数学-妙用几何意义法解平面向量的最值（取值范围）问题.pdf-得力文库

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1、word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 妙用几何意义法解平面向量的最值（取值范围）问题妙用几何意义法解平面向量的最值（取值范围）问题例例 1已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为_【分析】利用向量的模的运算求得，设平面向量，都是以 O 为起点，终点分别是 A,B,C，求得平面向量+的终点 N 的轨迹，由与的夹角为，得到 C 的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的最大值，即为所求.【解析】，,，如图所示，设平面向量，都是以 O 为起

2、点，终点分别是 A,B,C，则平面向量+的终点 N 到 O 的距离为 2，设 AB 的中点为 M,则|MN|=1,N 在以 M 为圆心，半径为 1 的圆周上.由与的夹角为，点 C 在以 AB 为弦的圆周角为的优弧上，当 C,M,N 共线，且 C,N 在直线 AB 的两侧，并且 CMAB 时，|CN|最大，也就是取得最大值,此时,|CN|=,故答案为：.例例 2 已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是_.【分析】画出图形，表示出，从而确定，利用正弦定abc3a b 4abcacb3cab2ababcabcacb33a b 4ab224ababa b abcabcacb33cab2 3CM

3、 1MN 12 312 30,2135AB AC45ABCword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 理得到，结合，求出的取值范围.【解析】设，如图所示，则，因为与的夹角为，所以，因为，所以由正弦定理得：，所以，因为，所以故答案为：.例例 3在平面内，若有，则的最大值为_【分析】由条件可以求得，从而可作，并连接，取的中点，连接，则有，根据条件可以得到，可作，并连接，从而可以得到，即点在以为直径的圆上，从而得出当在上的投影最大时，最大通过计算

4、，即得出在上的投影最大值，从而得出的最大值.【解析】根据条件，；2 2sinC30,4CAB ACBC 13545ABC2AC22 2sinsin4522C2 2sinC30,4C2 2sin0,2 2C0,2 2|1,2aa bb()(2)0cacabc b,3a b,OAa OBb ABABDOD2abOD()()2abcacOCcACDCACDCCADOCOB c bOCOB c b|cos,2cos,1a ba ba ba b1cos,2a bword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群73259

5、9440；高考数学高中数学探究群562298495，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；作，连接，则；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：例例 4已知平面向量，满足，与的夹角为 120，记，的取值范围为（）A B C D【分析】设，根据与的夹角为 120，得到，再根据,3a b,OAa OBb 3AOBABABDOD2abOD()(2)0cacab()()02abcac()()2abcacOCcACCD,2abACca DCcACDCCADCOCOB c b1cos,32OGOA13222GBB

6、EHBAG14AEAB11334428GHGBOCOB 13372 32848max72 372 3284c b72 34ab2a aab 1mtat b tRmu r3,2,1,1,2,aOA bOB aab120,60OABOACword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495，得到的终点在直线 AB 上求解.【解析】设，如图所示：则，因为与的夹角为 120，所以，因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线 AB 上，所以当时，最小，最小值为

7、，无最大值，所以的取值范围为，故选；A 例例 5飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成在四边形中，点 P 是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是（）1mtat b tR,m a b ,aOA bOB abOAOBBArruuruu u ruu raab120,60OABOAC 1mtat b tR11,ttm a b mAB mu r3mu r3,ABCOOAOC4OAOCACBCACBCABCDEFGHOA AP word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印

8、无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 A B C D【分析】根据给定图形，求出在方向上的投影向量长的范围即可计算作答.【解析】在四边形中，则，且，过 D，H 分别作直线 OA 的垂线，垂足分别为 N，M，如图，依题意，因此，对任意点 P，过 P 作于 Q，而点 P 是八边形内（不含边界）一点，当点 P 在四边形和四边形内时，当点 P 在四边形和四边形内时，显然，而，则，当点 P 在四边形内时，则，当点 P 在四边形内时，则，当点 P 在四边形内时，则，当点 P 在四边形内时，则，(16,48)

9、(48,16)(16 5,48 5)(48 5,16 5)OP OA ABCOOAOC4OAOCACBC4 2ACBC ABOA4 2DEAHAC45DENHAM 28ONOMOAPQOAABCDEFGHABCOEFGO04OQGHAOCDEO08OQOPOQQP OA OPOA OQ APOPOA 216OA OPOAOAPOQOA A ABCO4|0,16)OA OQOQ 16,0)OA AP EFGO4|(16,0OA OQOQ (32,16OA AP GHAO4|0,32)OA OQOQ 16,16)OA AP CDEO4|(32,0OA OQOQ (48,16OA AP word 版

