2023年好教师应善于举例.docx

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1、好教师应特长举例抽象性常常被说成数学最为根本的一个特性。援助学生较好地理解与掌握抽 象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项根本任务。完成这个目标的一个 根本手段就是恰当地举例会举例，特长举例。这应当被看成数学教师的一个 根本功。应当指明，就高度抽象的数学概念而言，举例并非一件易事。以下就是笔者 在南京大学执教时的一个亲身体验：由于函数是数学中最为重要的根本概念之一，因此，作为大学微积分学课 程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。结果发觉：尽管 当时的教学对象是文科学生，但大局部人都能正确地表述出函数概念的“三个要 素，即自变量、因变量和对应关系。进而，笔者又要求学生联系实

2、际生活举出 函数的假设干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难，因为在中学的全 部学习过程 中，他们已经接触到了各种各样的函数，教材中也已给出了这个函 数的假设干实例。其它，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各 种各样的函数，如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了肯定的困难。当时有一个学生举 出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间 的关系。“这能否被看成函数的实例笔者组织学生对此进行了简短商量。以下的“修 正很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前 的水平上，函数

3、所涉及的只是数量之间的关系。然而，当教师提出以下问题后， 大局部同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄 之间并不存在必定的联系。这就是说，当他20岁时，他所消耗的食品可能是X 吨，也完全可能是(X+1)吨或(X1)吨。这种，不确定性是否与函数定义中所说的，确定的对应关系相矛盾由于笔者没有马上提供相应的解答，而是让学生自己去思考，因此，在这一 堂课后就有不少同学反映：”对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了！当然，这些学生所说的“原来是懂的，其实并不是真懂；其它，就我们目 前的论题而言，这也就十分清楚地说明：举例特别是举出适当的例子实非一件易 事。对于上述的例子，信

4、任一些教师会认为：您这是就较为高深的数学概念而言 的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如，通过1个苹果、两只桔子等实 例我们就可顺利地援助学生掌握1、2、3等概念及其运算；再例如，只需借助木 制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可援助学生顺利地建立起三 角形的概念上面的看法应当说有肯定道理，但是，作为问题的另一方面，我们又应强调 指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子，但例子又有“好与”坏， 或者说“恰当与”不恰当的区分。作出这种区分的一个重要标志是：这些例子 是否真正有利于学生很好地去掌握相应的抽象概念。“会举例、特长举例的一 个具体内涵，就是应当有利于学生较好地完成由

5、具体实例向抽象数学概念的重要 过渡。显然，从这样的角度去分析，我们也就可以马上看出以下论述的缺少之处: “数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种，解读，因为， 如果采纳皮亚杰的术语，数学学习并非仅仅是一种“同化（用建构主义的话来说, 就是意义给予），而且也是一个顺应的过程，即如何能够超出生活经验并学会 数学地思维，特别是数学抽象。下面这个四年级的教学实例能给予我们直接的启发。任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩， 问12天耕地多少公亩 一位学生是这样解题的：52215;50215;2=（略）。接下来就 出现了这样的师生对话：“告诉我，你为什么这

6、么列式“老师，我错了。“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式“除。“怎么除“大的除以小的。“为什么是除呢“老师，我又错了。“你说，对的该是怎样呢“应该把它们加起来。显然，这位学生是在瞎猜。“我们换一个题目，比方你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼“老师，我早上不吃大饼的。“那你吃什么“我经常吃粽子。“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子“老师，我一天根本吃不了两个粽子。“那你能吃几个粽子“吃半个就可以了。“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子“两个半。“怎么算出来的“两天一个，5天两个半。对话进行到这里就很有点“搞笑 了！但是，如果要对这个学生的问题进行诊 断，我想大家都会得出

7、这样的结论：他所缺少的并不是生活经验，而是数学抽象 的能力。尽管这个学生已经上到了四年级，但在由“一般数学上升到“学校数学 这一方向上并未获得真正的进展。在此我们应清楚地认识到：数学抽象事实上是一个模式化的过程。作为数学 抽象的产物，数学概念（与命题）所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征, 而是一类事物或现象在量的方面的共同性质这就是所谓的“模式，它与通 常所说的“模型是不同的，模型附属于某个特定的事物或现象，也就不具有模 式那样的普遍意义。模式化的一个重要特征，就是“去情境化、去时间化和去个性化，这意味着与现实原型在肯定程度上的别离。由此可见数学教学中对于例子的恰当应用的重要 性。最后

8、，从更为广泛的角度看，恰当举例不仅适用于数学教学，也适用于数学 教材的编写；不仅适用于数学学习，而且也适用于任何一种抽象理论甚至是“研 究传统的学习或继承：例如，著名科学哲学家库恩清楚地指明了“范式对于 科学活动的特别重要性：常规情况下的科学研究就可被看成范式指导下的解疑活 动：进而，就范式的学习而言，库恩又突出地强调了这样一点：只有借助于范例 我们才能真正掌握相应的范式。“最根本的是，范式是指某些具体的科学成绩事 例，是指某些实际的问题解答，科学家认真学习这些解答，并仿照它们进行自己 的工作。显然，这事实上也就更为清楚地说明了在具体与抽象之间所存在的重 要的辩证关系。其它，现代数学学习心理学

