专题9 立体几何与空间向量（解析版）.doc

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1、专题9 立体几何与空间向量从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观

2、题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.一、单选题1（2020山东高三下学期开学）设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D，则【答案】C【解析】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C2（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( )ABCD【答案】D【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积详解：因

3、为，所以，过的中点作平面的垂下，则球心在上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，因为，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故选D3（2020山东高三下学期开学）在四面体中，且，所成的角为30，则四面体的体积为( )A8B6C7D5【答案】D【解析】由题意，如图所示，过点作的平行线，则平面，且为30或150，从点向作垂线，垂足为，易证平面.则点到平面的距离，则四面体的体积为.故选：D.4（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知四棱锥，平面，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的

4、中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，.故选C5（2020届山东省烟台市高三模拟）九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B6（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球

5、O的体积为ABCD【答案】D【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D解法二:设，分别为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，故选D.7（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C若，当二面角为直二面角时，D在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为【答案】D【解析】对于A，假设存在，使得平

6、面，如图1所示，因为平面，平面平面，故，但在平面内，是相交的，故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误.对于B，如图2，取的中点分别为，连接，因为为等边三角形，故，因为，故 所以均为等边三角形，故，因为，故共线，所以，因为，故平面，而平面，故平面平面，若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以，此时，这与矛盾，故B错误.对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接）因为，所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，故，所以，而，故平面，因平面，故.因为，所以.在中，在中，故C错.对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接），作在底面上的射影，则在上.因为，所以且，所以其

7、.又，令，则，当时，；当时，.所以在为增函数，在为减函数，故.故D正确.故选：D.二、多选题8（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ）AB平面C的面积与的面积相等D三棱锥的体积为定值【答案】ABD【解析】可证平面，从而，故A正确；由平面，可知平面，B也正确；连结交于，则为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，D正确；很显然，点和点到的距离是不相等的，C错误.故选：ABD9（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A直线与平面所成的角等于B点C到面的距离为C两条异面直线和

8、所成的角为D三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：10（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】对于A，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于B，由，可得平面；对于C，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于D，连

9、接，由平面，可得，同理可得，又，所以平面.故选：BD11（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，F是的中点，E是上的一点，则下列说法正确的是（ ）A若，则平面B若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍C三棱锥中有且只有三个面是直角三角形D平面平面【答案】AD【解析】对于选项A,因为,所以是的中点,因为F是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,故A正确；对于选项B,因为,所以,因为,所以梯形的面积为,所以,所以,故B错误；对于选项C,因为底面,所以,所以,为直角三角形,又,所以,则为直角三角形,所以,则,所以是直角三角形,故三棱锥的四个面都是直角三角形,故C错误

10、；对于选项D,因为底面,所以,在中,在直角梯形中,所以,则,因为,所以平面,所以平面平面,故D正确,故选:AD12（2020山东高三模拟）在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（ ）A平面与的交点是的中点B平面与的交点是的三点分点C平面与的交点是的三等分点D平面将正方体分成两部分的体积比为11【答案】BC【解析】如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，连接并延长交于点.连接，则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示. ，为的中位线，为中点，连，三点共线，取中点，连，则，为中点，分别是正方形的中心，所以点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠

11、近点的三等分点.做出线段的另一个三等分点，做出线段靠近的三等分点，连接，所以从而平面将正方体分成两部分体积比为21.故选:BC.13（2020届山东省高考模拟）如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A存在某个位置，使得B翻折过程中，的长是定值C若，则D若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是【答案】BD【解析】如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，,则易知，由翻折可知，对于选项A，易得，则、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误； 对于选项B，易得， 在中，由余弦定理得，整理得，故为定值，故B正确；

12、如图2，取中点，取中点，连结，对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.故选：BD.14（20202020届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是（ ）A若时，平面平面B若时，直线与平面所成的角的正弦值为C若直线和异面时，点不可能为底面的中心D若平面平面，且点为底面的中心时，【答案】AC【解析】平面，所以平面平面，A项正确

13、；设的中点为，连接、，则.平面平面，平面平面，平面.平面，设平面所成的角为，则，则，B项错误；连接，易知平面，由、确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则与共面，矛盾，C项正确；连接，平面，平面，、分别为、的中点，则，又，故，则，D项错误.故选：AC.15（2020山东高三下学期开学）在三棱锥D-ABC中，且，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（ ）AB平面ABDC三棱锥A-CMN的体积的最大值为DAD与BC一定不垂直【答案】ABD【解析】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：对于A，因为，且，所以为等腰直角三角形，则且，则平面，所以，

