湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷含答案.pdf

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1、2024 年邵阳市高三第三次联考(数学)第 1 页(共 4 页)2024 年邵阳市高三第三次联考数学一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z 满足:z(1+i)=i2024-i,其中 i 是虚数单位,则 z 的值为A.2B.1C.2D.42.已知全集 U=R,集合 A=x-1x2,B=x 1x6,如图(一)所示,则图中阴图(一)影部分表示的集合是A.x-1x6B.x x6D.x x63.“0a0 且 a1)在 R 上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下

2、列函数对于任意 x1,x2(0,+),都有 fx1+x22()f(x1)+f(x2)2成立的是A.f(x)=ln xB.f(x)=x2+1C.f(x)=2xD.f(x)=x435.已知曲线 y=12x2+ln x+12在点 1,1()处的切线与抛物线 x2=ay 也相切,则实数 a 的值为A.0B.12C.1 D.0 或 16.甲、乙两个工厂代加工同一种零件,甲加工的次品率为 5%,乙加工的次品率为 8%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 40%,60%,任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是乙工厂加工的概率为A.320B.13C.38D.12177.已知双

3、曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点在圆 O:x2+y2=4 上,且圆 O 与直线 l:x-y-2b=0有公共点,则双曲线 C 的离心率的取值范围为A.2,+)B.(1,2C.(1,3D.2,28.已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域均为 R,记 g(x)=f(x),函数 f(2x+3)的图象关于点(-1,1)对称.若对任意 xR,有 f(x+3)=x+f(3-x),则下列说法正确的是A.g(x)不为周期函数B.f(x)的图象不关于点(1,1)对称C.g(211)=12D.f(985)=1#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABA

4、EIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考(数学)第 2 页(共 4 页)二、多选题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.9.下列说法正确的有A.若角 的终边过点 P12,32(),则角 的集合是 =3+2k,kZB.若 cos+6()=35,则 sin+23()=35C.若 tan=2,则sin2+sin cos=65D.若扇形的周长为 8 cm,圆心角为 2 rad,则此扇形的半径是 4 cm10.如图(二)所示,点 E 为正方体形木料 ABCD-A1B1

5、C1D1上底面的动点,则下列结论正确图(二)的有A.三棱锥 E-ABC 的体积为定值B.存在点 E,使 CE平面 BDD1B1C.不存在点 E,使 CE平面 BDD1B1D.经过点 E 在上底面上画一条直线 l 与 CE 垂直,若 l 与直线 B1D1重合,则点 E 为上底面中心11.英国数学家泰勒发现了如下公式:sin x=x-x33!+x55!-x77!+,cos x=1-x22!+x44!-x66!+,某数学兴趣小组在研究该公式时,提出了如下猜想,其中正确的有A.sin1cos1B.sin10.84(精确到小数点后两位)C.cos30 时,sinxx-x36三、填空题:本大题共 3 小题

6、,每小题 5 分,共 15 分.12.2x3-1x2()5的展开式中常数项是 .(用数字作答)13.宋朝诗人王镃在 蜻蜓 中写到:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点图(三)水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数 f(x)=Asin(x+)A0,0,2()的图象来描述,如图(三)所示,则f x()=.14.已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则 A=;若 b=2,c=1,BP=tBC,t 0,1,则 PC2-BCAP的取值范围是 .#QQABYYQ

7、UggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考(数学)第 3 页(共 4 页)四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)已知函数 f(x)=-13x3+x2+1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)若函数 g(x)=f(x)-k(kR)有且仅有三个零点,求 k 的取值范围.16.(15 分)如图(四)所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,ABCD,ABAD,AP=AB=2AD=2CD,E 为棱 PC 上的动点.(1)求证:BCAE;(

