数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标2 北师大版必修4 .ppt

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1、2.4 2.4 平面向量的坐标平面向量的坐标【知知识识提提炼炼】1.1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)向量向量a的坐标：的坐标：_.(2)(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是_的的.a=(=(x,yx,y)一一对应一一对应2.2.平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 向量的加法坐标向量的加法坐标表示表示 a+b=_向量和与差的坐标分别等于向量和与差的坐标分别等于

2、各向量相应坐标的各向量相应坐标的_向量的减法坐标向量的减法坐标表示表示 a-b=_实数与向量积的实数与向量积的坐标表示坐标表示 a=_=_ 实数与向量积的坐标分别等实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的于实数与向量的相应坐标的_ _(x(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2)(x(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2)和与差和与差(x x1 1,y y1 1)乘积乘积类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 有向线段的坐标有向线段的坐标表示表示 设设A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则=_-_=_-_=_=_

3、 一个向量的坐标一个向量的坐标等于等于_(x(x2 2,y,y2 2)(x(x1 1,y,y1 1)(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)其终点的相其终点的相应坐标减去起点应坐标减去起点的相应坐标的相应坐标3.3.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示(1)(1)公式：设公式：设a,b是非零向量，且是非零向量，且a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),ab_._.若若y y1 100且且y y2 200，则上式可表示为，则上式可表示为ab .(2)(2)文字语言：文字语言：定理定理1 1：若两个向量：若两个向量(与坐标轴不平行与坐标

4、轴不平行)平行，则它们相应的平行，则它们相应的坐标坐标_._.定理定理2 2：若两个向量相对应的坐标：若两个向量相对应的坐标_，则它们平行，则它们平行.x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0成比例成比例成比例成比例【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题:(1)(1)如果向量的坐如果向量的坐标标已知已知,能确定向量的位置能确定向量的位置吗吗?提示提示:不能不能.向量的坐标只能确定其方向及模长向量的坐标只能确定其方向及模长,平面向量不受位置约平面向量不受位置约束束.(2)(2)对对于平行向量于平行向量,如何根据其坐如何根据其坐标标判断两个向量同向判断两个向量同向还

5、还是反向是反向?提示提示:由由(x(x1 1,y,y1 1)=)=(x(x2 2,y,y2 2),),当当00时时,两向量同向两向量同向;当当00时时,两向量两向量反向反向.2.2.已知已知A(1,3),B(2,1),A(1,3),B(2,1),则则 的坐的坐标标是是()A.(-1,2)A.(-1,2)B.(2,-1)B.(2,-1)C.(1,-2)C.(1,-2)D.(-2,1)D.(-2,1)【解析解析】选选A.A.向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标,故故 =(1,3)=(1,3)-(2,1)=(-1,2).-(2,1)=(-1,2).3.3.已知向量已知

6、向量a=(1,2),=(1,2),b=(3,1),=(3,1),则则b-a=()A.(-2,1)A.(-2,1)B.(2,-1)B.(2,-1)C.(2,0)C.(2,0)D.(4,3)D.(4,3)【解析解析】选选B.B.向量的减法是横坐标的差作为横坐标向量的减法是横坐标的差作为横坐标,纵坐标的差作为纵坐标的差作为纵坐标纵坐标.故故b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).=(3,1)-(1,2)=(2,-1).4.4.已知平面上三点已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则则 的坐的坐标标是是_._.【解析解析】因为

7、因为 =(-8,10)-(2,-4)=(-10,14),=(-8,10)-(0,6)=(-=(-8,10)-(2,-4)=(-10,14),=(-8,10)-(0,6)=(-8,4),8,4),所以所以 =(-5,7)-(-2,1)=(-3,6).=(-5,7)-(-2,1)=(-3,6).答案答案:(-3,6)(-3,6)5.5.已知已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且且 则则x+yx+y=_.=_.【解析解析】因为因为 =(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2),=(x,y)-(2,3)=(-2

