基于copula函数的随机性期望赔付法-闫春.pdf

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1、第32卷第8期Vol32 No8统计与信息论坛Statistics&Information Forum2017年8月Aug，2017【统计理论与方法】基于Copula函数的随机性期望赔付法闰春，董婷婷，刘 倩(山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590)摘要：未决赔款准备金评估的随机性方法逐渐得到重视，而考虑赔款数据的相关性可提高准备金评估的精确性。在确定性期望赔付法的基础上，提出一种基于阿基米德Copula函数的随机性期望赔付法；在准备金评估中利用核密度估计实现进展因子的随机化，并在此基础上应用阿基米德Copula函数分析两类赔款数据相关性的问题；利用R软件模拟总损失准备金的分布，

2、研究表明该方法相比传统的期望赔付法具有更强的灵活性，其结果也更符合实际。关键词：期望赔付法；随机性方法；核密度估计；阿基米德Copula函数中图分类号：F84065：02119 文献标志码：A 文章编号：100731162017)08一o008一08一蚓言 黧毒器，笺篥誉霏霎銎篡警釜罨暑雾翼宰责任准备金是非寿险公司最主要的负债项目， 的期望赔付法在处理对于具有较长期的事故发生模决定着保险公司未来的偿付能力和盈利能力。通过 式和理赔模式的业务时应用得较为普遍。然而，当合理的评估方法计算出来的非寿险准备金可以增加 保险公司进入一个新的行业领域或开展一个新业收稿日期：2017一0120；修复日期；2

3、017一06一05基金项目：国家自然科学基金项目基于结构化大数据深度挖掘的非寿险保险公司经营风险模型研究(61502280)作者简介：闫春，女，山东邹城人，工学博士，副教授，研究方向：保险精算，大数据分析与处理，统计学；董婷婷，女，山东平度人，硕士生，研究方向：保险精算与风险管理；刘倩，女，山东枣庄人，硕士生，研究方向：保险精算与风险管理。P舭姗eters Estimati蛐of Mixture Reg啷si叩for Rep砌区眦tive Dispe体i伽M0delWU Liucang，KONG Xian分chao，DAI Lin(Faculty of science，KullIIling U

4、niversity of Science and Technology，Kunrning 650093，Chim)Abstract： With the development of social informatization， the varieties of data are becomingincreasingly diversified In the actual data analysis， the nonhomogeneous population is more preValentthan the honlogeneous population，so mixture regres

5、sion model is one of the most important statistical dataanalysis tools Reproductive dispersion model is more widespread distribution than the exponential family，so it is more applicable Based on this， we propose mixture of reproductiVe dispersion model， and theposition parameters are modeled The max

6、imum likelihood estimation of the modeI parameters is studiedby EM algo“thm Finally，Monte Carlo simulation and a real example show that the model and method iseffective and usefulKey words：miXture of reproductive dispersion model；EM algorithm；position parameters；maximumlikelihood estimation(责任编辑：郭诗梦

7、)8万方数据闫春，董婷婷，刘倩：基于Copula函数的随机性期望赔付法务，对于同类型索赔、业务或环境的改变使近期的历史数据与未来赔付的预测相关性减弱、数据并不适用于其他准备金估计方法时，也可以使用期望赔付法。在实务中，保险公司对于未决赔款准备金的评估传统上采用的是确定性方法，这类方法的缺陷是只能给出未决赔款准备金的一个估计，而不能得到估计的精度，这就无法度量未决赔款准备金提取不足或过量所带来的风险。国际上已经充分认识到仅仅使用确定性方法来评估未决赔款准备金是远远不够的，而解决估计精度问题的最好办法就是应用随机性模型。索赔准备金评估方法的最新发展趋势是考虑相依结构的两类多元评估随机性方法，即将基