10、及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 所以的取值范围是.故选：B 例例 6已知直线与圆：相交于不同两点，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（）A B C D【分析】由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.【解析】因为，所以，三点共线，且点在线段外，因为点为线段的中点，所以，即是直角三角形，所以，由数量积的定义可得：，因为，所以，即，故选:C.变式练习变式练习 1已知为圆：上长度为 4 的动

11、弦，点是直线OA AP (48,16)lO229xyPQMPQC0CPCQ OC OM 0,30,3 20,90,6 2CPQCOMVcosOMCOMOC2OC OMOM 03OMOC OM 0CPCQ PQCCPQMPQOMPQCOMVcosOMCOMOC2cosOMOC OMOCOMCOMOCOMOMOC 03OM209OM09OC OM MNC22240 xyxyPword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495：上的动点，则的最小值为（）A

12、B C D【分析】设的中点为，则，则由题意可得点在以为圆心，1 为半径的圆上，从而可得的最小值即为圆心到直线的距离减去半径 1，进而可求得答案【解析】由，得，所以圆心，半径，设的中点为，则，因为，半径，所以，所以点在以为圆心，1 为半径的圆上，所以的最小值即为圆心到直线的距离减去半径 1，所以，所以的最小值为，故选：A 变式练习变式练习 2平面四边形 ABCD 中，AB=1，AC=，ACAB，ADC=，则的最小值为（）A-B-1 C-D-【分析】由题设画出示意图，易得且在以中点为圆心，为半径的劣弧上，根据圆的性质可求的最小值.【解析】由题设，可得如下示意图，l30 xy|NPMP 2 222

13、22 222 25MNE2NPMPPE E(1,2)CPE(1,2)C30 xy 22240 xyxy22(1)(2)5xy(1,2)C5r MNE2NPMPPE 4MN 5r 541CE E(1,2)CPE(1,2)C30 xy min1 231212PE|NPMP 2 22323AD AB 33212|sinAD ABADCAD DBCOOCACAD AB word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 所以，因为，即在以中点为圆心，为半径的劣

15、AD AB 12AB ACuu u r uuu r1121314AB ACuu u r uuu rAAB ACuu u r uuu rEABACAB ADcosAB ACAB ACA ACAB CDOAB ACuu u r uuu rword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 ，当时，所以的最小值为.故选：B.变式练习变式练习 4已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（）A B2 C D2【分析】有题意知，当时，取得最小值，过作

16、，即取得最小值为，求出即可得出答案.【解析】如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，2min2122AB ACAB ADAEAEAEAE uu u r uuu ruu u r uuu ruu u ruu u ruu u ruu u r12AE 21222AEAE uu u ruu u rAB ACuu u r uuu r12,a b 2b ab60|ba3103baa|baBBEOA|baBEBE,OAa OBb baa|baBBEOA|baBEab6060,90,BOABEO 2OB word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word

17、群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 所以.故选：A.变式练习变式练习 5已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（）A1 B C D【分析】设，则，可令，可得出，结合图形可知，当时，线段最短，由此可求得的最小值.【解析】如图所示，设，则，可令，则，点在上，因为与的夹角为，则，当时，线段最短，此时取最小值，即.故选：C.变式练习变式练习 6如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB=1，AD=3，设点 P 为直角梯形 ABCD 内一点（不包含边界），则的取值范围是（）3BE ab ab 1a

18、aba1501ct atb tRcr141232ABa ACbBCba BDt ba ADcuuu rrADBCADcrABa ACbBCba BDt ba 1ADABBDat bat atbc DBCaba15030ABCADBCADcrmin1sin302cAB ABBC/ABDC23BADAB AP word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877更多高中资料见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495 A B C D【分析】依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【解析】解：依题意过点作交的延长线于点，则，设与的夹角为，因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，所以故选：A 3,123,1230,230,2DDEABBAEAEAP AB AP AB DDEABBAE3cos602AEAD AP AB PABCDAP AB cosAP 3cos12AP 3coscos,12AB APABAPAP

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