8、,0)-(-1,-2)=(-1,2),=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),(x-2,y-3),又又 即即(2x-4,2y-6)=(-1,2),(2x-4,2y-6)=(-1,2),答案答案:【知识探究知识探究】知知识识点点1 1 向量的坐向量的坐标标及其及其线线性运算性运算观观察如察如图图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题问题:问题问题1:1:点的坐点的坐标标与向量坐与向量坐标标有区有区别吗别吗?问题问题2:2:相等向量的坐相等向量的坐标标相同相同吗吗?相等向量的起点、相等向量的起点、终终点一定相同点一定相同吗吗?【总结总结提升提升】1.1.对对平面向量坐平面向量坐标标表示的三点

9、表示的三点说说明明(1)(1)向量的坐向量的坐标标只与始点和只与始点和终终点的相点的相对对位置有关位置有关,而与它而与它们们的具体位置的具体位置无关无关.(2)(2)向量确定后向量确定后,向量的坐向量的坐标标就被确定了就被确定了.(3)(3)引入向量的坐引入向量的坐标标表示以后表示以后,向量就有两种表示方法向量就有两种表示方法:一种是几何法一种是几何法,即用向量的即用向量的长长度和方向表示度和方向表示;另一种是坐另一种是坐标标法法,即用一即用一对对有序有序实实数表示数表示.有了向量的坐有了向量的坐标标表示表示,就可以将几何就可以将几何问题转问题转化化为为代数代数问题问题来解决来解决.2.2.点

10、的坐点的坐标标与向量坐与向量坐标标的区的区别别与与联联系系(1)(1)区区别别表示形式不同表示形式不同,向量向量a=(=(x,yx,y)中中间间用等号用等号连连接接,而点的坐而点的坐标标A(x,yA(x,y)中中间间没有等号没有等号.意意义义不同不同,点点A(x,yA(x,y)的坐的坐标标(x,yx,y)表示点表示点A A在平面直角坐在平面直角坐标标系中的位系中的位置置,a=(=(x,yx,y)的坐的坐标标(x,yx,y)既表示向量的大小既表示向量的大小,也表示向量的方向也表示向量的方向,另外另外(x,yx,y)既可以表示点既可以表示点,也可以表示向量也可以表示向量,叙述叙述时应时应指明点指明

11、点(x,yx,y)或向量或向量a=(=(x,yx,y).).(2)(2)联联系系当平面向量的起点在原点当平面向量的起点在原点时时,平面向量的坐平面向量的坐标标与向量与向量终终点的坐点的坐标标相同相同.3.3.向量的三种运算体系向量的三种运算体系(1)(1)图图形表示下的几何运算形表示下的几何运算:此运算体系下要注意三角形法此运算体系下要注意三角形法则则、平行四、平行四边边形法形法则则的的应应用用.(2)(2)字母表示下的几何运算字母表示下的几何运算:此运算体系下一方面要注意运算律的此运算体系下一方面要注意运算律的应应用用,另一方面要注意另一方面要注意 等运算法等运算法则则的的应应用用.(3)(

12、3)坐坐标标表示下的代数运算表示下的代数运算:此运算体系下要牢此运算体系下要牢记记公式公式,且且细细心运算心运算.若若已知有向已知有向线线段两个端点的坐段两个端点的坐标标,则应则应先求出向量的坐先求出向量的坐标标,再再进进行坐行坐标标运运算算.知知识识点点2 2 向量平行的坐向量平行的坐标标表示表示观观察如察如图图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题问题:问题问题1:1:两向量平行的条件两向量平行的条件 与与x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0有何区有何区别别?问题问题2:2:向量平行的坐向量平行的坐标标表示有何作用表示有何作用?【总结总结提升提升】1.1.对对向量平行

13、的三种理解向量平行的三种理解(1)(1)ab(b0)a=b.这这是几何运算是几何运算,体体现现了向量了向量a与与b的的长长度及方向度及方向之之间间的关系的关系.(2)(2)aba a1 1b b2 2-a-a2 2b b1 1=0,=0,其中其中a=(a=(a1 1,b,b1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2).).这这是代数运算是代数运算,由于由于不需引不需引进进参数参数,从而从而简简化了代数运算化了代数运算.(3)(3)ab 其中其中a=(a=(a1 1,b,b1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2)且且b b1 10,b0,b2 20.0.即两向即两向量的量的对应对

