全等三角形的性质和判定 .doc

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1、全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，ABC与DEF全等，记作ABCDEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；A和D，B和E，C和F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定

2、（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）全等三角形判定一（SSS，SAS）全等三角形判定1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果AB，AC，BC，则ABC. 要点二、全等三角形判定2“边角边”1. 全等三角形判定2“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ，A，AC ，则ABC. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，ABC与ABD中，ABAB，ACAD，BB，但ABC与ABD不完全重合，故不全等

3、，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1“边边边”1、已知：如图，RPQ中，RPRQ，M为PQ的中点求证：RM平分PRQ证明：M为PQ的中点（已知），PMQM在RPM和RQM中，RPMRQM（SSS） PRMQRM（全等三角形对应角相等）即RM平分PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.类型二、全等三角形的判定2“边角边”2、已知：如图，ABAD，ACAE，12求证：BCDE证明： 12 1CAD2CAD，即BACDAE 在ABC和ADE中 ABCADE（SAS） BCDE（全等三角形对应边相等

4、）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论 证明：延长AE交CD于F， ABC和DBE是等腰直角三角形 ABBC，BDBE 在ABE和CBD中 ABECBD（SAS） AECD，12 又1390，34（对顶角相等） 2490，即AFC90 AECD举一反三：【变式】已知：如图，PCAC，PBAB，AP平分BAC，且ABAC，点Q在PA上，求证：QCQB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”下图是小明制作的风筝，他根据DEDF，EHFH，不用度量，

5、就知道DEHDFH请你用所学的知识证明【答案与解析】证明：在DEH和DFH中， DEHDFH(SSS) DEHDFH一、选择题1. ABC和中，若AB，BC，AC.则（ ） A.ABC B. ABC C. ABC D. ABC2. 如图，已知ABCD，ADBC，则下列结论中错误的是（ ）A.ABDC B.BD C.AC D.ABBC3. 下列判断正确的是（ ） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，已知ABBD于B，EDBD于D，ABCD，BCED，以下结论不正确的是（ ） A.ECAC B

6、.ECAC C.ED AB DB D.DC CB 二、填空题9. 如图，在ABC和EFD中，ADFC，ABFE，当添加条件_时，就可得ABCEFD（SSS）10. 如图，ACAD，CBDB，230，326，则CBE_.12. 已知，如图，ABCD，ACBD，则ABC ，ADC .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，ADCBCD，ADBC，求证：CODO14. 已知：如图，ABCD，ABCD求证：ADBC分析：要证ADBC，只要证_，又需证_证明： ABCD （ ）， _ （ ），在_和_中， _ （ ） _ （ ） _（ ）15. 如图，已知ABDC，AC

7、DB，BECE求证：AEDE.全等三角形判定3“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果A，AB，B，则ABC. 要点二、全等三角形判定4“角角边”1.全等三角形判定4“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC和ADE中，如果DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC和ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件

8、可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3“角边角”1、已知：如图，E，F在AC上，ADCB且ADCB，DB求证：AECF证明：ADCB AC 在ADF与CBE中 ADFCBE （ASA）AF CE ，AFEFCEEF故得：AECF举一反三：【变式】如图，ABCD，AFDE，BECF.求证：ABCD.类型二、全等三角形的判定4“角角边”2、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB求证：ADAC证明：ABAE，ADAC， CADBAE90 CADDABBAEDAB ，即BACEAD 在BAC和EAD

9、中 BACEAD（AAS） AC AD 举一反三：【变式】如图，AD是ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BECF.【答案】证明：AD为ABC的中线BDCDBEAD，CFAD，BEDCFD90，在BED和CFD中BEDCFD（AAS）BECF3、已知：如图，AC与BD交于O点，ABDC，ABDC（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OEOF.证明：ABDC 在ABO与CDO中 ABOCDO（AAS）AOCO ，BO=DO在AEO和CFO中AEOCFO（ASA）OEOF.一、选择题1. 能确定ABCDEF的条

10、件是 （ ）AABDE，BCEF，AEBABDE，BCEF，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE2如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ）图43A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙3AD是ABC的角平分线，作DEAB于E，DFAC于F，下列结论错误的是（ ）ADEDFBAEAFCBDCDDADEADF4 如图，已知MBND，MBANDC，下列条件不能判定ABMCDN的是 （ ）AMNBABCDCAMCNDAMCN6如图，12，34，下面结论中错误的是（ ） AADCBCDBABDBACCABOCDODAODBOC 二、填空题7. 如图,12

11、，要使ABEACE，还需添加一个条件是 .(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在ABC和中，A44，B67，69，44，且AC ，则这两个三角形_全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，ABCD，AFDE，AFDE，且BE2，BC10，则EF_.11. 如图, 已知：1 2 , 3 4 , 要证BD CD , 需先证AEB AEC , 根据是 ，再证BDE ，根据是 12. 已知:如图，BDEF，ABDE，要说明ABCDEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 三、解答题13阅读下题及一位同学的解答过程

12、：如图，AB和CD相交于点O，且OAOB，AC那么AOD与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由答：AODCOB证明：在AOD和COB中， AODCOB （ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF，求证：AC与BD互相平分.15. 已知：如图, ABCD, OA OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE DF. 求证：EBCF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的

13、是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABCD：（2）ADBC证明：（1）ABBD，CDBD， ABDCDB90 在RtABD 和RtCDB中， RtABDRtCDB（HL） ABCD（全等三角形对应边相等） （2）由ADBCBD ADBC .举一反三：【变式】已知：如图，

14、AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）3、已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD求证：ADBC；证

15、明：连接DC ADAC，BCBD DACCBD90 在RtADC与RtBCD中， RtADCRtBCD（HL） ADBC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，ACBD，CD90 .求证：OCOD.4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1下列说法正确的是 （ ）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等3. 能使两个直角三角形全等的条

16、件是( ) A.斜边相等 B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A形状相同B周长相等C面积相等D全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空题7如图，BE，CD是ABC的高，且BDEC，判定BCDCBE的依据是“_”8. 已知，如图，AD90，BECF，ACDE，则ABC_.9. 如图，BADC，A90，ABCE，BCED，则AC_.10. 如图，已知ABBD于B，EDBD于D，ECAC，ACEC，若DE2，AB4，则DB_.12. 如图，已知AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BFAC，FDCD.则BAD_.三、解答题 14. 如图，已知ABBC于B，EFAC于G，DFBC于D，BCDF. 求证：ACEF.15. 如图，已知ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分别是点E、F.求证：12.