2024届浙江强基联盟高三5月全国“优创名校”联考数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 浙江强基联盟浙江强基联盟 5 月份高三全国月份高三全国“优创名校优创名校”联考联考 数学数学 注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在

2、答题卡上.写在本写在本试卷上无效试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知复数z满足2i1 iz=+，则z=（）A.1 i B.1 i C.1 i+D.1 i+2.已知集合10Axx=+Z，Bx xa=，若AB中有 2 个元素，则a的取值范围是（）A.)2,4 B.)1,2 C.2,4 D.1,2 3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近 30

3、 天每天走的步数，数据从小到大排序如下：5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901 13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172 14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972 估计该学生最近 30 天每天走的步数数据的第 75 百分位数为（）A.14292 B.14359 C.14426 D.14468 4.若函数()1yf x=是定义在R上的奇函数，则()()()101fff+=（

4、）A.3 B.2 C.2 D.3 5.有 4 个外包装相同的盒子，其中 2 个盒子分别装有 1 个白球，另外 2 个盒子分别装有 1 个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开 2 个盒子就能确定 2 个白球在哪个盒子中的概率为（）A.12 B.13 C.14 D.16 6.已知1F，2F分别是双曲线C：22214xyb=（0b）的左、右焦点，M是双曲线C右支上的一个动点，且2212MFMF的最小值是8 6，则双曲线C的渐近线方程为（）A.12yx=B.2yx=C.22yx=D.32yx=学科网（北京）股份有限公司 7.已知圆O：221xy+=，过点()2,0A的直线与l圆O交于B，C两点，

5、且ABBC=，则BC=（）A.2 B.32 C.2 D.62 8.如图，圆1O和圆2O外切于点P，A，B分别为圆1O和圆2O上的动点，已知圆1O和圆2O的半径都为1，且1PA PB=，则1PAPB+=，则2PAPB+的最大值为（）A.2 B.4 C.2 2 D.2 3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.一般地，任意给定一个角R，它的终边O

6、P与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作sin，即siny=；把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作cos，即cosx=；把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作csc，即1cscy=；把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作sec，即1secx=.下列结论正确的有（）A.5csc24=B.cossec1=学科网（北京）股份有限公司 C.函数()secf xx=的定义域为,2x xkk+Z D.2222secsincsccos5+10.如图 1，在等腰梯形ABCD中，/

7、AB CD，EFAB，22CFEFDF=，3AE=，4EB=，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A D 位置，且平面A D FE 平面BCFE，连接A B，D C，如图 2，则（）图 1 图 2 A.BEA D B.平面/A EB平面D FC C.多面体A EBCD F为三棱台 D.直线A D 与平面BCFE所成的角为4 11.已知函数()ex kf x+=，函数()21e2kxg x=，且0k=设函数()()()h xf xg x=，则下列命题正确的是（）A.()h x的最小值为12 B.若在()h x在0,ln2上单调递增，则k的取值范围为(,2ln2 C.若()h xm=有 4

8、个不同的解，则m的取值范围为13ln2221,ek+D.若()h xm=有 3 个不同的解1x，2x，3x，则1230 xxx+=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知F为抛物线C：22ypx=（0p）的焦点，点()1,2P在抛物线C上，直线PF与抛物线C的另一个交点为A，则AF=_.13.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin6sincAC=，()2218acb+=+，则ABC的面积为_.14.已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为12+，高为 100，现有若干个半径为2的实心球，则该圆柱形容器内最多

9、可以放入_个这种实心球 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）数列 na的前n项和为nS，且()112nSn n=+。（1）求 na的通项公式；（2）若数列 nb满足21,2,nnnnana abn+=为奇数为偶数求 nb的前2n项和2nT.16.（15 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA 平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为32，2 3PABC=，24CDAB=.（1）证明

10、：四边形ABCD是直角梯形；（2）若点E满足2PEED=，求二面角PEFB的正弦值。17.（15 分）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关。若从该班级中随机抽取 1 名学生，设A=3“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B=“抽取的学生建立了个性化错题本”，且()23P A B=，()56P B A=，()23P B=.（1）求()P A和()P A B；（2）若该班级共有 36 名学生，请完成列联表，并依据小概率值0.005=的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关。个性化错题本 期末统考中的数学

11、成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 学科网（北京）股份有限公司（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据0.001=的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k的最小值.参考公式及数据：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，nabcd=+.0.01 0.005 0.001 x 6.635 7.879 10.828 18.（17 分）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在