8、于两类赔款数据之间的相关性和基于不同业务线之间的相依性体现在准备金评估的分析框架中。在采用严格的统计模型与方法模拟准备金的预测分布方面，国外学者更多关注于随机性Munich链梯法的研究，较新文献见Happ和Merz1|、Happ和Wnthrich幻的研究；Costa等人基于异方差回归模型，设计并实现用蒙特卡罗方法寻找可行的均方误差公式并预测IBNR准备金3。国内学者张连增、段白鸽创新性地研究了如何将已决赔款和已报案赔款数据的相关性引入到随机性准备金评估方法中，提出了两种基于相关性的随机性准备金进展法41；闫春等人在准备金进展法中考虑离群值的影响，对支付率和结转率的尾部数据加以修正，改善了最后两

9、个进展年的异常值不能被有效识别的情况5|。在分析变量相关性方面，李秋雨等人运用空间自相关理论分析经济增长、国内及入境旅游业发展的空间分布特征和时空演变格局，对旅游业发展与经济增长关系进行了探究6。由于Copula函数在分析变量间的相关性方面有很大的优势，这种方法已经成为衡量变量间相依性的有力工具。Zhao等人使用半竞争风险Copula和半生存Copula模型，分析了在个体索赔损失模型中索赔事件时间和延迟的依赖结构73；Shi等人通过Copula回归模型解决了两个业务线在相依情况下的准备金评估问题83；Jong通过Copula函数和因子分析法研究了多个业务线的准备金评估问题93；Zhao等人基于

10、Copula理论用独立删失模型研究长期医疗成本，采用两步估计法得到医疗费用以及Copula相依参数的估计103；Li等人利用Copula函数对洪水事件进行概率建模，有效地分析了洪水发生的频率1妇；Tang等人应用基于Copula的GARCH模型分析了旅游需求和汇率之间的依赖关系，提出评估汇率在国际旅游需求模型中的作用的方法123；刘新红、孟生旺在假设各个业务线的增量已决赔款服从伽马分布、逆高斯分布和对数正态分布的基础上，建立了各个业务线增量已决赔款相互依赖的藤Copula回归模型，并将此模型应用于一组实际的车险数据”3；胡晓伟等人用多元正态Copula模型的研究方法，提出多元tCopula模型

11、，利用不同业务的损失流量三角形，从理论和实际数据等方面研究不同业务间的相关性14；陈欣等人将Copula方法应用于随机性准备金进展法，对未决赔款准备金进行了更加有效地估计1司；巢文等人基于巨灾损失具有厚尾分布的特征，采用POT极值模型分别估计两个保险标的的边缘分布，并用二元Copula函数刻画这两个保险标的的关联性1 6|。期望赔付法对于具有较长期的事故发生模式和理赔模式的业务，应用得更为普遍。考虑到上述研究都未曾考虑在期望赔付法中加入两类数据的相关性的问题，而COpula函数能较好地衡量变量问的相关性，故将其应用于非寿险多元索赔准备金评估的期望赔付法中。在已有研究中，大部分用BOOtstra

12、p法来实现评估方法的随机化并且假设数据分布已知，而未决赔款准备金的分布经常是不确定的。考虑到非参数核密度估计方法可以对未知的边际密度进行估计，尝试用核密度估计的方法，在期望赔付法的基础上加入随机因素，通过核密度非参数估计对进展因子实现随机化形成随机性期望赔付法，并将已付和已报案赔款数据的相关性通过阿基米德COpula函数形式体现，使模型能够更好地拟合现实情况。二、期望赔付法期望赔付法是利用期望赔付率对最终赔付额进行估计的方法。期望赔付率是赔款与保费之比，但值得注意的是期望赔付率定义的概念范畴，由于赔款可以是已付赔款或预测的最终赔款，保费可以是承保保费或已赚保费，因此对于赔款和保费的不同选择将会

13、导致不同的赔付率计算结果。期望赔付法对于具有较长期的事故发生模式和理赔模式的业务应用得更为普遍，期望赔付法的数据组织形式可以由事故年、报告年、保单年、承保年和日历年等构成。以保险公司的已赚取保费为标准，期望赔付率按已报案赔款和已付赔款可以分别求得已报案赔款9万方数据统计与信息论坛期望赔付率和已付赔款期望赔付率，用公式表示为：已报案赔款期望赔付率一已报案赔款已赚保费 (1)已付赔款期望赔付率一已付赔款已赚保费 (2)期望赔付法的关键假设是精算师从基于先验(或最初)估计中得到关于总未赔付的估计值，要优于从历史理赔经验中得到的估计值。在某些情况下，对于最终理赔的估计，历史理赔经验提供的信息要少于先验