8、2)若 PE=2EC,求直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值.图(四)17.(15 分)如图(五)所示,已知点 B(6,-9),BCx 轴于点 C,点 M 为线段 OB 上的动点(M 不与端点 O,B 重合),MHx 轴于点 H,MEBC 于点 E,OE 与 MH 相交于点 Q,记动点 Q 的轨迹为.(1)求 的方程;(2)点 A,N 是 上不同的两点,N 关于 y 轴对称的点为 N,记直线 AN与 y 轴的交点为D(0,y0),直线 AN 与 y 轴的交点为 P.当PNN 为等边三角形,且 y0-1 时,求点 P 到直线 AD 的距离的取值范围.图(五)#QQABYYQUggAoAJA

9、AABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考(数学)第 4 页(共 4 页)18.(17 分)某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口连续 10 日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 y 与天数 x 的情况,对统计得到的样本数据(xi,yi)(i=1,2,10)作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyY10i=1xiyi10i=1x2i10i=1xiYi5.58.71.930138579.75表中 Yi=ln yi,Y=11010i=1Yi.(1)依据散点图推断,y=bx+a 与

10、y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 y 与天数 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)依据(1)的结果和上表中的数据求出 y 关于 x 的回归方程.(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性,交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查,得到如下列联表:性别佩戴头盔不佩戴佩戴合计女性81220男性14620合计221840依据=0.10 的独立性检验,能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联?参考公式:b=ni=1xiyi-nx yni=1x2i-nx2,a=y-bx,2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中 n=a+b+c+d.0.150.10

11、0.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(17 分)已知数列 an,bn,函数 f(x)=ax2+bx+csin x,其中 nN,a,b,c 均为实数.(1)若 a=-b=1,c=0,f(an)=(an-an+1)f(an),b1=2,bn=lnanan-1(),()求数列 bn的通项公式;()设数列bn(bn-1)(bn+1-1)的前 n 项和为 Tn,求证:Tn-n2+n+23.(2)若f(x)为奇函数,f2()=2+1,b,cQ,an+2=f2+an+1()-2,an+1an,f(an+1),an+1

12、an,且 a2=6a1=6,问:当 n2 时,是否存在整数 m,使得 man成立.若存在,求出 m 的最大值;若不存在,请说明理由.(附:sin6-0.28,cos5.720.85)#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 1 页(共 8 页)2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准数学一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题 号12345678答 案BDCACDBC1.B【解析】z

13、(1+i)=i2024-i=1-i,z=1-i1+i=1-i()22=-i,z=1.选 B.2.D【解析】AB=x-1x6,U(AB)=x x6.选 D.3.C【解析】若 a1,则 f(x)的图象为:若 0a1,则 f(x)的图象为:选 C.4.A【解析】(教材必修一 P101T8)满足 fx1+x22()f(x1)+f(x2)2,则函数为上凸函数,由函数的图象可得选 A.5.C【解析】y=12x2+ln x+12()=x+1x,yx=1=2,所以曲线 y=12x2+ln x+12在点 1,1()处的切线为:y-1=2 x-1(),即 y=2x-1.联立 y=2x-1 与 x2=ay,得 x2

14、-2ax+a=0,依题意可知=4a2-4a=0,所以 a=0 或 1.当 a=0 时,x2=ay=0 不是抛物线,舍去.选 C.6.D【解析】(教材选择性必修三 P50例 5)设事件 M=“任取一个零件,取到的零件是次品”,N1=“任取一个零件,来自甲工厂”,N2=“任取一个零件,来自乙工厂”,由题意得 P(N1)=0.4,P(N2)=0.6,P(M|N1)=0.05,P(M|N2)=0.08.因为 P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)P(M|N2)=0.40.05+0.60.08=0.068,#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAA

15、iQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 2 页(共 8 页)所以 P(N2|M)=P(MN2)P(M)=0.60.080.068=1217.选 D.7.B【解析】由题可得:c=2,a2+b2=4,点 O 到直线 l:x-y-2b=0 的距离 d=2b22,所以 0b 2,2a2,则 0sin4,cos1cos1,故 A 选项错误.由 sin x=x-x33!+x55!-x77!+,则 sin 1=1-13!+15!-17!+,又 1-13!+15!=1-16+1120=1011200.84(精确到小数点后两位),故 B 选项正确.cos3=12,29,则