9、的研究也为以上的论述提供了重要的论据。研究 说明，就数学概念的学习而言，我们应对“概念定义与“概念意象作出明确的 区分，因为，在大多数情况下，数学概念的心理对应物（心理表征）并非相应的形 式定义，而是一个由多种成分组成的复合体，其中例子占据了十分重要的地位， 它为主体获得适当的心理图像（视觉形象，对此不应简单地等同于直观形象）提供 了直接的根底。由此可见，我们不能停留于各个具体的例子，特别是不能停留于学生已有的 知识和经验，而应努力援助学生由具体实例上升到抽象的数学概念。但是，我们 如何才能援助学生很好地完成所说的“抽象呢先来看一个真实的故事。20世纪60年代，一个数学家的女儿由幼儿园放学回到

10、了家中，父亲问她今 天学到了什么女儿快乐地答复道：“我们今天学了，集合，。数学家觉得要学习这 样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了，因此就关切地问道：“你 懂吗女儿肯定地答复道：“懂!一点也不难。”这样抽象的概念会这样简单懂吗 听了女儿的答复，作为数学家的父亲仍旧放不下心，因此就追问道：“你们的老 师是怎么教你们的女儿答复道：“女教师首先让班上全部的男孩子站起来，然 后告诉大家这就是男孩子的集合；然后，她又让全部的女孩子站起来，并说这是 女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合最后，教师 问全班：大家是否都懂了，她得到了肯定的答复。显然，这个教师所采纳的教学方法并没有

11、什么问题，甚至可以说相当不错。 因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界 上全部的匙子或土豆组成一个集合迟疑了一会儿，女儿最终作出了这样的答复: “不行!除非它们都能站起来!由此可见，学生的认知开展水平正是完成上述目标的一个必要条件。从教学的角度看，比拟应被看成完成数学抽象最为重要的一个手段。从这样 的角度去分析，现行数学教学中经常可以看到的以下做法并非十分恰当，因为.这 完全无视了数学思维的特别性，从而对于学生学会数学抽象就不是很有利：“分类的教学常常是这样组织的：教师首先拿出事先打算好的一些模块 一其中不仅呈现出了各种不同的形状，如三角形、四边形、圆形等，也被

12、涂成 了各种不同的颜色，它们是用一些不同的材料制成的，包含木制的、硬纸片的、 塑料的等一教师要求学生对这些模块进行分类，在一般情况下学生往往会给出 多种不同的分类方法，教师对此往往也会普遍地加以肯定，甚至还会积极地鼓舞学生去提出新的、更多的 分类方法与此相对比，以下教学方法不仅有利于学生顺利地求解所面对的“水池问 题，而且也包含了由“表层结构向“深层结构的重要过渡，到达了更高的抽 象层次：“学生在解决有关往水池里注水的问题时，会认为水池一边开进水管，一边 开出水管，不管经过多长时间，都不会注满水池。在教学时，教师可以不急于讲 解，而是引导学生寻觅生活中类似的实例。（1）追及问题。客车每小时行4

13、0千米， 小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公 路行驶，多长时间小汽车能追上客车储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每 月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能购置一台 价格1350元的电视机通过小汽车追上客车、家庭每月收支情况的实例，学生就 简单弄明白，只要进水量大于出水量，经过一段时间水池就肯定能注满水。其它，为了援助学生很好地掌握数学概念的本质，我们在教学中不仅应当十 分重视以所谓的“非标准变式作为“标准变式的必要补充，而且也应通过“概念 变式与“非概念变式的必要对比，援助学生切实预防或改正各种可能的错误。具体地说，在通过某些

14、具体实例引出数学概念的同时，为了预防学生将相关 实例的某些特别性质误认为相应概念的本质属性，我们在教学中就不应局限于平 常所经常用到的一些实例（这就是所谓的“标准变式），也应当有意识地去引人一 些“非标准变式。例如，以下就是在教学中经常可以看到的一些错误观念，而学生之所以会形 成这些错误观念，往往就与我们在教学中所使用的只是“标准变式有着直接的 关系：角必定有一条水平射线；直角必定是指向右边的角；三角形和四边形的底边都应处于水平位置；三角形的高必须处于垂直的位置，并必定与三角形的底边相交；对角线不可能处于垂直或水平的位置。显然，从这样的角度去分析，我们也就可以理解引入以下一些“非标准图形 对于改良教学的积极意义（图1）:再者，由以下列图形（图2）我们可以很好地理解“非概念变式的作用：就概念的理解而言这事实上起到了“反例的作用，从而对于预防或改正学生的错误 观念也就具有特别的重要性。