14、估计的信息。用赔付率法估计未决赔款准备金的基本公式为：未决赔款准备金一已赚保费赔付率一已决赔款 (3)期望赔付法的基本步骤：步骤一：根据累计的已报案数据Ii，和已付数据Pj，的流量三角形，计算进展因子：脯。一半。=铲 (4)“J 1 l，J选取合适方式处理进展因子，本文用平均值代替：，r1 r1兵去蚤腑，仁去蚤殍咐- (5)其中最终事故年及以后的进展因子因缺少数据用l代替。步骤二：根据调整后的进展因子算出最终赔付进展因子CDF，其计算式将已经选定的进展因子从后向前依次进行连乘：一1一1cDFk尸CDFP一广 (6)步骤三：选取已报案赔款和已付赔款的对角线元素，乘以各自的最终赔付进展因子，得到已

15、报案赔款的预测值砰和已付赔款的预测值P；，其中1i靠，1歹”，取二者的平均值，得到最终赔付预测值G： Cm一掣(1m)(7)步骤四：已付赔款的预测值群除以已赚保费得赔付率的估计值芎，取平均得到最终的期望赔付率：DP哼一 (1歹以) (8)oj疗r一止(1歹竹) (9)步骤五：对最终期望赔付进行预测：未决赔款准备金=已赚保费*赔付率一已决赔款，加总得到1 O总未决赔款准备金IBNR：生IBNR一：(S。rP) (10)五三、基于核密度估计的随机性期望赔付法在已有的涉及到随机陛的准备金模型研究中，常见的是用Bootstrap法来实现评估方法的随机化，并且有的方法假设赔款数据的分布为已知，而准备金评

16、估中赔款数据的分布经常是不确定的。鉴于对未知分布数据的边际密度可以用非参数核密度估计方法进行估计，本文引入核密度的方法来实现期望赔付法中进展因子的随机化。核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数的方法，属于非参数检验方法之一，由Rbsenblatt(1955)和Emanuelen(1962)提出，又名Parzen窗(Parzen谢nd。w)。假设有规个数X。，X。，K是来自连续分布函数Fi(X)的同分布样本，那么R(Xi)的非参数核密度估计为：广X；Fi(Xi)一I(s)出 (11)而 五(引一去萋K(字)(12)其中K为核密度函数；矗为设定的窗宽，也是样本的光滑参数。核函数的选择比较广泛

17、，只要是满足对称性质的密度函数即可。核密度估计性能的优劣，取决于K的选择，常用的核函数有Uniform、Triangle、Gaussian、Epanechnikov。在实际的应用计算中，通常是根据样本确定核函数，当样本的数据量较大时，核函数的选取对于核密度函数的估计没有较大的影响。而本文选取的K是三角核函数，通过三角核函数得到准备金进展因子和残差数据的分布。引入核密度估计的随机性期望赔付法的具体步骤如下：步骤一：根据累计的已报案数据k和已付数据P的流量三角形，计算进展因子：臁，一半，层升一铲 (13)1 2J 1 zJ步骤二：在得出进展因子的基础上，利用三角核函数对两类进展因子进行估计，并根据

18、式(11)和(12)构造新的进展因子流量三角形：，知升-恐+，步骤三：重复第二部分中确定性期望赔付法的步骤二至步骤五，计算得到一次模拟中未决赔款准备金、最终损失和IBNR的均值估计。万方数据闫春，董婷婷，刘倩：基于COpula函数的随机性期望赔付法步骤四：对两类进展因子进行10 000次的模拟，重复确定I生的期望赔付法的步骤可以得到未决赔款准备金的预测分布，进而得到均值、标准差、分位数等。四、基于Copula函数考虑两类数据相关性的随机性期望赔付法通常来说，上三角累计已付赔款P与累计的已报案赔款J之间存在正相关性，在模拟未决赔款准备金过程中，为描述这种相关性，提出用二元分布来模拟两个流量三角形