16、有 1-2180 时,令 f(x)=sin x-x+x36,则 f(x)=cos x-1+12x2,f(x)=x-sin x0,所以 f(x)在(0,+)上为增函数,则 f(x)f(0)=0,所以 f(x)在(0,+)上为增函数,则 f(x)f(0)=0,故当 x0 时,sin x-x+x360 恒成立,即 sin xx-x36.故 D 选项正确.#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 4 页(共 8 页)三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分

17、.12.-40 13.sin32x+4()14.23(或 120),-5,912.-40【解析】2x3-1x2()5的展开式的通项为:Tr+1=Cr52x3()5-r-1x2()r=-1()rCr525-rx15-5r,令15-5r=0,得 r=3,故 T4=C352x3()2-1x2()3=-40.13.sin32x+4()【解析】由题知:A=1,T=2=42-6()=43,=32,f(x)=sin32x+(),x=6时,32x+=2,故=4,f(x)=sin32x+4().14.23(或 120),-5,9【解析】由sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0 及正弦定理,

18、得 b2+c2-a2+bc=0,由余弦定理可知 cos A=b2+c2-a22bc=-12,又 A(0,),A=23.b=2,c=1,由余弦定理得 a=7,cosB=2 77,AB与 BC的夹角的余弦值为-2 77.又 BP=tBC,PC=(1-t)BC,且 APBC=(AB+tBC)BC=ABBC+t BC2=7t-2,PC2-BCAP=7(1-t)2-(7t-2)=7t2-21t+9,t0,1,PC2-BCAP-5,9,四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)解:(1)由 f(x)=-13x3+x2+1,得 f(x)=-x2+

19、2x,1 分令 f(x)0,得-x2+2x0,解得 0 x2.4 分所以 f(x)的单调递增区间为(0,2)5 分(注:单调递增区间是否带端点均给分)(2)令 f(x)=0,解得 x=0 或 x=2.6 分#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 5 页(共 8 页)当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x-,0()00,2()22,+()f(x)-0+0-f(x)单调递减1单调递增73单调递减9 分由函数 g(x)=f(x)-k 有且仅有三个零点,

20、得方程 f(x)=k(kR)有且仅有三个不等的实数根,所以函数 y=f(x)的图象与直线 y=k 有且仅有三个交点.10 分显然,当 x-时,f(x)+;当 x+时,f(x)-.11 分所以由上表可知,f(x)的极小值为 f(0)=1,f(x)的极大值为 f(2)=73,故 k 1,73().13 分16.(15 分)证明:(1)连接 AC,取 AB 的中点 F,连接 CF,则 AF=12AB=CD.又 ABCD,AFCD.四边形 ADCF 为平行四边形,CF=AD=12AB.ACB=90,则 ACBC.3 分又 PA平面 ABCD,BC平面 ABCD,PABC.4 分又 ACPA=A,AC平

21、面 PAC,PA平面 PAC,BC平面 PAC.6 分又 AE平面 PAC,BCAE.7 分(2)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AD=CD=a.则 AP=AB=2AD=2a,8 分依题意得 D(a,0,0),C(a,a,0),B(0,2a,0),P(0,0,2a).则 BP=(0,-2a,2a),CP=(-a,-a,2a),9 分 PE=2EC,DE=23DC+13DP=-a3,2a3,2a3().10 分设平面 PBC 的法向量为 n=(x0,y0,z0),则nBP=-2ay0+2az0=0,nCP=-ax0-a

