广东华南师范大学附属中学2024年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

《广东华南师范大学附属中学2024年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东华南师范大学附属中学2024年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf（11页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年第二学期高二年级中段教学检查 数 学 满分：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的.1下列求导运算正确的是（）A()sincosxx=B()xxee=C11(ln)xx=D(2)2xx=2在等差数列 na中，45660aaa+=，则28aa+的值为（）A15 B20 C30 D40 3已知随机变量X服从正态分布()2

2、2,N，(1)0.7P X=，则(23)PX B120,0rr C0.12a=D00.68b 10已知函数2()2sin cos2xf xx=，则以下结论正确的是（）A为()f x的一个周期 B()f x在3x=处取得极小值 C对1x，2x R，()()213f xf x D()f x在 3,22上有 2 个零点 11设()f x是定义域为R的可导函数，若存在非零常数，使得()(1)()f xf x+=对任意的实数x恒成立，则称函数()f x具有性质()H.则（）A若函数()f x具有性质()H，则导函数()fx也具有性质()H B若()f x具有性质()2H，则(1)(2023)2ff+=C

3、若()f x具有性质1()2H，且(0)1f=，则11()3nif i=D若函数()(01)xf xaa=，则a的取值范围是10ae，若函数()()ecos0 xf xax x=+有且仅有 2 个极值点，则a的取值范围是 试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 5 小题，共小题，共 7 77 7 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果以下是某农户近 5 年种植药材的年收入的统计数据：年份 2019 2020 2021 2022

4、2023 年份代码x 1 2 3 4 5 年收入y（千元）59 61 64 68 73(1)根据表中数据，现决定使用2yabx=+模型拟合y与x之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果在本题中，若残差平方和小于 0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由 参考数据及公式：()()()121niiiniixxyybxx=，aybx=设2tx=，则()()1217niiittyy=，()21374niitt=16如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD 平面 ABE，点 E 在以

5、AB 为直径的半圆 O 上运动（不包括端点），底面 ABCD 为矩形，112ADBCAB=.(1)求证：BE 平面 ADE；(2)当四棱锥EABCD体积最大时，求平面 ADE 与平面 ACE所成夹角的余弦值.17已知nS为公差不为 0 的等差数列 na的前n项和，且()*21,nnaan=+RN(1)求的值；(2)若424SS=，求证：1223111112nna aa aa a+试卷第 4 页，共 4 页 18.已知函数()2112ln2f xa xxxx=+.(1)求()f x的图象在点()()1,1f处的切线方程；(2)讨论()f x的单调区间；(3)若对任意()1,x+，都有()ln21

6、f x，求a的最大值.（参考数据：ln20.7）19已知椭圆22:14xCy+=.(1)若点()00,P xy在椭圆 C 上，证明：直线0014x xy y+=与椭圆 C相切；(2)设曲线()22:10O xyx+=的切线 l与椭圆 C交于 A，B两点，且以 A，B为切点的椭圆 C 的切线交于 M点，求MAB面积的取值范围.第 1 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年第二学期高二年级中段教学检查 数学数学参考答案与解析参考答案与解析 一、一、单项单项选择题：选择题：14CDAA 58 DBBD 二、多项选择题：二、多项选择题：9.BCD 10BD 11.ACD

7、7【详解】因为221232nnna a aa+=，所以12a=.当2n 时，()2(1)1212312nnna a aa+=，所以()2222(1)122nnnnnna+=.因为1n=也满足，所以2nna=.令()()()()()()()242024132023xaxaxag xxaxaxa=，则()()f xxg x=，()()()fxg xxgx=+，所以()()()()()()()()2420241012132023002aaafgaaa=.或242024132023()()()()()()(0)xaxaxaxffxaxaxxa，则10122420232041023()()()2()()

8、()0)(0)li()mxf xffaxaaaaa 8.【详解】化简知121,211,2nnnnankanank+=+=，*kN，当2nk=，*kN时，()()212212121121221111 12121kkkkkkkaaaaakk+=+=+=+=，*kN，21212121kkaakk+=+，*kN，即n为奇数时，数列nan是常数列，111naan=，当n为奇数时，nan=；又当n为偶数时，1n+为奇数，11nnaa+=+，111 1nnaann+=+=，综上所述，数列 na的通项公式为nan=.数列2nana 的通项公式为22nnanan=，使用错位相减法得其前 2024 项和2024T

9、为20252023.22+.10.【详解】()()()222sin cos2sin sin22xxf xxxf x+=+=，故 A 错误；()()()22222sin2 cos2sin cos22xxf xxxf x+=+=，所以()f x的最小正周期为2，因为()f x的定义域为R，关于原点对称，第 2 页，共 7 页 且()()22()2sincos2sin cos22xxfxxxf x=，可知()f x为奇函数，又因为()22sin cossinsin cos2xf xxxxx=+，则()()()222coscossin2coscos1cos1 2cos1fxxxxxxxx=+=+=+，