19、残差的联合分布，进而得到累计已付赔款和累计已报案赔款数据的模拟分布。上述的随机性期望赔付法未曾考虑两类赔款数据之间的相关性，鉴于此将Copula函数与随机性期望赔付法相结合，用copula函数来体现已付赔款和已报案赔款数据的相关性，进而得到未决赔款准备金的预测分布以及均值、标准差、分位数等。(一)Copula模型C0pula函数是一种通过数据和单个变量的边缘分布函数来构造多个变量联合分布函数的统计学方法。C0pula理论由Suar于1959年提出，Sl【lar指出可以将任意个咒维联合累积分布函数分解为孢个边缘累积分布和一个Cbpula函数。COpula函数描述的是变量之间的相关陛，也就是说Co

20、pula函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。Copula函数的定义为：两组随机变量X、y，其边际分布分别为F(z)和G(y)，二者的联合分布为H(z，y)，假设存在“，uo，1使得zr1(“)，y一伊1(可)。根据Sklar定理可以确定唯一的Copula函数C，使得一切实数集上的(z，3，)满足H(z，y)一C(F(z)，G(3，)， 而且C(“，u)一H(r1(“)，伊1(口)，其中C(“，础)满足性质：1对于“和秒，有C(“，0)一C(0，钉)一O，C(甜，1)一“，C(1，口)一w。2C(“，口)对任意的甜，口都是非减

21、的。本文在准备金的评估中，主要运用阿基米德Copula函数描述期望赔付法中已付赔款和已报案赔款之间的相关性。阿基米德Copula函数具有一定的代表性且可以构造出多种相依关系，并且在实例分析中较为容易模拟。常用的阿基米德Copula函数包括：Clayton Family、Gumbel Family和Frank Family，其表达式如下：C1(“，u；臼)一(沪+矿一1)亏口O (14)C2(甜，口；臼)一exp一(一ln乱)。+(一1n口)8)言)臼0 (15)C3(甜，口；臼)一一旷l。g1+鱼兰_二孑掣(16)其中甜和口是o，1上的均匀分布变量；口为描述两个变量间相依性关系的参数。(二)基

22、于阿基米德Copula函数考虑两类数据相关性的随机性期望赔付法步骤步骤一：将累计赔款数据L。只J转化为相应的增量赔款数据X；。和x，。步骤二：在得出增量数据的基础上构造相应的残差数据，求相应的样本均值X；和叉f、样本标准差盯；和叮f，对每列进行如下形式的标准化： ReS(，)一掣6 3Res(磁f)一鱼(17)乃第孢个进展年只有一个数据，均值是本身，标准差为o，因此设最后一个进展年咒的残差数据是o，然后进行计算。步骤三：调整残差：Res(X!，)一(咒+2)以Res(X!。) (18)Res(x#i)一T万于万。万Res(xi) (19)步骤四：在步骤三得到的调整后残差的基础上用非参数的核密度

23、方法来估计参数的边际函数；再由核密度的方法估计出联合密度函数。假设两类调整后的残差数据是来自未知二元分布函数F(z，zz)的一个样本，则F(z，z。)的基于乘积核的非参数二元核密度函数的估计为：肌。幽，一丢骞垂西(与警)，步骤五：用平方欧式距离厶2来选取最优的阿基米德Copula函数，从而在最优的Copula函数中抽取随机数来模拟残差数据，平方欧式距离为：厶2一(FG)2 m，忌一1，2，3 (21)面选取最小d。2所对应的阿基米德Copula函数，即为最优的Copula函数。步骤六：在步骤四中确定的最优阿基米德C却ula函数中用R编程抽取随机数，实现对调整后残差的模拟；通过模拟的残差进行反演