14、即A正确；对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，由中位线定理可得，而平面，平面，所以平面，即B正确；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，则最大值为，即C错误；对于D，假设，由,且,所以平面，则，又因为，且，所以平面，由平面，则，由题意可知，因而不能成立，因而假设错误，所以D正确；综上可知，正确的为ABD，故选：ABD.16（2020届山东省潍坊市高三模拟一）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和

15、高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A沙漏中的细沙体积为B沙漏的体积是C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD该沙漏的一个沙时大约是1985秒（）【答案】ACD【解析】A根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积；B沙漏的体积；C设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，所以，所以；D因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为：秒.故选：A

16、CD.17（2020届山东省潍坊市高三模拟二）如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A直线与平面所成的角等于B点C到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：18（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面

17、上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A若，则满足条件的点有且只有一个B若，则点的轨迹是一段圆弧C若平面，则长的最小值为2D若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为【答案】ABD【解析】如图：正四棱柱的底面边长为2，又侧棱，则与重合时，此时点唯一，故A正确；，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确故选：ABD19（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列

18、说法正确的是（ ）A在棱上存在点M，使平面B异面直线与所成的角为90C二面角的大小为45D平面【答案】ABC【解析】如图，对于，取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故正确.对于，平面，即异面直线与所成的角为90，故正确.对于，平面平面，平面，是二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为45，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：20（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图，在正方体中，是棱上动点，下列说法正确的是（ ）.A对任意动点，在平面内存在与平面平行的直线B对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线C当点从运动

19、到的过程中，与平面所成的角变大D当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小【答案】AC【解析】因为AD在平面内，且平行平面CBF，故A正确；平面CBF即平面，又平面与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线，故B错误；F到平面ABCD的距离不变且FC变小，FC与平面ABCD所成的角变大，故C正确；平面CBF即平面，点D到平面的距离为定值，故D错误故选：AC21（2020届山东省青岛市高三上期末）如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A直线与平面所成的角等于B点C到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】正方体的棱

20、长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：22（2020届山东省泰安市肥城市一模）在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是( )A一定是各边的中点B一定是的中点C,且D四边形是平行四边形或梯形【答案】CD【解析】由平面,所以由线面平行的性质定理,得,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.故选：.23（2020届山东省泰安市肥城市一模）

21、如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A直线与平面所成的角等于B点C到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：24（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，且，则下列说法正确的是（ ）A是钝角

22、三角形B此球的表面积等于C平面PACD三棱锥APBC的体积为【答案】BC【解析】如图，在底面三角形ABC中，由，利用余弦定理可得：，即，由于底面ABC，平面PAC，故C正确；，由于，即为锐角，是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则，即三棱锥的外接球的半径为，三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确；，故D错误；故选：BC.三、填空题25（2020届山东省高三高考模拟）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_.【答案】.【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径

23、为，则，所以轴截面的面积为，解得，因此，该圆柱的外接球的半径，所以球的表面积为.故答案为26（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线的渐近线与直线围成的图形绕y轴旋转，则所得旋转体的体积为_；表面积为_【答案】 【解析】双曲线的渐近线，与直线的交点为和，该旋转体为底面半径是，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为，高为1，母线长为2的圆锥，所以所得旋转体的体积为，表面积为，故答案为：，.27（2020山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知正三棱锥P-ABC，Q为BC中点，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为_；过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为_【答案】 【解析】因为正

24、三棱锥，所以，即，同理，因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心，记外接球半径为R，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为；又Q为BC中点，由正方体结构特征可得；由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小为，所以因此，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围为故答案为：(1). (2). 28（2020届山东省泰安市肥城市一模）在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形

25、的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意得四边形为正方形，设其中心为，取中点则,即为四棱锥的外接球球心，球半径为，球表面积为.29（2020山东高三模拟）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_，点到直线的距离的最大值为_.【答案】 【解析】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距

26、离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，所以到直线最大距离为.故答案为:；.30（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为_.【答案】【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为，则高为，小圆柱体体积，设，则则当时，故答案为：31（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是

27、为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_【答案】 【解析】 (1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为，故四面体体积为，因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，所以， 所以球

28、的体积.故答案为：；.四、解答题32（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知如图1直角梯形，E为的中点，沿将梯形折起（如图2），使平面平面.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点F，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，F为中点【解析】（1）证明 连接，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.又，平面，所以平面.（2）（1）得平面，所以.所以，两两垂直，分别以，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系,如图所示，则，设，所以，设平面的法向量为，则取，得.取平面的法向量为.所以，所以.所以