12、直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的 2 倍.已知ABC的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，()13,0A.（1）若()3,0E，点B在第二象限，直线BCx轴，求点B的坐标；（2）若A，D，E三点共线，椭圆T：22221xyab+=（0ab）与ABC内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.19.（17 分）已知函数()sincosf xaxxx=+.（1）若0a=，求曲线()yf x=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若(),x ，试讨论()f x的零点个数.学科网（北京）股份有限公司 浙江强基联盟浙江强基联盟 5 月份高三全月份高三全国国“优创名校优创名校”

13、联联考考 数学参考答案数学参考答案 1.A 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.因为2i1 iz=+，所以1 i1 iiz+=.2.B 【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.因为AB中只有 2 个元素，则0,1AB=，所以12a.3.C 【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.由30 75%22.5=，可知样本的第 75 百分位数为第 23 项数据，据此估计该学生最近 30 天每天走的步数数据的第 75 百分位数为 14426.4.A 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.设()()1F xf x=，则()()0F xFx+=，即()()110f xfx+

14、=，所以()()112ff+=.因为()()0010Ff=，所以()01f=，()()()1012 13fff+=+=.5.B 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理的核心素养.所求概率222244A A12A3P=.6.C 【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.解法一：不妨设()1,0Fc，()2,0Fc，()00,M xy，且02x，则()()222222120000048MFMFxcyxcycxc=+=，所以88 6c=，解得6c=，2b=，故双曲线C的渐近线方程为22yx=.解法二：()()22121212MFMFMFMFMFMF=+()()()12244 424 4228MFM

15、FMFcc=+=+=，所以88 6c=，解得6c=，2b=，故双曲线C的渐近线方程为22yx=.7.D 【解析】本题考查直线和圆的方程，考查直观想象及数学运算的核心素养.如图，在OAC中，/BD OC，1122BDOC=，1cos4BDODBED=，1coscos4COAODB=，22|2cos6ACOCOAOCOACOA=+=，所以 学科网（北京）股份有限公司 62BC=.8.D 【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.()()112212121212PA PBPOO APO BPO POP O BO A POO A O B=+=+()1211211POO BO AO A

16、 O B=+=，所以()1212121O A O BPOO BO AO BO A=，所以2221221122O A O BO BO AO A O B+，即21212220O A O BO A O B+，解得121313O A O B +.2222211221212122PAPBPOO APOO BO AO BO AO BO A O B+=+=+=+()122222132 3O A O B=+=.9.ABD 【解析】本题考查三角函数，考查数学抽象的核心素养.51csc254sin4=，A 正确.1cosseccos1cos=，B 正确.函数()cscf xx=的定义域为,x xkkZ，C 错误.

17、2222222221114secsincsccos1115cossinsincossin 2+=+=+=+，当sin21=时，等号成立，D 正确.10.ABD 【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象的核心素养.因为平面A D FE 平面BCFE，平面A D FE 平面BCFEEF=，BEEF，所以BE 平面A D FE，所以BEA D，A 正确.因为/A E D F，/BE CF，A EBEE=，D FCFF=，所以平面/A EB平面D FC，B 正确.因为D FFCA EEB，所以多面体A EBCD F不是三棱台，C 错误.延长A D，EF相交于点G（图略），A GE 为直线A D 与平

18、面BCFE所成的角.因为/A E D F，所以D FGFA EGFFE=+，解得1GF=，3 tan1A EGEA GEGE=，则4A GE=，D 正确.11.AC 【解析】本题考查基本初等函数，考查逻辑推理及直观想象的核心素养.学科网（北京）股份有限公司()e,ee,x kx kx kxkf xxk+=，()2221e,122e21e,.22kxkxkxkxg xkx+=令21ee2kxx k+，解得2ln23k .当2ln203k时，作出函数()f x和()g x的图象，如图 1 所示.图 1 此时，()()h xg x=.当2ln23k 时，作出函数()h x的图象，如图 2 所示.图

19、2()()min1f xfk=，()min122kg xg=，所以()h x的最小值为12，A 正确.令0021ee2kxxk=，解得01ln222kx=，013ln222eekxk+=.若()h x在0,ln2上单调递增，则01ln2ln222kx=，解得2ln2k .因为当2ln203k时，()h x在)0,+上单调递增，所以k的取值范围为(，2ln2,2ln2,03，B 错误.学科网（北京）股份有限公司 若()h xm=有 3 个不同的解1x，2x，3x，则结合图象可得()12301322ln2222kkxxxkx+=+=+或123202kxxxk+=，D 错误.若()h xm=有 4

20、个不同的解，则13ln2221,ekm+，C 正确.12.2 【解析】本题考查抛物线，考查数学运算及直观想象的核心素养.由题意可得()2221p=，解得2p=，则()1,0F，直线PF与x轴垂直，()1,2A，2AF=.13.3 32 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理，考查数学运算的核心素养.因为2sin6sincAC=，所以26acc=，即6ac=.因为()2218acb+=+，所以2221826acbac+=，2221cos22acbBac+=，3sin2B=，故13 3sin22ABCSacB=.14.49 【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象的核心素养.如图，将第 1 个实心球