24、变换得到两类增量赔款数据怒，和溉，进而得到累计赔款数据t，和只步骤七：根据步骤六中得到的k和p。，利用1】万方数据统计与信息论坛随机性期望赔付法的步骤经过10 000次模拟后，可 付赔款数据和累计已报案赔款数据。下面通过一个以得到未决赔款准备金的分布特征。 实例，对本文的基于Copula函数的随机性期望赔付五、实证分析 姜言怒喾豪蓑嚣鬻五妻零爨期望赔付法需要的数据，是已赚取保费、累计已表1已赚取保费表皇塑笙 ! !丝 ! ! ! !塑! !里壁垦堡茎 !竺! ! ! ! ! !：! !竺表2累计已付赔款流量三角形表事故年可广丁掣坠r了r一2003 22 992 259 40 096 198 4

25、7 767 835 52 093 916 54 363 436 55 378 801 55 878 4212004200520062007200824 092 78224 084 45124 369 77025 100 69725 608 77641 795 31341 399 61241 489 86342 702 22943 606 49749 903 80349 070 33249 236 67850 644 99454 353 88453 584 20153 774 67Z56 754 376 57 807 25155 930 6542009 Z7 ZZ9 969表3累计已报案赔款流量

26、三角形表进展年事故年1广FFF了亍1一2003 42 394 069 50 584 112 53 704 296 55 150 118 55 895 583 56 156 727 56 299 5622004 44 755 243 52 871 643 56 102 312 57 703 851 58 363 564 58 592 7122005 45 163 102 52 497 731 55 468 551 57 015 411 57 565 3442006 45 417 309 52 640 322 55 553 773 56 976 6572007 46 360 869 53 790

27、061 56 976 6572008 46 582 684 54 641 339(一)确定性期望赔付法的未决赔款准备金评估 根据求得的进展因子得到各类数据的预测值，根据表2表3的数据，用R程序计算出两类数 求得最终期望赔付率见表6。通过表6得到最终未据的进展因子和最终进展因子(见表4表5)。 决赔款准备金为：72 385 114。表4累计已报案赔款的进展因子表进展年事故年百=ri五1=丁石j1=丁ii石巧一O 1193 188 1061 683 1026 9Zl 1013 517 1004 671 1002 543 11 1181 35 106l 104 1028 546 1011 432 1

28、003 9262 1162 403 1056 589 1027 887 1009 643 1159 036 1055 346 1025 6124 1160 247 1059 2415 1172 996CDF 1297 734 1107 719 1046 209 1018 464 1006 854 1002 544 1-_-_-_-_-_-_-_-_一 一表5累计已付赔款的进展因子表进展年事故年百=ri习1=丁iji=丁i磊i巧一O 1-743 899 1191 330 1090 564 1043 565 1018 677 1009 021 1l 1734 764 1194 004 1089 1

29、73 1044 16 1018 5512 1718 935 1185 284 1091 987 1043 793 1702 513 1186 715 1092 1664 1701 236 1186 0035 1702 795CDF 2389 349 1391 294 1170 465 1072 863 1027 804 1009 021 112万方数据闫春，董婷婷，刘倩：基于Copula函数的随机性期望赔付法表6期望赔付率表事故年 已赚保费 已付赔款 预测值 已翥翥譬款 最终预测值 期器葬釜率 靠；蒋窘 期望赔付值 未决赔款2003200420052006200720081111 11 111

30、丝! ! !i!； !塑!； !：! !：! ! i!i!i!(二)随机性期望赔付法对两类进展因子模拟10 000次，作出索赔准备金的预测分布图(见图1)。从索赔准备金的预测分布图中可以看出，未决赔款准备金分布比较均匀、集中，索赔准备金的值在85 850 000左右时的概率最大，该值与确定性期望赔付法的结果较为接近，说明随机性期望赔付法的有效性。69065P064e-06瓣3P一06曝2e06le06006，、k乒、 、 奠 级r1rl85 700 000 85 800000 85 900 000 86 000000总准备金图1核函数为三角核时的总准备金分布图通过计算得到基于三角核不同的窗宽对

31、总准备金分布的影响如表7所示。在对准备金分布进行分析之前，大多数研究都假定模型所含的随机变量是服从一定的概率密度函数，所需要的仅仅是在观测样本基础上对概率密度函数中的未知参数进行估计。但实际情况是，边际分布并不一定完全服从假定的分布，而核密度估计则可以在不知道数据分布的情况下得到所估计数据的密度分布。在上述计算中分别采用了三角核的单倍窗宽、5倍和lo倍窗宽，对应的变异系数分别为o000 7、o001 5、o003 7，即通过选择不同的窗宽，对应的变异系数也不同，从而可以模拟不同离散程度下的准备金分布，体现了在准备金评估中的灵活性。表7不同窗宽预测分布的分布特征对比表分布特征 三角核b窗宽 三角