10、当,3x 时，则11cos2x，可得()0fx；当,03x 时，则1cos12x；可得()fx在,3内单调递减，在,03内单调递增，所以()f x在3x=处取得极小值，故 B 正确；且()()3 300,34fff=，可知()fx在,0内的最小值为3 34，结合奇函数对称性可知：()fx在0,内的最大值为3 34，所以()fx在,内的最小值为3 34，最大值为3 34，结合周期性可知：()fx在R内的最小值为3 34，最大值为3 34，故1x，2x R，()()213 33 33 3442f xf x=，故 C 错误；令()0f x=，即22sin cos02xx=，得sin0 x=或cos0

11、2x=，当 3,22x 时，解得0 x=或x=，故()f x在 3,22上有 2 个零点，故 D 正确；故选：BD.11.【详解】对于 A，函数()f x具有性质()H，即存在非零常数，使得()(1)()f xf x+=对任意的实数x恒成立，对两边求导得()(1)()fxfx+=，因此存在非零常数，使得()(1)()fxfx+=对任意的实数x恒成立，()fx也具有性质()H，A 正确；对于 B，函数()fx具有性质()2H，则对任意的实数x，()()20f xf x+=，即()()2f xf x+=，于是()()42()f xf xf x+=+=，即函数()f x的周期是 4，因此(2023)

12、(3)(1)fff=，所以(1)(2023)0ff+=，B 错误；对于 C，函数()fx具有性质1()2H，则11()()22f xf x+=，有111(1)()()224f xf xf x+=+=，取(N)xn n=，则1(1)()4f nf n+=，而当0 x=时，11(1)(0)44ff=，第 3 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 因此数列()f n是以14为首项，14为公比的等比数列，则111(1)11144()(1)134314nnnif i=，C 正确；对于 D，函数()xf xa=（01a，使得()(1)()f xf x+=对任意的实数x恒成立，即(1)xxaa+=，而

13、0 xa，因此1a=，令()1ga=+，则()0g=有正数解，()ln1gaa=+为单增函数，故若(0)0g，则()0g，从而()g单增，又(0)0,g=故()0g=不可能有有正数解.反之，若(0)0g上先单减后单增，故()0g=必有正数解.从而1a=有正数解等价于(0)0g，故ln10a+，解得10ae，所以()sinxfxeax=，依题意()fx在(0,)+上有两个变号零点，令()()sinxg xfxeax=，(0,)x+，又0a 故i1s nxaxe=有两个变号零点，求导得2sin()cossin4()sinxxxxxxexee=，故函数sinxxe在(0,)4上单增，5(,)44上单

14、减，59(,)44上单增，画出函数cosxxe的草图后，可判断出若在(0,)x+两个变号零点，必有9449sinsin144,)aee,从而a的取值范围是9442e,2e(.四、解答题：四、解答题：15（1）根据农户近 5 年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：()11234535x=+=，()15961646873655y=+=，设2tx=，则2ybxabta=+=+，所以()22222112345115t=+=，则()()()515212170.6374iiiiittyybtt=，650.6 1158.4aybt=所以，回归方程为20.658.4yx=+（2）将x值代入可得估计值分别为

15、59，60.8，63.8，68，73.4，第 4 页，共 7 页 则残差平方和为()()()()()22222595961 60.86463.8686873 73.40.24+=因为0.240.5，所以回归方程20.658.4yx=+拟合效果符合要求 16（1）点 E 在AB上且AB为直径，AEBE，又平面ABCD 平面ABE，平面ABCD平面ABEAB=，ADAB且AD 平面ABCD，AD平面ABE，BE 平面ABE，ADBE，又,DAAEA DA AE=平面ADE，故BE 平面ADE.（2）当四棱锥EABCD体积最大时，E是AB的中点，此时AEBE=，OEAB，取CD中点F，连接OF，则/

16、OF AD，即OF 平面ABE，又OEAB，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OF所在直线为x轴，y轴及z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)OABCE，()0,2,1AC=，()1,1,0AE=，设平面ACE的一个法向量为(,)nx y z=，则200n ACyzn AExy=+=+=，取1x=，可得(1,1,2)n=，平面ADE的一个法向量为(1,1,0)BE=，设平面ACE与平面ADE所成夹角为，则|23cos3|62n BEnBE=，故平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值为33.17（1）解法一：设 na的公

