数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理2 新人教A版选修1-2 .ppt

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1、2.1.2 2.1.2 演绎推理演绎推理 现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它曾在现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树的树叶表明它们是阔叶树.从繁茂的阔叶树可以推知从繁茂的阔叶树可以推知当时南极有温暖湿润的气候，故南极洲的地理位置当时南极有温暖湿润的气候，故南极洲的地理位置曾经在温湿的热带曾经在温湿的热带.被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云

2、天，巍然屹立高入云天，巍然屹立.西藏高原南端的喜马拉雅山横空西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界出世，雄视世界.珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小峰顶，一览群山小.谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸山峰的前身，是深不可测的大曾经是一片汪洋，高耸山峰的前身，是深不可测的大海海.地质学家是怎么得出这个结论的呢？地质学家是怎么得出这个结论的呢？人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石许多鱼类、贝类的化石.还发现了鱼龙的化石还发现了鱼

3、龙的化石.地质学地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋.1.1.了解演绎推理的含义及特点了解演绎推理的含义及特点.2.2.会将推理写成三段论的形式会将推理写成三段论的形式.(重点重点)3.3.了解合情推理和演绎推理的区别与联系了解合情推理和演绎推理的区别与联系.（难点）（难点）探究点探究点1 1 演演绎推理的定推理的定义1.1.所有的金属都能所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,所以所以铀能能够导电.因因为铀是金属

4、是金属,所以所以(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.因因为(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,3.3.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数,所以所以tan tan 是周期函数是周期函数.因为因为tan tan 是三角函数是三角函数,思考：思考：以上推理的共同特点是什么？以上推理的共同特点是什么？从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为论，这种推理称为演绎推理演绎推理下列几种推理过程是演绎推理的是（下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.5A.5和和 可以比较大小；可以比较大小；B.B.由平面三角形的

5、性质，推测空间四面体的性质；由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；C.C.我校高中高二级有我校高中高二级有1818个班，个班，1 1班有班有5151人，人，2 2班有班有5353人，人，3 3班有班有5252人，由此推测各班都超过人，由此推测各班都超过5050人；人；D.D.预测股票走势图预测股票走势图.B B【即时训练即时训练】1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,所以铜能够导电所以铜能够导电.因为铜是金属因为铜是金属,所以所以2 0072 007不能被不能被2 2整除整除.因为因为2 0072 007是奇数是奇数,大前提大

6、前提小前提小前提结论结论一般性的原理一般性的原理特殊情况特殊情况结论结论一般性的原理一般性的原理特殊情况特殊情况结论结论探究点探究点2 2 演绎推理的模式演绎推理的模式大前提大前提小前提小前提结论结论“三段论三段论”是演绎推理的一般形式，包括：是演绎推理的一般形式，包括：演绎推理的演绎推理的“三段论三段论”1.1.大前提大前提2.2.小前提小前提3.3.结论结论已知的一般性原理；已知的一般性原理；所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；根据一般原理，对特殊情况做出根据一般原理，对特殊情况做出的判断的判断.1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,例如，刚才的例子中例如，刚才的例子中2.2.一切

7、奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,3.3.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数,所以铀能够导电所以铀能够导电.因为铀是金属因为铀是金属,所以所以(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.因为因为(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,所以所以tan tan 是周期函数是周期函数因为因为tan tan 是三角函数是三角函数,大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论“三段论三段论”的符号表示：的符号表示：大前提：大前提：M M 是是 P P小前提：小前提：S S 是是 M M结结 论：论：S S 是是 P

8、 P用集合的知识说明：用集合的知识说明：若集合若集合M M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P,SP,S是是M M的一个的一个子集子集,那么那么S S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.P.M MS SP P分析下列推理是否正确，说明为什么？分析下列推理是否正确，说明为什么？(1)(1)自然数是整数，自然数是整数，3 3是自然数，是自然数，3 3是整数是整数.大前提错误大前提错误推理形式错误推理形式错误(2)(2)整数是自然数，整数是自然数，-3-3是整数，是整数，-3-3是自然数是自然数.(4)(4)自然数是整数，自然数是整数，3 3是整数，是整数，3 3是自然数是自然数.

9、(3)(3)自然数是整数，自然数是整数，-3-3是自然数，是自然数，-3-3是整数是整数.小前提错误小前提错误【即时训练即时训练】证明：证明：(1)(1)因为有一个内角为直角的因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，三角形是直角三角形，同理，同理，AEBAEB也是直角三角形也是直角三角形.所以所以ABDABD是直角三角形是直角三角形.大前提大前提在在ABDABD中，中，ADBCADBC，即即ADBADB9090,小前提小前提结论结论例例1.1.如图所示，在锐角三角形如图所示，在锐角三角形ABCABC中，中，ADBCADBC，BEACBEAC，D D，E E为垂足，求证：为垂足，求证：ABAB

10、的中点的中点M M到到D D，E E的距的距离相等离相等.所以所以DMEM.所以所以DM(2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，于斜边的一半，大前提大前提小前提小前提而而M是是RtABD斜边斜边AB的中点，的中点，DM是斜边上的中线，是斜边上的中线，结 论同理，同理，EM,三段三段论论：“某年份能被某年份能被4 4整除，但不能被整除，但不能被100100整除，整除，或者能被或者能被400400整除，整除，则该则该年份年份为闰为闰年年”现现已知某已知某年份不能被年份不能被400400整除，整除，则该则该年份不是年份不是闰闰年上述推年上述推理（理（）小前提

11、与小前提与结论结论都都错错 只有小前提只有小前提错错只有大前提只有大前提错错 只有只有结论错结论错A A【变式练习变式练习】例例2 证明函数证明函数f(x)=-x2+2x在在(-,1）内是增函数）内是增函数.分析：分析：证明本题所依据的大前提是：在某个区间证明本题所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果）内，如果f(x)0，那么函数，那么函数y=f(x)在这个区在这个区间内单调递增间内单调递增.于是，根据三段论，可知于是，根据三段论，可知f(x)=-x2+2x在在(-,1）内是增函数）内是增函数.证明：证明：满足对于任意满足对于任意x1,x2D,若若x1x2,有有f(x1)f(x2)成立

12、的函数成立的函数f(x),是区间是区间D上的增函数上的增函数.任取任取x x1 1,x,x2 2(-,1(-,1）且且x x1 1xx2,2,f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(-x)=(-x1 12 2+2x+2x1 1)-(-x)-(-x2 22 2+2x+2x2 2)=(x =(x2 2-x-x1 1)(x)(x1 1+x+x2 2-2)-2)因为因为x x1 1x0 0 因为因为x x1 1,x,x2 21 1所以所以x x1 1+x+x2 2-20 -20 因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)大前

13、提大前提小前提小前提【变式练习变式练习】上述问题还有其他解法吗？上述问题还有其他解法吗？所以函数所以函数f(x)=-x2+2x在在(-,1）内是增函数）内是增函数.结论结论实数的绝对值不小于零实数的绝对值不小于零;-2-2是实数是实数;-2-2的绝对值不小于零的绝对值不小于零.案例分析：案例分析：1.1.全等三角形面积相等全等三角形面积相等 那么三角形那么三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1面积相等面积相等.如果三角形如果三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1相似相似,2.2.相似三角形面积相等相似三角形面积相等.那么三角形那么

14、三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1面积相等面积相等.如果三角形如果三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1相似相似,例例3 3 下列推理形式正确吗？推理的结论是否正确？下列推理形式正确吗？推理的结论是否正确？推理形式不正确推理形式不正确小前提中的对象不是大前提中的对象，结论不正确小前提中的对象不是大前提中的对象，结论不正确.推理形式正确推理形式正确 大前提不正确，结论不正确大前提不正确，结论不正确3.3.正方形的对角线互相垂直正方形的对角线互相垂直;矩形是正方形矩形是正方形;推理形式正确推理形式正确小前提不正确，结论不正确小前提

15、不正确，结论不正确 只有在大前提、小前提、推理形式都正确的情只有在大前提、小前提、推理形式都正确的情形，才能保证结论正确形，才能保证结论正确.矩形的对角线互相垂直矩形的对角线互相垂直.合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别:区区别别推理推理形式形式推理推理结论结论联系联系合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理由由部分部分到到整体整体,个别个别到到一般一般的的推理推理由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理结论不一定正确，有待进一结论不一定正确，有待进一步证明步证明演绎推理演绎推理由由一般一般到到特殊特殊的的推理推理在前提和推理形在前提和推理形式都正确时式都正确时,得到得到的结论

16、一定正确的结论一定正确 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的【提升总结提升总结】用三段论证明：通项公式为用三段论证明：通项公式为的数列为等比数列的数列为等比数列.如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起,每一项与它的前每一项与它的前一项的比等于同一常数一项的比等于同一常数(不为零不为零),),那么这个数列那么这个数列叫做等比数列叫做等比数列.通项公式为通项公式为 的数列为等比数列的数列为等比数列.大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明:q(n2，q是常数，是常数，

17、q0)【变式练习变式练习】1.1.三段三段论：“只有船准只有船准时起航起航,才能准才能准时到达目的港到达目的港,这艘船是准艘船是准时到达目的港的到达目的港的,这艘船是准艘船是准时起航的起航的”,其中的其中的“小前提小前提”是是()A.A.B.B.C.C.D.D.D D2.2.下列下列说法正确的个数是法正确的个数是()演演绎推理是由一般到特殊的推理推理是由一般到特殊的推理演演绎推理得到的推理得到的结论一定是正确的一定是正确的演演绎推理的一般模式是推理的一般模式是“三段三段论”形式形式演演绎推理得到的推理得到的结论的正的正误与大前提、小前提和推与大前提、小前提和推理形式有关理形式有关A.1 B.2

18、 C.3 A.1 B.2 C.3 D.4 D.4C C3.(20153.(2015淄博高二淄博高二检测)“因因为四四边形形ABCDABCD是矩形是矩形,所以所以四四边形形ABCDABCD的的对角角线相等相等”,补充以上推理的大前提是充以上推理的大前提是()A.A.正方形都是正方形都是对角角线相等的四相等的四边形形B.B.矩形都是矩形都是对角角线相等的四相等的四边形形C.C.等腰梯形都是等腰梯形都是对角角线相等的四相等的四边形形D.D.矩形都是矩形都是对边平行且相等的四平行且相等的四边形形B B【解题关键解题关键】小前提和结论隐含了什么信息小前提和结论隐含了什么信息?提示：提示：四边形四边形AB

19、CDABCD、矩形、对角线相等、矩形、对角线相等.4.4.下列几种推理下列几种推理过程是演程是演绎推理的是推理的是_._.两条平行直两条平行直线与第三条直与第三条直线相交相交,内内错角相等角相等,如果如果A A和和B B是两条平行直是两条平行直线的内的内错角角,则A=B;A=B;金金导电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都所以一切金属都导电;由由圆的性的性质推推测球的性球的性质;科学家利用科学家利用鱼的沉浮原理制造的沉浮原理制造潜艇潜艇.【解析解析】是演绎推理是演绎推理;是归纳推理是归纳推理;是类比推是类比推理理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理演绎推理演绎推理推理推理 再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达.