2008年高考试题理科数学(江苏卷)及答案解析.pdf

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1、精心整理2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1 小题，每小题 5 分，共 70 分1若函数cos()(0)6yx最小正周期为5，则. 2若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4 的概率是3若将复数11ii表示为( ,abi a bR i是虚数单位）的形式，则ab4若集合2|(1)37,AxxxxR，则 AZ 中有个元素 .5已知向量a和b的夹角为0120，| 1,| 3ab，则|5|ab6在平面直角坐标系 xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域

2、， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是7某地区为了解 7080岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h） ，随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50位老人睡眠时间的频率分布表：在 上述统计数据的分 析中一部分计算见 算法流程图，则输 出的 S的值为8 设直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数 b 的值是9如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC的顶点分别为)0,(),0,(),0(cCbBaA，点(0 , )Pp在线段 AO上的一点（异于端点），这里pcba,均为非零实数，设直线CPBP,分别与边ABAC,交 于点

3、FE,， 某 同 学 已正 确 求 得直 线 OE 的 方 程 为01111yapxcb，请你完成直线OF 的方程：()011yapx。10将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3 个数为11设 , ,x y z为正实数，满足230 xyz，则2yxz的最小值是序号i分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率 （iF）1 6 2 10 3 20 4 10 5 4 开始S 0 输入Gi，i1 S SGiFii 5 i i 1 N Y 输出 S 结束A B C x y P O F E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4、 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理A B C D E F B C D A O P 12在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0(12222babyax的焦距为 2c，以 O为圆心， a为半径作圆M ，若过20aPc，作圆 M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13满足条件BCACAB2,2的三角形 ABC 的面积的最大值14设函数3( )31()f xaxxxR，若对于任意的1 , 1x都有0)(xf成立，则实数 a 的值为

5、二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15如图，在平面直角坐标系xOy中，以 Ox 轴为始边作 两 个 锐 角，它们的终边分别交单位圆于AB，两点已知AB，两点的横坐标分别是210，2 55（1）求tan()的值；（2）求2的值16如图，在四面体 ABCD中， CBCDADBD，点 EF，分别是 ABBD，的中点求证：（1）直线/EF面 ACD 。（2）平面 EFC面 BCD17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点 A，B及CD的中点 P 处AB 20km ，BC 10km 为了处理这三家工厂的污水，现

6、要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO 记铺设管道的总长度为 ykm （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO（rad） ，将 y 表示成的函数；（ii ）设 OPx（km ） ，将 y 表示成 x 的函数；（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。18在平面直角坐标系xOy中，记二次函数2( )2f xxxb（ xR ）与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为C（1）求实数 b 的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的

7、结论19 （1）设12,na aa是各项均不为零的 n（4n）项等差数列，且公差0d，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i ）当4n时，求1ad的数值；（ii ）求 n的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数n(4n) ，存在一个各项及公差均不为零的等差数列B A x y O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理12bb， ， ，nb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列20已知函数11(

8、 )3xpfx，22( )2 3xpfx（12,xR pp为常数） 函数( )f x定义为：对每个给定的实数 x，112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx若若（1）求1( )( )f xfx对所有实数 x 成立的充分必要条件（用12,pp表示） ；（2）设,a b是两个实数， 满足 ab，且12,( , )p pa b若( )( )f af b ，求证：函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间, m n的长度定义为nm）数学附加题21：从 A，B，C，D四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20分A选修 41 几何证明选讲如图

9、，设ABC的外接圆的切线 AE与 BC的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC交于点 D 求证：2EDEB ECB选修 42 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2241xy在矩阵 0,0 1) 对应的变换作用下得到曲线F，求 F的方程C选修 44 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy中，点()P xy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值D选修 45 不等式证明选讲设 a，b，c 为正实数，求证：3331112 3abc+abc22 【必做题】记动点 P是棱长为 1 的正方体1111-ABCD A B C D的对角线1BD上一点，记11D PD B当APC为钝角时，求

10、的取值范围23 【必做题】请先阅读：在等式2cos22cos1xx（ xR ）的两边求导，得：2(cos 2 )(2cos1)xx，由求导法则，得(sin 2 ) 24cos(sin)xxx，化简得等式： sin22cossinxxx（1）利用上题的想法（或其他方法） ，结合等式0122(1+x) =CCCCnnnnnnnxxx（ xR ，正整数2n） ，证明：112(1)1Cnnkknknxkx（2）对于正整数3n，求证：B C E D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 1

11、1 页 - - - - - - - - - - 精心整理（i ）1( 1)C0nkknkk； （ii ）21( 1)C0nkknkk； （iii）11121C11nnknkkn2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题1、10；2、112；3、1；4、6；5、7；6、16；7、6.42；8、ln2 1；9、11cb；10、262nn；11、3；12、22；13、2 2；14、4；2、 【解析】本小题考查古典概型基本事件共66 个，点数和为 4 的有(1,3) 、(2,2) 、(3,1) 共 3个，故316612P6、 【解析】本小题考查古典概型如图：区域D表示边长