22、y0+2az0=0,11 分#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 6 页(共 8 页)取 y0=1,得 z0=1,x0=1.n=(1,1,1).12 分设直线 DE 与平面 PBC 所成角为,则有 sin=cosDE,n=DEnDEn=a3a=33.直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为33.15 分17.(15 分)解:(教材必修一 P137例 6)(1)设 Q(x,y),则 H(x,0).直线 OB 的方程为 y=-32x,M x,-32x(),E 6,

23、-32x().OQ=(x,y),OE=6,-32x().OQOE,x-32x()=6y,化简得 x2=-4y,其中 0 x6.即 的方程为:x2=-4y(0 x0,x1+x2=-4m,x1x2=4y0.设 P(0,y3),则 PN=(-x2,y2-y3),PA=(x1,y1-y3).P,N,A 三点共线,(y2-y3)x1+(y1-y3)x2=0,9 分(x1+x2)y3=y2x1+y1x2=2mx1x2+(x1+x2)y0.即-4my3=4my0,又 m0,y3=-y0.10 分 P(0,-y0).点 N,N 关于 y 轴对称,PN=PN,PNN 为等边三角形,DPN=DPN=30,直线 A

24、N 的斜率 k=y1-y2x1+x2=m(x1-x2)(x1+x2)=-x1-x24=-3,11 分 x1-x2=4 3.#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 7 页(共 8 页)由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16m2-16y0=48,得 m2=3+y0.12 分 m20,y0-3,又 y0-1,-3y0-1,则点 P 到直线 AD 的距离 d=2y0m2+1=-2y04+y0.13 分设 t=4+y0,则 1t 3,且 y0=t2-4,故 d

25、=8-2t2t=8t-2t.14 分 y=8t-2t 在(1,3)上单调递减,2 33d2.706=x0.10,15 分根据小概率值=0.10 的独立性检验,我们推断 H0不成立,即认为市民佩戴头盔与性别有关联,此推断犯错误的概率不超过 0.10.17 分19.(17 分)(1)()f(x)=x2-x,f(x)=2x-1,1 分由 f(an)=(an-an+1)f(an),得 a2n-an=(an-an+1)(2an-1),解得 an+1=a2n2an-1,2 分又 b1=2,bn=lnanan-1()(an1)bn+1=lnan+1an+1-1()=lna2n2an-1a2n2an-1-1

26、=lna2na2n-2an+1()=2lnanan-1(),4 分bn+1bn=2,bn是以 2 为公比,2 为首项的等比数列.5 分#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#2024 年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准(数学)第 8 页(共 8 页)bn=2n.6 分()令 cn=bn(bn-1)(bn+1-1),则 cn=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,7 分 Tn=c1+c2+c3+cn=121-1-122-1()+122-1-123-1()+12n-1-12n+1-1()=1-12n+

27、1-1.8 分显然,当 n1 时,Tn是递增数列,g(n)=-n2+n+23在 n1 时,单调递减,9 分可得 TnT1=1-122-1=23,g(n)g(1)=23.10 分 Tn-n2+n+23.11 分(2)f(x)为奇函数,f(-x)=ax2-bx-csin x=-f(x)=-ax2-bx-csin x.a=0,12 分又 f2()=2b+c=2+1,b,cQ,b=1,c=1.13 分 f(x)=x+sin x,an+2=an+1+cosan+1,an+1a1=1.a3=f(a2)=6+sin65.72a3,a5=f(a4)=a4+sin a4a4,a6=f(a5)=a5+sin a5,f(x)=x+sin x 在(0,+)上为增函数,当 2x0,2xx+sin xf(3)=3;a46.57(2,3),a5=f(a4)=a4+sina4(2,3).当 an(2,3)时,2anf(an)an-1,又 a2a3,当 n2 时,(an)min=a3,ma3=6+sin6.又 mZ,m 的最大值为 5.17 分注:解答题有其他解法酌情给分.#QQABYYQUggAoAJAAABgCQw1gCkCQkBCCACoOABAEIAAAiQFABAA=#