17、差为()0d d，由21nnaa=+，得2211nnaa+=+，则 得()2221nnnnaaaa+=，即2dd=，又0d，则2=；解法二：设 na的公差为()0d d，因为21nnaa=+，所以()()112111andand+=+对*n N恒成立，即()()()12110dnad+=对*n N恒成立，所以()()()120110dad=+=，又0d，则2=；（2）由424SS=得()11464 2adad+=+，即12ad=，所以()11112naanda na=+=，又221nnaa=+即()111142 21a naa na=+，则11a=，因此21nan=，则111111(21)(2

18、1)2 2121kka akkkk+=+=(-)，故 第 5 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司()()1 2231111111111111111.1 33 521212321212212nna aa aa annnnn+=+=+=，10 x+，则0a 时，当()0,1x，()fx0，()yf x=单增；当()1,x+，()fx0，()yf x=单减；01a时，当()0,xa，()fx0，()yf x=单增；当()1,x+，()fx0时，当()0,1x，()fx0，()yf x=单调递增；当(),xa+，()fx0，()yf x=单调递减.综上所述：当0a，()f x的单调增区间为()

19、0,1，单调减区间为()1,+；当01a，()f x的单调减区间为()()0,1,a+，单调增区间为()1,a.（3）若对任意()1,x+，都有()ln2 1f x，则()f x在()1,+上的最大值()maxln2 1f x；由（2）可知，当1a，()f x在()1,a单调递增，在(),a+单调递减，故()()22max1112lnln2122f xf aa aaaaaaa=+=+；令()21ln21,12m xxxxx=+，则()m x112220 xxxx=+=，故()ym x=在()1,+单调递增，又()2ln224 1ln2 1m=+=，故当2a=时，()2max1ln21ln2 1

20、2f xaaa=+=，也即当2a=时，对任意()1,x+，都有()ln2 1f x.故a的最大值为2.第 6 页，共 7 页 19（1）联立方程00221414xxy yxy+=+=()000,2xx，得22002200011104162xxxxyyy+=，2222000042240000441141044164xxxyyyyy+=+=，0014xxy y+=与椭圆 C 只有一个交点，是切线；若00 x=，01y=，切线方程为1y=，也满足0014xxy y+=，若002,0 xy=，切线方程为2x=，也满足0014xxy y+=，综上，0014xxy y+=是椭圆 C 在()00,P xy处

21、的切线方程；（2）解法一：依题意作下图：设圆 O 的切点为()00,P xy，则其切线方程为001x xy y+=()000,1xx ，设()()()1122,MMA x yB xyM xy，联立方程：0022114x xy yxy+=+=，得2200222000211104xxxxyyy+=，01222008,4xxxxy+=+2012220044xx xxy=+，()012210 xyyxxy=，在 A 点的椭圆 C 的切线方程为1114xxy y+=，在 B 点的椭圆 C 的切线方程为2214xxy y+=，联立方程11221414xxy yxxy y+=+=，得()()121204xx

22、xyyy+=，00120,1,0 xxxx ，得004yyxx=，代入00101010104,MMxyxyx xy yx xy y=+，因为()11,A x y 点在切线001x xy y+=上，所以10101x xy y+=，得004,MMxxyy=，使用水平底铅垂高计算ABM的面积，铅垂高为()021120 xxxyyy=，又()()()22220012121222048431x yxxxxx xx=+=+，从而0021204 331x yxxx=+，即2012204 331xyyx=+，320012022004 311|3|6 3223131ABMxxSPMyyxxx=+，点 P 在圆

23、O 上，01,1x ，由题意，00 x ，第 7 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 设函数()()()()()2232223101,03131xxxf xxfxxx+=+，()()3020,31ff=，3 30,2ABMS；当01x=时，切线方程为1x=，代入椭圆 C 的方程得32y=，123yy=，()13 34 1322ABMS=，同理01x=时，3 32ABMS=.综上ABMS 取值范围是3 3(0,2 解法二：设直线:AB xtym，因为 AB 与曲线 O 相切，则有 2|11mt，即2211mt 设112200(,),(,),(,)A x yB xyM xy，将xtym代入

24、椭圆方程得：222(4)240tytmym，22222244(4)(4)16(4)48t mtmtm，则22221212224 31|1()4144tABtyyy yttt 由（1）的结论，过点 A 的切线为1114x xy y，过点 B 的切线为2214x xy y，而两条切线交于点 P，则101020201,41,4x xy yx xy y 所以 A,B 的坐标满足直线0014x xy y，即直线 AB 方程 易知00 x，则00044yxyxx，故有0004,4,ytxmx即004,.xmtym 则点 P 到直线 AB 的距离2224|31|1tmmmdtmt，所以2216 36 33 3|2|(4)|(3)2MABSAB dmtmm，当|m 时，0MABS，故ABMS 取值范围是3 3(0,2