2024届高考数学专项练习压轴题型10 圆锥曲线常见经典压轴小题.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司 压轴题型压轴题型 10 圆锥曲线常见经典压轴小题圆锥曲线常见经典压轴小题 命题预测 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题多以选择、填空题的形式考查，难度中等 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养 高频考法（1）阿波罗尼斯圆、蒙日圆（2）离心率（3）焦半径问题（4）切线、切点弦问题（5）焦点三角形问题01 阿波罗尼斯圆、蒙日圆阿波罗尼斯圆、蒙日圆 1、在平面上给

2、定两点 A，B，设P点在同一平面上且满足PAPB=，当0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（1=时P点的轨迹是线段 AB 的中垂线）2、在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆【典例【典例 1-1】（2024全国模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点A和B距离比值为不等于 1 的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆，该圆被称为点A和B相关的阿氏圆 已知P在点A和B相关的阿氏圆22:4O xy+=上，其中点()4,0A，点Q在圆()()22:331Mxy+=上

3、，则12PQPA+的最小值为（）A3 21 B3 21+C4 D6 2024届高考数学专项练习 学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】方法一：因为圆22:4O xy+=的圆心为()0,0O，点()4,0A，由阿氏圆定义知，点B在x轴上，设(),0B t，圆22:4O xy+=与x轴的交点()12,0P，()22,0P，则由阿氏圆定义知1212PBP BPAP A=，即2226tt+=，解得1t=或4t=（舍），故()1,0B，且12PBPA=，即12PAPB=，故15 142MMPQPAPQPBPBPMrMBr+=+=，当且仅当B，P，Q，M四点共线时，12PQPA+取最小值 4，故选：

4、C 方法二：设()00,P xy，则22004xy+=，故22004yx=，故()()222200000444152244xyxxPAx+=+()()222200000211xyxxy=+=+，即()1,0B，则12PAPB=，故15 142MMPQPAPQPBPBPMrMBr+=+=，当且仅当B，P，Q，M四点共线时，12PQPA+取最小值 4.故选：C 【典例【典例 1-2】（2024四川成都模拟预测）已知平面上两定点 A，B，则所有满足PAPB=（0且1）的点 P 的轨迹是一个圆心在直线 AB 上，半径为21AB的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发 学科网（北京）股份有限公司 现

5、，故称作阿氏圆.已知动点 P 在棱长为 6 的正方体1111ABCDABC D的一个侧面11ABB A上运动，且满足2PAPB=，则点 P 的轨迹长度为（）A83 B43 C3 D152【答案】B【解析】在图 1 中，以 B 为原点建立平面直角坐标系xBy，如图 2 所示，设阿氏圆圆心为(),0O a，半径为 r.因为2PAPB=，所以2PAPB=，所以222641 23rAB=.设圆 O与 AB 交于点 M.由阿氏圆性质，知2MAMB=.又44MBBOa=，所以282MAMBa=.又6MAMB+=，所以8246aa+=，解得2a=，所以()2,0O，所以点 P 在空间内的轨迹为以 O为球心，

6、半径为 4 的球.当点 P 在侧面11ABB A内部时，如图 2 所示，截面圆与AB，1BB分别交于点 M，R，所以点 P 在侧面11ABB A内的轨迹为MR.因为在RtRBO中，4RO=，2BO=，所以3ROB=，所以4433MR=，所以点 P 在侧面11ABB A内部的轨迹长为43.故选：B.【变式【变式 1-1】（2024高三重庆阶段练习）法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆 学科网（北京）股份有限公司 2222:1(0)xyCabab+=的蒙日圆方程为2222xyab+=+，现有椭圆222

7、:1(4)16xyCaa+=的蒙日圆上一个动点M，过点 M作椭圆 C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 P、Q两点，若MPQ面积的最大值为 34，则 a 的值为（）A3 2 B8 2 C6 2 D4 2【答案】A【解析】由题意可知椭圆C的蒙日圆的半径为22216aba+=+，因为MPMQ，所以PQ为蒙日圆的直径，所以2216PQa=+，所以2222|4(16)MPMQPQa+=+，因为222|2(16)2MPMQMPMQa+=+，当且仅当2216MPMQa=+时，等号成立，所以MPQ面积的最大值为26121MPMQa=+，由MPQ面积的最大值为 34，所以23416a+=，则3 2a=，故选：A