12、为 4 的正方形的内部（含边界） ，区域 E表示单位圆及其内部，因此214416P7、 【解析】由流程图9、 【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性 可 猜 想 填CP ：1xycp，11cb事实上，由截距式可得直线AB ：1xyba，直线两式相减得11110 xybcpa，显然直线 AB与 CP的交点 F 满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程10、 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数 12（ n1）个，即22nn个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为262nn11、 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用

13、由230 xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当 x3z时取“”12、 【解析】设切线 PA 、PB互相垂直，又半径 OA垂直于 PA ，所以 OAP是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea13、 【解析】设 BC x ，则 AC 2x，根据面积公式得：ABCS=21sin1cos2AB BCBxB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理根据余弦定理得：2222242co

14、s24ABBCACxxBAB BCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得2 22222x，故当2 2x时取得ABCS最大值2 214、【解析】 若 x0， 则不论 a取何值，fx 0 显然成立；当 x0 即1,1x时，331fxaxx0 可化为，2331axx设2331g xxx，则43 12xgxx，所以 g x 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142g xg，从而 a4；当 x0 即1,0 时，331fxaxx0 可化为 a2331xx，43 12xgxx0g x 在区间1,0 上单调递增，因

15、此ma14ng xg，从而 a 4，综上 a 4 二、解答题15、 （1）由已知条件即三角函数的定义可知22 5cos,cos105，因为锐角，故 sin0，从而272sin1cos10同理可得25sin1cos5，因此1tan7,tan2. 所以tan()=17tantan2311tantan172; （2）132tan(2 )tan()111 ( 3)2, 从而由tan(2)1得324. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心

16、整理16、证明： （1）E,F 分别是 ABBD，的中点EF是ABD的中位线， EFAD ，EF面 ACD ，AD 面 ACD ，直线 EF面 ACD ；（2）AD BD ，EFAD ，EFBD ，CB=CD ，F 是的中点， CF BD 又 EFCF=F,BD 面 EFC ，BD面 BCD ，面 EFC面 BCD17、 【解析】 （）由条件知PQ垂直平分 AB ，若 BAO= (rad) ，则10coscosAQOA, 故10cosOB，又 OP 10 10tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04若 OP= x (km)，则

17、 OQ 10 x，所以 OA=OB=222101020200 xxx所求函数关系式为2220200 010yxxxx（）选择函数模型，2210coscos2010sin10 2sin1coscossiny令y0 得 sin12，因为04，所以=6，当0,6时，0y， y是的减函数； 当,64时，0y，y 是的增函数， 所以当=6时，min1010 3y。这时点 P位于线段 AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边10 33km处。18、解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 x0，得抛物线与 y轴交点是（ 0，b） ；令220fxxxb，由题意 b0 且 0，解得 b1 且

18、 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令 y 0 得20 xDxF这与22xxb0 是同一个方程，故D2，F b令 x0 得2yEy0，此方程有一个根为b，代入得出 Eb1所以圆 C的方程为222(1)0 xyxbyb. （）圆 C必过定点，证明如下：假设圆 C过定点0000(,)(,)xyxyb不依赖于，将该点的坐标代入圆C的方程，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理并变形为22000002(1)0 xyxyb

19、y（*）为使（ *）式对所有满足1(0)bb的 b 都成立，必须有010y，结合（ *）式得22000020 xyxy，解得00000211xxyy， ，或，经检验知，点(0,1),(2,0)均在圆 C上，因此圆 C过定点。19、解： （1）当 n=4 时,1234,a aa a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出 d=0。若删去2a，则2314aaa，即2111(2 )(3 )adaad化简得140ad，得14ad若删去3a，则2214aaa，即2111()(3 )adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad。当 n=5时,12345,a aaa

20、 a中同样不可能删去1245,a a aa，否则出现连续三项。若删去3a，则1524a aaa，即1111(4 )() (3 )a adadad化简得230d，因为0d，所以3a不能删去；当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,nnna aaaaa中，由于不能删去 首 项 或 末 项 ， 若删 去2a，则 必有132nnaaaa， 这 与0d矛盾 ； 同 样 若 删去1na也 有132nnaaaa，这与0d矛盾；若删去32,naa中任意一个， 则必有121nnaaaa，这与0d矛盾。(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述，4n。（2）