29、线段上存在点F，且F为中点时，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.33（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图所示，直角梯形ABCD中，四边形EDCF为矩形，平面平面ABCD(1)求证：平面ABE；(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由【答案】（I）见解析（II）（III）【解析】（）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量，不妨设，又，又平面，平面（），设平面的法向量，不妨设，平面与平面所成锐二面角的余弦值为

30、（）设 ，又平面的法向量，或当时，；当时，综上，34（20202020届山东省淄博市高三二模）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的二面角BCGA的大小.【答案】(1)见详解；(2) .【解析】 (1)证：，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以而又，故平面

31、，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.而在中,，即二面角的度数为.35（2020山东高三模拟）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将，中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】第一种情况：若将，作为已知条件，解答如下：（1）设平面为平面.，平面，而平面平面，又为中点.设，则.在三角形中，由知平面，梯形的面积，平面，故，.（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）得为平面的一个法向量，因为，所以直线与平面所

32、成角的正弦值为.第二种情况：若将，作为已知条件，则由知平面，又，所以平面，又，故为中点，即，解答如上不变.第三种情况：若将，作为已知条件，由及第二种情况知，又，易知，解答仍如上不变.36（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y

33、轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,又,为等边三角形,则,设平面的法向量为,则，即,令,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,设平面与平面的夹角为,则二面角的余弦值为.37（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在九章算术中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.(1)求证:四棱锥为阳马;(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明

34、见解析;(2).【解析】 (1)底面，面又，面，又四边形为矩形四棱锥为阳马(2)，又底面，当且仅当时，取最大值，底面以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设面的一个法向量由得同理得二面角的余弦值为38（2020届山东省泰安市肥城市一模）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明:四边形ABCD为平行四边形,.,几何体中,为三棱柱,且平面ABC,平面.（2）连结,平面,平面,四棱锥的体积:.39（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）如图，三棱柱中，平面平面.（1）

35、求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，所以二面角的余弦值为.40（2020山东滕州市第一中学高三3月模拟）如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，过点作平面平行于平面，平面与棱，分别相交于点，.(1)求的长度；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）

36、【法一】（）因为平面，平面平面，平面平面，所以，同理，因为，所以，且，所以，同理，连接，则有，所以，所以，同理，过点作交于，则【法二】因为平面，平面平面，,平面平面，根据面面平行的性质定理，所以，同理，因为,所以，且,又因为，,所以，同理,，如图：作,所以，故四边形为矩形，即,在中,所以，所以.（2）建立如图所示空间直角坐标系,设平面的法向量为,令，得,因为平面平面，所以平面的法向量，二面角的余弦值为41（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值【答

37、案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.42（2020届山东省高考模拟）已知在四棱锥中，是的中点，是等边三角形，平面平面.

38、（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：取的中点为，连结，设交于，连结.因为，四边形与四边形均为菱形， ，因为为等边三角形，为中点，因为平面平面，且平面平面.平面且，平面因为平面，因为H，分别为， 的中点， ，.又因为 ，平面，平面. （2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则， 设平面的一法向量.由 .令，则.由（1）可知，平面的一个法向量， 二面角的平面角的余弦值为.43（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）若是正三角形

39、，且，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析.（2）.【解析】（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）是的中点，是正三角形，则，设，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则， .设是平面的法向量，则，可取平面的法向量为，则 ，所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛:(1)两条异面直线所成角的求法：设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos | (其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有

40、sin |cos |.(3)求二面角的大小：如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2(或n1，n2)44（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图，在三陵锥中，为等腰直角三角形，为正三角形，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的平面角为锐角，且棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：，为中点，又为等边三角形，平面，平面，平面平面；（2）由（1）知点在平面内的射影在直线上，又二面角的平面角为锐角，在射线上，又，即为中点，取中点

41、，连接，则，平面，两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为由得令，得平面的一个法向量为，又，设与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.45（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点（）求证：PO平面；（）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由【答案】（）证明见解析 （）（）不存在，见解析【解析】（）证明:因为是正三角形，是的中点，所以 .又因为平面，平面，所以.，平面，所以面.（）如图，以点为原点分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量为所以，即令，则 ， 又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以.所以平面与平面所成锐二面角为. （）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，即直线与平面法向量所成的角