32、核5b窗宽三角核10b窗宽模拟次数 lo ooo 10 oOo 10 000均值 85 855 779 85 856 862 85 860 366标准差 62 79285 131 1894 322 9921变异系数 oooo 7 o001 5 o003 7最小值 85 679 458 85 390 008 84 711 84825分位数 85 808 648 85 767 70l 85 638 331中位数 85 852 747 85 857 964 85 858 81275分位数 85 899 036 85 945 338 86 085 001最大值 86 076 350 86 313 25

33、7 86 977 144(三)阿基米德Copula函数在随机性期望赔付法中的应用根据表2和表3中的数据得到两类增量数据的流量三角形，见表8表9所示。表8增量已付赔款流量三角形表20032004200520062007200822 992 25924 092 78224 084 45124 369 77025 100 69725 608 77617 103 93917 702 53117 315 16117 120 09317 601 53217 997 7217 671 6378 108 4907 670 7207 746 8157 942 7654 326 0814 450 0814 513

34、 8694 537 9942 269 5202 400 4922 346 4531 015 365 499 6201 052 8751328070889951956577480895933703560852O642831一一l69349453542O98524799694O537088627oo2869382344556口6999999t4t4月t4777777888888777777666666OOOOOO813265l202646114O518256O386O16736333776666OOO0001817622(u5716438782O830253946232548754O9778665

35、555O3501335197492568787989192O254356097309878665555228410168668941oo77198258667982O62643509778665Eu555713295842179855324833524246l75267l2296145778999万方数据统计与信息论坛根据表8表9中的数据，得到调整后两类增量 数据的残差流量三角形，如表10表11所示。表10调整后增量已付赔款的残差流量三角形表事故年进展年20032004200520062007200820091640 80632 2一O639 8一O378 4O291 450757 09224

36、2 851316 70O816 03一O564 11-259 14O456 181867 771051 31884 351057 51一O546 140。770 661840 710097 36O799 451138 631-489 051325 08O163 971154 701154 702003200420052006200720082009一O777 56一O213 lOO115 60一O054 83O170 73O223 7O766 62O544 10O457 87一O457 42一O588 10O346 71O390 27O150 87O615 96O477 8O719 38O43

37、0 43O462 31 O781 08 O816 490769 25 O066 72 0816 49O336 79 一O847 8O643 73通过本文中第四部分(二)中的步骤五选择对应平方欧式距离最小的Copula函数，确定了解决两类赔款数据相关性的Copula函数为Gumbel Copula，其具体形式为：C(“，勘；臼)一exp一(ln“)9+(一ln聊)8)言)口O于是在该COpula函数中抽取随机数，模拟残差数据后经过反演变换得到两类累计赔款数据，进而得到未决赔款准备金分布特征，并与随机性期望赔付法得到的未决赔款准备金的分布特征进行对比，结果见。表12。表12随机性期望赔付法与基于阿

38、基米德C0pula函数的随机性期望赔付法对比表在精算实务中，变异系数的大小可以衡量出准备金的波动程度，基于阿基米德Copula函数的期望赔付法得到的变异系数较小，标准差也更小，说明该模型比较稳定。基于阿基米德Copula函数的随机14性期望赔付法考虑到两类数据的相关性，也就是在实际中考虑到更多的风险，因而导致未决赔款准备金的预测值比随栅陛期望赔付法得到的未决赔款准备金的预测值大，这说明：基于阿基米德Copula函数的随机性准备金估计结果要优于确定性模型，对准备金风险的评估也更加合理；而如果忽略两类赔款数据的相依关系，就有可能低估实际的准备金风险。六、总结考虑到传统的期望赔付法只能得到准备金的点

39、估计，且无法考虑赔款数据的相关性，本文运用核密度估计的方法实现期望赔付法中进展因子的随机化，从而将确定性期望赔付法转变为随机性期望赔付法，并得到不同窗宽下预测的未决赔款准备金的分布特征，模拟出了未决赔款准备金的分布。同时，赔款数据通常是具有相关性的，忽略数据相关性可能会造成未决赔款准备金评估的偏差，于是在随机性期望赔付法基础上利用阿基米德Copula函数考虑已付赔款和已报案赔款这两类数据的相关性。本文提出利用非参数的方法来实现进展因子的随机化，在模型分析中用阿基米德C。pula函数解决准备金中的赔款数据相依赖的问题，实证分析得到了标准差和变异系数较小的稳定的未决赔款准备金评估模型，其结果更加符

40、合实际情况。万方数据闫春，董婷婷，刘倩：基于COpula函数的随机性期望赔付法参考文献：12345678910111213141516Happ S，Merz M，wnthrich M V C1aims Development Result in the Paid-Incurred Chain Reserving MethodJInsurance Mathematics&Economics，2012，51(1)Happ s，wnthrich M vPaid_Incurred chain Reseing Method with Dependence ModelingJAsTIN Bulletin：

41、TheJournal of the IAA，2013，43(1)Costa L，Pizzinga A，Atherino R Modeling and Predicting IBNR Reserve：Extended Chain Ladder and HeteroscedasticRegression AmlysisJJournal of Applied Statistics，2015，43(5)张连增，段白鸽基于已决赔款与已报案赔款相关性的随机性准备金进展法J管理评论，2013(5)闫春，邱艺伟，陈祥辉考虑离群值的非寿险准备金进展法口统计与信息论坛，2015(4)李秋雨，朱麟奇，刘继生基于空间

42、计量模型的中国旅游业发展与经济增长关系研究口西安财经学院学报，2017(2)zhao X B，zhou)(Applying COpula Models to Individual claim Loss Reserving MethodsJInsurance：Mathematicsand Economics，2010，46(2)Shi P，Frees E W-Dependent Loss Reserv啦Using CopulasJA盯IN Bulletin，2011，41(2)Jong P DModeling Dependence Between Loss TrianglesJrth Ameri

43、can Actuarial Joumal，2012，16(1)zhao X B，zhou xSufficient Dimension Reduction on the Mean and Rate Function of the王kcurrent EventsJStatisticsin Medicine，2014，33(21)Li F，Zheng Q-ProbabilisticIodeling of Flood Events Using the Entropy CopulaJAdvances in Water Resources，2016，97Tang J，Sriboonchitta S，Ram

44、os V，et a1Modeling Dependence Between Tourism Demand and EXchange Rate Using theCopula-Based GARCH Model口Current Issues in Tourism，2016(9)刘新红，孟生旺基于藤Copula的GAMK妈模型与非寿险准备金评估J经济数学，2014(4)胡晓伟，刘燕基于多元tCopula模型的未决赔款准备金口郑州大学学报：理学版，2016(1)陈欣，刁明月基于COpula函数的随机性准备金进展法J数学学习与研究，2016(9)巢文，邹辉文基于CopulaE、，T模型的巨灾再保险定价

45、J统计与信息论坛，2017(5)St眦h嬲tic Expectati蚰Pa肿ent Method Based伽Copllla F哪cti帅YAN Chun，DONG Ting_ting，LIU Qian(College of Mathematics and System Sciences，Shandong University of science and TechnOlogy，Qingdao 266590，China)Abstract：The stochastic approach to the assessment of outstanding claims reserVes is inc

46、reasinglytaken into account，and the relevance of the data can improve the accuracy of the reserve assessmentOnthe basis of deterministic expectation payment method，a stochastic expectation payment method based onArchimedean copulas is proposed Using the kernel density estimation to realize the rando

47、mization of theprogress factors in the reserve evaluation And apply Archimedean copulas to analyze the correlation of thetwo types of claims dataAnd then use the R software for empirical analysis to simulate the distribution ofthe total reservesThe results show that the proposed method is more flexible than traditional expectationmethod and the result is more realisticKey words： expectation payment me