21、假设对于某个正整数n，存在一个公差为d 的 n 项等差数列nbbb,.,21，其中111,xyzbbb（01xyzn）为任意三项成等比数列， 则2111yxzbbb， 即2111()() ()by dbx dbz d，化简得221()(2 )yxz dxzy b d（*）由10b d知，2yxz与2xzy同时为 0 或同时不为 0 当2yxz与2xzy同时为 0 时，有 xyz与题设矛盾。故2yxz与2xzy同时不为 0，所以由（ *）得212byxzdxzy因为01xyzn，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数。于是，对于任意的正整数) 4(nn，只要1bd为无理

22、数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列 1，12，1 2 2， 1 (1) 2n满足要求。20、解： （1）由( )f x的定义可知，1( )( )f xfx（对所有实数 x ）等价于12fxfx （对所有实数 x）这又等价于1232 3xpxp，即123log2332xpxp对所有实数 x均成立 . （*）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理O y x (a, f( b, f图 1 O y x ( a, f (

23、a( b, f (b(x0, y0( p2,( p1,图由于121212()()()xpxpxpxpppxR 的最大值为12pp ，故（*）等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i ）当1232pplog时，由（ 1）知1( )( )f xfx（对所有实数 , xa b）则由 fafb 及1apb易知12abp，再由111113,( )3,pxxpxpfxxp的单调性可知，函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度为22abbab（参见示意图 1）（ii ）1232pplog时，不妨设12,pp，则213log 2pp，于是当1x

24、p时，有1212( )33( )pxpxfxfx，从而1( )( )f xfx；当2xp时，有312122122log 212( )333333( )xpppx pppx pxpfxfx从而2( )( )f xfx；当12pxp时，11( )3x pfx，及22( )2 3pxfx，由方程1232 3xppx解得12( )( )fxfx与图象交点的横坐标为12031log 222ppx显然10221321()log 22pxpppp，这表明0 x在1p与2p之间。由易知综上可知，在区间 , a b上，0102( ),( )( ),axxfxf xxxbfx（参见示意图 2）故由函数1( )fx

25、及2( )fx的单调性可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为012()()xpbp，由于( )( )f af b，即1232 3pabp，得123log 2ppab故由、得0121231()()log 222baxpbpbpp综合（ i ） （ii ）可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度和为2ab。21：A选修 41 几何证明选讲证明：如图，因为AE是圆的切线，所以，ABCCAE , 又因为 AD 是BAC 的平分线，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

26、第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理所以BADCAD从而ABCBADCAECAD因为ADEABCBAD, 所以ADEDAE , 故 EAED . 因为 EA是圆的切线，所以由切割线定理知, 2EAEC EB, 而 EAED , 所以2EDEC EBB选修 42 矩阵与变换解：设00(,)P xy是椭圆上任意一点，点00(,)P xy在矩阵 A对应的变换下变为点00(,)P xy则有00002001xxyy，即00002xxyy，所以00002xxyy又因为点 P在椭圆上，故220041xy，从而2200()()1xy所以，曲线 F 的方程是221xyC选修

27、 44 参数方程与极坐标解：因椭圆2213xy的参数方程为3 cos (sinxy为参数）故可设动点 P的坐标为(3 cos ,sin ），其中02. 因此313 cossin2(cossin )2sin()223Sxy所以，当6时，S取最大值 2 D选修 45 不等式证明选讲证明：因为, ,a b c为正实数，由平均不等式可得33333331111113abcabc即3331113abcabc所以3331113abcabcabcabc，而3322 3abcabcabcabc所以3331112 3abc+abc22、解：由题设可知，以DA、DC、1DD 为单位正交基底，建立如xyzCBADD1

28、C1B1A1P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D由1(1,1, 1)D B，得11( , ,)D PD B，所以11(, )(1,0,1)(1,1)PAPDD A显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于coscos,0PA PCAPCPA PCPAPC，则等价于0PA PC即2(1)()()(1)(1)(1)(31)

29、0，得113因此，的取值范围是1(,1)323、证明：（1）在等式0122(1+x)=CCCCnnnnnnnxxx两边对 x求导得移项得：112(1)1nnkknknxkC x（*）（2） （i ）在（*）式中，令1x，整理得11( 1)0nkknkkC所以1( 1)0nkknkkC（ii ）由（1）知112121(1)2(1),3nnnnnnnnnnxCC xnCxnC xn两边对 x求导，得2232(1)(1)23 2(1)nnnnnnn nxCC xn nC x在上式中，令1x即22(1)( 1)0nkknkk kC，亦即22( 1) ()0nkknkkk C（1）又由（ i ）知1(

30、1)0nkknkkC（2）由（1）+（2）得21( 1)C0nkknkk（ iii） 将 等 式0122(1+x) =CCCCnnnnnnnxxx两 边 在0 , 1上 对x积分11012200(1)(CCCC)nnnnnnnxdxxxxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理由微积分基本定理，得1 11100011(1)()11nnkknkxC xnk所以1012111nnknkCkn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -