使得知存在可逆矩阵且正定，由前面的结论），于是正定，可以得到再由均为非负数，所以正定，因此但是矩阵比较得到这时应有列为一块，得到行分块，分块方法是前把矩阵，使得可逆矩阵是半正定的，因此存在由条件知）：（也是对角阵显然均为对角阵与使得逆矩阵正定，由上可知存在可这时若：论这时可以分俩种情况讨若均为对角阵。与，则是对角矩阵，取，使得在正交矩阵也是半正定的，于是存是半正定矩阵，因此由于矩阵这时候，考虑使

12、得找到可逆矩阵是正定矩阵，因此可以则证：若BCCACCC),1(C,1n(00, 0,0).0()()()(),(p),(11,)0()(pBA, 1)(2BCCBCCB)C(ACC,)(, 1BCCCpOCOB,p,pp,A,TT111111111111111TTTTTTpppBppAppArankAppbabaBppAppbaEbBaABppApppBApbBBpaAAppnnBppAppEpBApnBArankBAnBAranknrankAACBPOpOBppBpEApnrankATTTTTnTTtTTTTTTTTnTTTTT，因此必然有解的秩都为其系数矩阵与增广矩阵这是一个线性方程组，

13、使得一组复数，都可以找到一组复数。问题等价于对任意的则有并记写成形式把中向量线性无关，对与（，且向量（线性无关，因此是非零函数且由于记的一组基证：任取）（，使得都可表示意的且线性无关，证明：任是非零的线性函数维线性空间，上的是复数域分）设（八4,0z0*,*,*y,*,*,)(f)(f ,)(f ,)(f ,)(,)(f,y,y,V)*,*,b)a*,a1,f,)(,)(),2 ,1(V)(f),()()2, 1(:CV151i1i1i1i1i1i1321211i221i121i211i111i21i11i21i11i1i1i212121221i12221121iniiniiniiniinii

14、ninnniniiniiniiniiniiniiniiniiniiniininniiijbzbxbyaxaayzzyyyxxxbzbyazaybxfaxzzxbbanfbfafnifffVjCVfn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 且满足命题要求。使得总有故对任意的因此维子空间，且的是则有，考虑非零且线性无关有：由条件解法,.V,VV,V1nV,V,ker,kerV1,2212211212121221121VVVVVfVfnff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -