数学第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数与方程配套 理.ppt

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1、第12讲函数与方程考纲要求考点分布考情风向标1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2011年新课标第10题考查函数的零点存在性定理；2014年新课标第12题以函数零点为背景，考查导数的应用；2016年天津第8题根据根的分布求参数的取值范围；2017年新课标第12题根据函数零点的存在情况求参数的值高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围另外备考中应该特别注意运用导数来研究函数零点1.函数的零点(1)方程 f(x)0 有实根 函数y f(x)的图象与

2、 x 轴有_函数 yf(x)有零点.交点(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点.一般把这一结论称为零点存在性定理.2.二分法如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(m)f(n)0，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零点的区间是()B图 2-12-1

3、A.2.1，1B.1.9,2.3C.4.1,5D.5,6.1x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.87160.57880.28130.21010.328 430.641 152.为了求函数 f(x)2x 3x7 的一个零点，某同学利用计算器得到自变量 x 和函数 f(x)的部分对应值如下表：则方程 2x 3x7 的近似解(精确到 0.1)可取为()A.1.32B.1.49C.1.4D.1.3解析：通过表格得知 f(1.375)0，所以函数唯一的零点 x0 在区间(1.375,1.4375)内.故选 C.Cx10123f(x)0.6773.0115.4325.

4、9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.8923.(2017 年山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由表知函数 yf(x)g(x)在下列区间内一定有零点的是()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析：当 x1 时，f(1)g(1)0；当 x0 时，f(0)g(0)0；当 x1 时，f(1)g(1)0；当 x2 时，f(2)g(2)0；当 x3 时，f(3)g(3)0，且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由零点存在定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点.故选 B.答案：B包含 f(x)的零

5、点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，)在性定理可知选 C.C考点 1 函数零点的判定例 1：(1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内解析：因为f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.答案：A图 D14答案：2图 2-12-2A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3

6、)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)答案：C【规律方法】判断函数 yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上如第(3)题；利用函数零点的存在性定理进行判断如第(1)题；通过函数图象，观察图象给定区间上的交点来判断如第(2)题.考点 2 根据函数零点的存在情况，求参数的值例2：(1)(2017年新课标)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()答案：C(2)(2017 年云南昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上 f(x)x，若关于 x 的方程

7、f(x)logax有三个不同的实根，则 a 的取值范围为_.解析：由 f(x4)f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，f(x4)f(x)f(4x).函数图象关于 x2 对称，且f(2)f(6)f(10)2.图 D15【互动探究】A.(1,3)C.(0,2)B.(0,3)D.(0,1)解析：画出函数 f(x)的图象如图 D16，观察图象可知，若方程 f(x)a0 有三个不同的实数根，则函数 yf(x)的图象与直线 ya 有 3 个不同的交点，此时需满足 0a1.故选 D.图 D16答案：D考点 3 二分法的应用例 3：已知函数 f(x)ln x2x6.(1)求证：函数 f(x)在其定义域

8、上是增函数；(2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，)，设x1x2，则ln x1ln x2，2x12x2.ln x12x16ln x22x26.f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函数.(2)证明：f(2)ln 220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点.又由(1)知，f(x)在(0，)上是增函数，因此f(x)0至多有一个根，从而函数f(x)在(0，)上有且只有一个零点.【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点；(2)给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤如下：确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度；求区间m，n的中点x1；计算f(x1)：)若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点；)若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)；)若f(x1)f(n)1 时，方程有 2 个不同的根；(2)当 0t1 时，方程有 4 个不同根；(3)当 t1 时，方程有 3 个不同根；故当 k0 时，代入方程，解得此时方程有两个不等根t0 或 t1，故此时原方程有 5 个不同根；当 k6 时，方程有两个不等根 t2(舍去)或 t3，相应的原方程的解有 2 个.答案：A【互动探究】