14、应坐坐标标成比例成比例.通通过这过这种形式种形式较较易易记忆记忆向量共向量共线线的坐的坐标标表示表示,而且不易出而且不易出现现搭配搭配错误错误.2.2.三点共三点共线问题线问题已知已知A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3),),(1)(1)当当(x(x2 2-x-x1 1)(y)(y3 3-y-y1 1)-(x)-(x3 3-x-x1 1)(y)(y2 2-y-y1 1)=0)=0时时三点共三点共线线.(2)(2)若存在若存在实实数数使使 则则三点共三点共线线.【题型探究题型探究】类类型一型一 平面向量的坐平面向量的坐

15、标标表示及表示及线线性运算性运算【典例典例】1.1.已知已知 =(1,2),A(3,4),=(1,2),A(3,4),则则B B点坐点坐标标是是_._.2.(1)2.(1)已知平面上三个点已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),A(4,6),B(7,5),C(1,8),求求(2)(2)已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(-3,4),=(-3,4),求向量求向量a+b,a-b,3,3a-4-4b的坐的坐标标.【解解题题探究探究】1.1.向量的坐向量的坐标标与起点坐与起点坐标标、终终点坐点坐标标的关系是什么的关系是什么?提示提示:向量的坐标等于终点坐标减起点坐标向量的坐标

16、等于终点坐标减起点坐标.2.2.向量的向量的线线性运算有何特征性运算有何特征?提示提示:向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运算算.【解析解析】1.1.设设B B点的坐标为点的坐标为(x,yx,y),),则则=(x-3,y-4)=(1,2).=(x-3,y-4)=(1,2).所以所以 所以所以B B点的坐标是点的坐标是(4,6).(4,6).答案答案:(4,6)(4,6)2.(1)2.(1)因为因为A(4,6),B(7,5),C(1,8).A(4,6),B(7,5),C(1,8).所以所以 =(7,5)-(4,6)=(3,-

17、1),=(7,5)-(4,6)=(3,-1),=(1,8)-(4,6)=(-3,2),=(1,8)-(4,6)=(-3,2),=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),=2(3,-1)+(-3,2)=2(3,-1)+(-3,2)(2)(2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),3 3a-4-4b=3(1,2)-4(-3,4)=

18、(15,-10).=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).【方法技巧方法技巧】平面向量坐平面向量坐标标运算的技巧运算的技巧(1)(1)若已知向量的坐若已知向量的坐标标,则则直接直接应应用两个向量和、差及向量数乘的运算用两个向量和、差及向量数乘的运算法法则进则进行行.(2)(2)若已知有向若已知有向线线段两端点的坐段两端点的坐标标,则则可先求出向量的坐可先求出向量的坐标标,然后再然后再进进行向量的坐行向量的坐标标运算运算.(3)(3)向量的向量的线线性坐性坐标标运算可完全运算可完全类类比数的运算比数的运算进进行行.【拓展延伸拓展延伸】坐坐标标形式下的向量相等的条件及其形式下的向量相等的

19、条件及其应应用用(1)(1)条件条件:相等向量的相等向量的对应对应坐坐标标相等相等.(2)(2)应应用用:利用坐利用坐标标形式下向量相等的条件形式下向量相等的条件,可以建立相等关系可以建立相等关系,由此可由此可求某些参数的求某些参数的值值.【变变式式训训练练】已已知知a=(x+3y,2x+y+2),=(x+3y,2x+y+2),b=(y-2x+1,3x-y+7),=(y-2x+1,3x-y+7),若若a=b,求求实实数数x,yx,y的的值值.【解析解析】由题意由题意,可列方程组可列方程组 类类型二型二 平面向量平行的坐平面向量平行的坐标标表示及其表示及其应应用用【典例典例】已知已知a=(1,2

20、),=(1,2),b=(-3,2),=(-3,2),当当k k为为何何值时值时,k ka+b与与a-3-3b平行平行?【解解题题探究探究】典例中典例中k ka+b与与a-3-3b的坐的坐标标分分别别是什么是什么?提示提示:k ka+b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4).=(10,-4).【解析解析】方法一方法一:k ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当当k ka+b与与a-

21、3-3b平行时平行时,存在唯一实数存在唯一实数,使使k ka+b=(=(a-3-3b).).即即(k-3,2k+2)=(10,-4),(k-3,2k+2)=(10,-4),所以所以 所以当所以当k=-k=-时时,k ka+b与与a-3-3b平行平行,方法二方法二:由方法一知由方法一知k ka+b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4),=(10,-4),因为因为k ka+b与与a-3-3b平行平行,所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,(-4)-10(2k+2)=0,解得解得k=-.k=-.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变变问问法

