第十三 章 达朗贝尔原理x.ppt

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1、达朗贝尔于1743年提出一个关于非自由质点动力学的原理，被称为达朗贝尔原理。这个原理的特点是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又被称为动静法。动静法在工程技术中得到广泛应用，尤为适用于求动约束力和解决动强度等类问题。,达 朗 贝 尔 原 理,第一节 质点的达朗贝尔原理,设质量为m的非自由质点A，在主动力F 及约束力FN 的作用下运动，加速度为a，如图所示。令F与FN的合力为FR，则有,式中FI称为质点的惯性力，惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。 式（13-2）所表示的关系可表述为：在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力，则作用于质点的主动

2、力、约束力与惯性力成平衡。这就是质点的达朗贝尔原理。,应当注意的是，质点并非真正处于平衡状态。这里所说的“平衡”只是就方程（13-2）的数学形式来说的。不过，这样一来，就能根据静力学的平衡理论来求解动力学问题，且这种方法容易掌握，在许多情况下，又颇为方便，所以应用广泛。,第一节 质点的达朗贝尔原理,第二节 质点系的达朗贝尔原理,设有一质点系，各质点的质量分别为m1、m2、mi 、mn ，作用于第i个质点的主动力的合力为Fi，约束力的合力为FNi，惯性力为FIi。根据质点的达朗贝尔原理，有,同样，对于其它各个质点，都可得到类似的平衡方程。将所有作用于质点的主动力、约束力以及所有质点的惯性力合并考

3、虑，这些力自然也是一个平衡力系。,于是可知，在质点系中的每一质点上加上相应的惯性力，则作用于质点系的所有主动力、约束力与所有质点的惯性力成平衡。这就是质点系的达朗贝尔原理。 一般说来，作用于质点系的主动力、约束力与加上的惯性力将构成一个平面或空间任意力系。实际应用时，同在静力学中一样，选取适宜的考察对象，建立平衡方程求解。,第二节 质点系的达朗贝尔原理,瓦特调速器以匀角速绕铅直轴转动，如图所示。飞球各重A,B各重W1；套筒C重W2，可沿y轴上下移动；各杆长均为l，重量可略去不计。试求杆张开的角度a。,例13-1,第二节 质点系的达朗贝尔原理,解: 这是由飞球和套筒组成的质点系。首先分析各物体的

4、运动，并在每一物体上加上惯性力。 当调速器以匀角速转动时，角a 将保持不变，飞球在水平面内作匀速圆周运动，其向心加速度为,加上相应的惯性力,则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一平衡力系。,第二节 质点系的达朗贝尔原理,再考察图 ()，得平衡方程,图(b),图(c),联立可解得,由于对称, 故可只考察C及A。作的受力图如图示。考察图()，由Fix，得再由 得,第二节 质点系的达朗贝尔原理,如图所示，飞轮重W，半径为R，以匀角速度 转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面上的拉力。,例13-2,此惯性力系与两断面的拉力组成平衡力系。,解:取上半部分轮缘

5、为研究对 象。将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力，即,第二节 质点系的达朗贝尔原理,此惯性力系与两断面的拉力组成平衡力系,第二节 质点系的达朗贝尔原理,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形，分别讨论惯性力系简化的结果。,设刚体作平行移动，某瞬

6、时的加速度为a。根据刚体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因而各点的惯性力,组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力,合力FI的作用线通过刚体的质心。,下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化：,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,仅讨论刚体具有对称面，且转动轴垂直于对称面的情形。,根据对称性，可将惯性力系简化为在对称面内的一平面力系。 然后，根据平面力系简化的理论，再将该惯性力系向轴心O简化，得到一惯性力和一惯性力偶。,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,设刚体质量为m ，某瞬时绕Oz轴转动的角速度为 ，角加速度为 ，刚体质心的加速度为 ，则,如果不取O点而取质心C为简化中心，

7、将惯性力系向C点简化，就得到在质心C的惯性力FI和在对称面内的惯性力偶MIC，即,值得注意：惯性力FI必须画在简化中心上，惯性力偶大小的计算必须与简化中心的位置相对应。,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,对于刚体系统，可分别对各个刚体施加相应的惯性力和惯性力偶，然后按照静力学的方法，列平衡方程求解。,将平面运动分解为随同质心的平移和绕质心的转动，设质心的加速度为aC ,绕质心转动的角加速度为 ，则,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,重的轿车，以速度v行驶于直线公路上，因故紧急制动，制动后还滑行了一段距离s才停车。求在制动过程中地面对前后轮的法向反力。已知重心离地面的距离为h，到前轴和后

8、轴的水平距离分别为l1和l2，如图所示，车轮的质量忽略不计。,解: 设轿车在制动过程中作匀减速直线平动，质心加速度的大小,例13-3,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,在质心加一惯性力，指向车前方;作用于车的主动力有重力，约束力有地面对前后轮的法向反力及摩擦力。因制动时车轮向前滑动，所以前后轮的摩擦力都向后。 应用达朗贝尔原理，有,可见在紧急制动时，前轮反力增大，而后轮反力减小。,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距，已知轮重，并以的匀角速转动。设转动轴垂直于对称面，如图13-8所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。,解: 转轮作匀速转动，质心只有向心加速

9、度，而无切向加速度，且MIz，所以只须在质心加一离心惯性力，其大小为,为了简化计算，取质心C在yz平面内，即xC。于是可写成平衡方程：,例13-4,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,注意：计算数值时， 一项因远比 小而被略去了，所以FAy及FBy几乎完全是由于转轮的动力作用而产生的。,从计算结果可以看出，虽然只有0.5mm的偏心距，转速也不是太高，而动反力却达到轮重的倍。所以对于由高速旋转的物体而引起的动反力，必须予以足够的重视。,将 及有关数据代入，解得,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态开始，自固

10、定点O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。,试求： 固定端O处的约束力。,解：(1) 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。,例13-5,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力的受力图。对A 点求矩，有,由于圆柱体纯滚动，因而有,解得,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,(2) 确定固定端的约束力。以整体为研究对象，画出受力图。由动静法得平衡方程如下：,解得,第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,设刚体(如机器上的转动部件)在主动力 的作用下绕固定轴转动，某瞬时有角速度 ，角加速度 （如图）。试

11、用达朗贝尔原理求两轴承处的反力。 首先计算刚体各质点的惯性力，并导出惯性力系的简化结果。,取坐标系如图所示。命刚体内任一质点Mi的质量为mi，相对于O点的矢径为ri，其坐标为xi，yi，zi。则点Mi的加速度为,而,以A点为简化中心，将惯性力系向A点简化得：,因,（建议读者由式 推证，以资练习）,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,惯性力在各坐标轴上的投影分别为,为求惯性力系对A点的主矩，先求FIi对A点的矩得,因,故,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,于是得惯性力系对 点的主矩为,分别是刚体对 轴及对 轴的惯性积 。,而,于是得,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,惯性力系对各坐标轴的矩则分别是,求轴承反力，可列出6个平衡方程为：,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,将惯性力、惯性力偶的各分量代入 ，可得到刚体定轴转动微分方程，以及轴承反力为,可见，轴承处的反力包含静反力和动反力两部分。,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,动反力可能很大，在工程中常常产生不良影响。怎样消除动反力呢?由上式可知，要使动反力等于零 ，必须,前一条件要求转动轴通过刚体的质心，后一条件则要求转动轴是刚体的惯性主轴。 就是说，欲使动反力为零，转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,第四节 非对称转动刚体的轴承动反力,谢谢大家,