21、1O靠近该圆柱形容器侧面放置，球1O上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2 2.将第 2 个实心球2O也靠近该圆柱形容器侧面放置，过点1O作1O A垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A，过点2O作2O B垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为B，设12O AO BC=.2ACBC=，12CO=，2221212COOOCO=，球2O上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为22 2+.同理可得球3O上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为42 2+.由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加 2.因为48 22 210049 22 2+=.根据小概率值0.005=的独立性检

22、验，我们推断0H不成立，即认为学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于 0.005.（3）()()()()()()()()()()222()()910.828k abcdka kdkb kck abcdadbckk abk cdk ack bdabcdacbd+=+，解得10.8289k.要使新列联表中的数据都为整数，则需4kZ.又因为10.828 444.89k，所以4k的最小值为 5，故k的最小值是54.18.解：（1）解：因为()3,0E，所以()3,0D.学科网（北京）股份有限公司 设BC与x轴的交点为(),0Fm，由题意可得2ADEF=，即()1332

23、3m+=+，解得5m=.设()5,Bn，因为BEAE=，所以222|BFEFAE+=，则()()22235133n+=，解得6n=.所以()5,6B.（2）证明：因为D和E关于原点O对称，且A，D，E三点共线，所以A，D，E，O四点共线，即点A，D，E，O都在x轴上.因为AD是ABC的高，所以ADBC，即BCx轴.因为ABC的外心为E，所以BECE=，所以点B与点C关于x轴对称.设BC与x轴的交点为(),0Fm，(),Bm n，(),Cmn，(),0Ds，(),0E s，由题意可得2ADEF=，即()132sms+=+，化简得132sm=.直线CD的斜率为313nnsmm=+，直线AB的斜率为

24、13nm+，所以131313nnmm=+，化简得()()231313nmm=+.直线AB的方程为()1313nyxm=+.椭圆T：22221xyab+=（0ab）与ABC内切，所以am=.联立()222213,131,nyxmxymb=+=得222222222222(13)26169(13)0bmm nxm n xm nm bm+=.()()()22222222222226413169130m nbmm nm nm bm=+=，即()()()24222221691313130nmbmm nm+=.因为()2130m+，所以()22222169130nbmm n+=，即()()()2221313

25、130mm nbm+=，即()()2213130m nbm+=.结合可得()()213313bmm=.设椭圆T的焦距为2c，则()()()22222213313213cmbmmmms=，学科网（北京）股份有限公司 所以D，E为椭圆T的两个焦点.19.解：（1）当0a=时，()cosf xxx=，()00f=.()cossinfxxxx=，()01f=.故曲线()yf x=在点()()0,0f处的切线方程为yx=.（2）因为()()fxf x=，所以()f x为奇函数.又因为()00f=，所以只需要讨论()f x在()0,上的零点.()()1 cossinfxaxxx=+，()01fa=+.令函

26、数()()()1 cossing xfxaxxx=+，()()2 sincosgxaxxx=+.当10a+，即1a 时，分段讨论：当,2x时，()0fx.当0,2x时，()0gx，022f=，当()0,xx时，()0fx，所以()f x在()00,x上单调递增，在()0,x上单调递减.因为()00f=，()0f=，所以()f x在()0,上有 1 个零点，()f x在(),上有 3 个零点.当10a+=，即1a=时，()()sin0,fxxxf x=在()0,上单调递减，所以()f x在()0,上没有零点，在(),上有 1 个零点.当20a+，即2a 时，分段讨论：当0,2x时，()0fx，所

27、以()g x在,2上单调递增，即()fx在,2上单调递增.学科网（北京）股份有限公司 因为022f=，所以存在1,2x，使得()10fx=.当()10,xx时，()0fx，所以()f x在()10,x上单调递减，在()1,x上单调递增.因为()00f=，()0f，所以()f x在()0,上没有零点，在(),上有 1 个零点.当10,20,aa+即21a 时，分段讨论：当0,2x时，()0fx=+.所以()h x在,2上单调递增，即()gx在,2上单调递增.因为()202ga=+，所以存在2,2x，使得()20gx=.所以()g x在2,2x上单调递减，在()2,x上单调递增，即()fx在2,2x上单调递减，在()2,x上单调递增.因为022f=，所以存在()32,xx，使得()30g x=.当()30,xx时，()0fx，所以()f x在()30,x上单调递减，在()3,x上单调递增.因为()00f=，()0f 时，()f x在(),上有 3 个零点;当1a 时，()f x在(),上有 1 个零点.