八年级数学上册 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形的性质 （新版）沪科版.ppt

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1、第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形15.3 15.3 等腰三角形等腰三角形第第1 1课时课时 等腰三角形的性质等腰三角形的性质1课堂堂讲解解u等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角u等腰三角形的轴对称性：等腰三角形的轴对称性：“三线合一三线合一”2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 等腰三角形是一类特殊的三角形等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？呢？1知知识点点等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三

2、角形的边角性质：等边对等角操作操作 画一个等腰三角形画一个等腰三角形ABC，如图，如图(1).把边把边AB叠合到边叠合到边AC上，这时点上，这时点B与点与点C重合，并出现折痕重合，并出现折痕AD，如图，如图(2).观察图形：观察图形：ADB与与ADC有有什么关系？图中哪些线段或角相等？什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与与BC垂直吗？为什么？垂直吗？为什么？知知1 1导导知知1 1导导 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴.知知1 1讲讲等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角定理定理1：

3、等腰三角形的两底角：等腰三角形的两底角相等相等(简称简称“等边对等角等边对等角”)要点精析：要点精析：(1)适用条件适用条件：必须在同一个三角形中：必须在同一个三角形中(2)应用格式应用格式：在：在ABC中，因为中，因为ABAC，所以，所以B C.(3)作用作用：它是证明角相等常用的方法，应用它可省：它是证明角相等常用的方法，应用它可省 去三角形全等的证明，因而更简便去三角形全等的证明，因而更简便 例例1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，BAC=120，点，点 D，E是底边上两点，且是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求求DAE的度数的度数.解：解：AB=AC，（已知

4、），（已知）B=C.（等边对等角）（等边对等角）B=C=又又 BD=AD，（已知），（已知）BAD=B=30.（等边对等角）（等边对等角）同理，同理，CAE=C=30.DAE=BAC-BAD-CAE =120-30-30 =60.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲 本例中去掉本例中去掉AB=AC这个条件，能否求得这个条件，能否求得DAE的度数？的度数？本题给你怎样的启示？本题给你怎样的启示？例例2 (1)在在ABC中，中，ABAC，若，若A50，求，求B；(2)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为若等腰三角

5、形的一个角为90，求顶角的度数，求顶角的度数 导引：导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若 给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解 解：解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得解得B65.知知1 1讲讲知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(2)当底角为当底角为70时，顶角为时，顶角为18070240.当顶角为当顶角为70时，时，70即为所求即为所求

6、因此顶角为因此顶角为40或或70.(3)若顶角为若顶角为90，则底角为，则底角为 若底角为若底角为90，则三个内角的和将大于，则三个内角的和将大于180，不，不 符合三角形内角和定理符合三角形内角和定理 因此顶角为因此顶角为90.总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内底角，要分两种情况讨论，并看是否符

7、合三角形内角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角钝角，则此角必为顶角 知知1 1讲讲 例例3 （广西贺州广西贺州）如图，在等腰）如图，在等腰ABC中，中，AB AC，DBC15，AB的垂直平分线的垂直平分线MN 交交AC于点于点D，则，则A的度数是的度数是_导引：导引：根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等可得离相等可得ADBD，根据等边对等角可得，根据等边对等角可得AABD，然后表示出然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得，再根据等腰三角形两底角相等可得C ABC，然后根

8、据三角形的内角和定理列出方程求解即可，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 MN是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，AABD，DBC15，ABCA15，ABAC，CABCA15，AA15A15180，解得，解得A50.50（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，运由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，运用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相等关系转化为所对内角之间的相等关系等关系转化为所对内角之间的相等关系 知知1 1讲讲 例例4 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，

9、中，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且 BD=BC=AD，求，求A和和C的度数的度数.解：解：AB=AC，BD=BC=AD，（已知），（已知）ABC=C=BDC，A=ABD.(等边对等角）等边对等角）设设A=x，则则BDC=A+ABD=2x.（三角形的一（三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和）个外角等于与它不相邻的两个内角的和）ABC=C=BDC=2x,x+2x+2x=180.(三角形内角和等于三角形内角和等于 180）解方程，得解方程，得x=36.A=36，C=72.（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲 例例5 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求证：斜边和

10、一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图已知：如图(1)，在，在RtABC和和RtABC中，中，C=C =90，AB=AB，AC=AC.求证：求证：RtABC RtABC.本例是本例是14.2节中已经学节中已经学过的判定两个直角三角过的判定两个直角三角形全等的定理形全等的定理“HL”的的证明证明.知知1 1讲讲证明：证明：在平面内移动在平面内移动RtABC和和RtABC，使点，使点A和点和点A、点点C和点和点C重合，点重合，点B和点和点B在在AC的两侧的两侧图图(2).BCB=90+90=180,（等式性质）（等式性质）B，C，B三点在一条直线上三点在一条直线上.（平角的定义）（平角

11、的定义）在在ABB中，中，AB=AB，(已知已知)B=B.(等边对等角等边对等角)在在RtABC和和RtABC中，中，RtABC RtABC.(AAS)（来自教材）（来自教材）1填空：填空：(1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_;(2)如果等腰三角形的底角等于如果等腰三角形的底角等于40，那么它的顶角的，那么它的顶角的 度数是度数是_;(3)如果等腰三角形有一个内角等于如果等腰三角形有一个内角等于80，那么这个三角形，那么这个三角形 的最小内角等于的最小内角等于_.(中考中考盐城盐城)若等腰三角形的顶角为若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数，则它的底角

12、度数为为()A40 B50 C60 D70知知1 1练练（来自教材）（来自教材）2（来自（来自典中点典中点）3(中考中考湘西州湘西州)如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，BD平分平分ABC，A36，则则1的度数为的度数为()A36 B60 C72 D108(中考中考丹东丹东)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，A30，E为为BC延长线上一延长线上一点，点，ABC与与ACE的平分线交于点的平分线交于点D，则则D的度数为的度数为()A15 B17.5 C20 D22.5知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）42知知识点点等腰三角形的轴对称性：等腰三角形的轴对称性：“三

13、线合一三线合一”知知2 2讲讲等腰三角形的轴对称性：等腰三角形的轴对称性：“三线合一三线合一”定理定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论：等腰：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论：等腰 三角形三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相相 互重合互重合(简称简称“三线合一三线合一”)要点精析要点精析：(1)含义含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是 一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高顶角的平分线、

14、底边上的中线、底边上的高”只要知道其只要知道其 中中“一线一线”，就可以说明是其他，就可以说明是其他“两线两线”(2)作用作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，应用广泛应用广泛知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(3)对称性对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上或底边上 的高、底边上的中线的高、底边上的中线)所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴(4)应用格式应用格式：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC，AD平分平分BAC(或或BDCD)；ABAC，BDDC，A

15、DBC(或或AD平分平分BAC)；ABAC，AD平分平分BAC，BDDC(或或ADBC)知知2 2讲讲 例例6 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.(1)若若BAD25，求，求C的度数；的度数；(2)求证：求证：EFED.解：解：(1)ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BADCAD，BAC2BAD50.ABAC，CABC知知2 2讲讲证明：证明：(2)ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC，BDE90.EFAB，BFE90，BFEB

16、DE.又又BG平分平分ABC，FBEDBE.BE为公共边，为公共边，BDEBFE，EFED.（来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质是证明角相等、线的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一三线合一”的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活在等腰三角形中，作用要灵活在等腰三角形中，作“三线三线”中中“一线

17、一线”，利用利用“三线合一三线合一”是等腰三角形中常用的方法是等腰三角形中常用的方法 知知2 2讲讲 例例7 如图所示，如图所示，ABAE，BCDE，BE，AMCD，垂足为垂足为M.求证：求证：CMMD.导引：导引：由已知由已知AMCD和结论和结论CMMD，联想到等腰三角形，联想到等腰三角形“三三 线合一线合一”的性质，由此连接的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形构造等腰三角形 证明：证明：如图，连接如图，连接AC，AD.在在ABC和和AED中，中，ABCAED(SAS)ACAD.又又AMCD，CMMD.总结知知2 2讲讲 对于单一等腰三角形构造对于单一等腰三角形构造“三线合一三线合一”的

18、基本图的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造“三线合三线合一一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：图形说明巧作辅助线的方法：总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1如图甲的情形，需作底边上的高；如图甲的情形，需作底边上的高；2如图乙的情形，需作顶角平分线；如图乙的情形，需作顶角平分线；3如图丙的情形，需作中线；如图丙的情形，需作中线；4如图丁的情形，需连接如图丁的情形，需连接AD并

19、延长再证其是并延长再证其是“三线三线”即可即可 1已知：如图，已知：如图，AB=AC，AB的垂直的垂直平分线平分线ED交交AC于点于点D，A=40.求求DBC的度数的度数.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是是BC边的中点，点边的中点，点E在在AD上，那么下列结论不一定正确的是上，那么下列结论不一定正确的是()AADBCBEBCECBCABEACEDAEBE知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2（来自教材）（来自教材）3如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D，DEAB于点于点E，DFAC于点于点F，下列结论：，下列结论：BADCAD；DEDF；BDCD；若

20、点若点P在直线在直线AD上，则上，则PBPC.其中正确的是其中正确的是()A BC D知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质包含三层含义：的性质包含三层含义：(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂 直于底边；直于底边；(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶 角角2.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、的性质常常可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直在遇到等腰三角形的问题时，尝线段相等和线段垂直在遇到等腰三角形的问题时，尝 试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果