22、法)本本题题条条件件不不变变,判判断断k ka+b与与a-3-3b平平行行时时,它它们们是是同同向向还还是是反向反向?【解析解析】方法一方法一:k ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当当k ka+b与与a-3-3b平行时平行时,存在唯一实数存在唯一实数,使使k ka+b=(a-3 3b).).即即(k-3,2k+2)=(10,-4),(k-3,2k+2)=(10,-4),所以所以 所以当所以当k=-k=-时时,ka

23、+b与与a-3 3b平行平行,这时这时k ka+b=-=-a+b=-(=-(a-3 3b),),因为因为=-0,=-0,所以所以k ka+b与与a-3 3b反向反向.方法二方法二:由方法一知由方法一知k ka+b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4),=(10,-4),因为因为k ka+b与与a-3-3b平行平行,所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,(-4)-10(2k+2)=0,解得解得k=-.k=-.此时此时k ka+b=(-3,-+2)=-(=(-3,-+2)=-(a-3-3b).).所以当所以当k=-k=-时时,k ka+b

24、与与a-3-3b平行平行,并且反向并且反向.2.(2.(变换变换条件条件)本本题题条件条件变为变为“已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(-3,2),=(-3,2),c=(3,4).=(3,4).若若为实为实数数,(,(a+b)c”,”,求求的的值值.【解析解析】可得可得a+b=(1-3=(1-3,2+2,2+2),),由由(a+b)c得得(1-3(1-3)4 4-3-3(2+2(2+2)=0,)=0,解得解得=-.=-.【方法技巧方法技巧】利用向量平行的条件利用向量平行的条件处处理求理求值问题值问题的思路的思路(1)(1)利用共利用共线线向量定理向量定理a=b(b0)列方程列方程组组求

25、解求解.(2)(2)利用向量平行的坐利用向量平行的坐标标表达式表达式a a1 1b b2 2-a-a2 2b b1 1=0=0直接求解直接求解.易易错错案例案例 向量坐向量坐标标的运算的运算【典例典例】(2015(2015济济源高一源高一检测检测)已知点已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),A(2,3),B(5,4),C(7,10),若若 (RR),),当点当点P P在第三象限在第三象限时时,的取的取值值范范围围是是_._.【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗?提示提示:错误的根本原因在于把向量错误的根本原因

26、在于把向量 的坐标当作点的坐标当作点P P的坐标的坐标,混淆了点混淆了点的坐标与向量坐标的概念的坐标与向量坐标的概念.【自我矫正自我矫正】由已知得由已知得 =(5,4)-(2,3)=(3,1),=(5,4)-(2,3)=(3,1),=(7,10)-(2,3)=(5,7),=(7,10)-(2,3)=(5,7),所以所以 =(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7),=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7),设点设点P(x,yP(x,y),),则则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).所以所以(x-2,y-3)=(3+5,1+7),(x

27、-2,y-3)=(3+5,1+7),又因为点又因为点P P在第三象限在第三象限,所以所以 解得解得-1.-1.所以所以的取值范围是的取值范围是(-,-1).(-,-1).答案答案:(-(-,-1),-1)【防范措施防范措施】1.1.明确向量坐明确向量坐标标与点的坐与点的坐标标的区的区别别向向量量的的坐坐标标是是终终点点坐坐标标减减起起点点坐坐标标,当当且且仅仅当当向向量量的的起起点点为为坐坐标标原原点点时时,向向量量的的坐坐标标与与其其终终点点的的坐坐标标相相同同,如如本本题题点点P P的的坐坐标标不不是是向向量量的的坐坐标标.2.2.正确理解向量相等正确理解向量相等两两个个向向量量相相等等即即方方向向相相同同,模模长长相相等等;坐坐标标形形式式下下的的向向量量相相等等即即坐坐标标对对应应相相等等.正正确确利利用用向向量量相相等等可可建建立立相相等等关关系系,由由此此可可求求某某些些参参数数的的值值,如本例灵活利用向量相等是解如本例灵活利用向量相等是解题题的关的关键键.