8、.【变式【变式 1-2】（2024高三安徽期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和如图所示为稀圆()2222:10 xyEabab+=及其蒙日圆O，点,P C D均为蒙日圆与坐标轴的交点，,PC PD分别与E相切于点,A B，若PAB与PCD的面积比为4:9，则E的离心率为（）A24 B12 C22 D32【答案】C【解析】由题知，蒙日圆O为2222xyab+=+，设2222(0,),(,0)PabDab+，学科网（北京）股份有限公司 则直线PD的方程为22yxab=+，由22222

9、21xyabyxab+=+，消y得到2222224()20abxaab xa+=，显然有2222224(2)4()0aabab a=+=，解得222Baxab=+，又PAB与PCD的面积比为4:9，所以23ABCD=，又222CDab=+，22222BaABxab=+，所以222222222232aaababab+=+，得到222ab=，所以22121122cbeaa=，故选：C.02 离心率离心率 解决离心率问题常用方法：定义法、几何法和坐标法.【典例【典例 2-1】（2024高二北京东城期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，若椭圆C上恰好有6个不同

10、的点P，使得12FF P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A1 2,3 3 B1,12 C1 22,13 33 D1 11,13 22【答案】D【解析】如下图所示：学科网（北京）股份有限公司 （1）当点P与椭圆短轴的顶点重合时，12PFF是以12FF为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰12PFF；（2）当12PFF构成以12FF为一腰的等腰三角形时，以2F P为底边为例，则112PFFF=或212PFFF=，此时点P在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P，使得12PFF是以12FF为一腰的等腰三角形，不妨设点(),P x y在第一象限，则22222b

11、ybxa=，其中0 xa，则()2222222222122222bccPFxcyxcxcbxxcxaxacaaa=+=+=+=+=，或()2222222222222222bccPFxcyxcxcbxxcxaaxcaaa=+=+=+=，由2cxaca+=可得22acaxc=，所以，220acaac，解得112cea=，由2caxca=可得22aacxc=，所以，220aacac，解得1132cea=，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是1 11,13 22.故选：D.【典例【典例 2-2】（2024高三河北邢台期末）在椭圆22221xyab+=（0ab）中，1F，2F分别是左，右焦点，P为椭圆上

12、一点（非顶点），I为12PFF内切圆圆心，若1 21 213IF FPF FSS=，则椭圆的离心率e为（）A13 B12 C33 D32【答案】B【解析】椭圆22221xyab+=（0ab）中，1F，2F分别是左，右焦点，P为椭圆上一点（非顶点），I为12PFF内切圆圆心，设12PFF的内切圆半径为r，学科网（北京）股份有限公司 则()()1 2121212PF FSrPFPFFFac r=+=+，1 21212IF FSFF rcr=，由1 21 213IF FPF FScSac=+，得3acc+=，即2ac=，椭圆的离心率为12cea=.故选：B.【变式【变式 2-1】（2024黑龙江双鸭

13、山模拟预测）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,F F，点 M，N在C上，12133,MFNF=1123MFFN=，则C的离心率为 .【答案】175【解析】设12FNm=，由1123MFFN=，得13FMm=，又12133MFNF=，所以2NF13m=，由椭圆的定义知121MFMFNF+=2213152NFmmma+=+=，所以2MF=12m，则22222|NFMNMF=+，所以1290FMF=，所以222(3)(12)(2)mmc+=，即224153cm=，故22222415317422525cmeam=，所以e175=.故答案为：175【变式【变式 2

14、-2】（2024山东一模）如图，在ABC中，已知120BAC=，其内切圆与 AC 边相切于点 D，且1AD=，延长 BA 到 E，使BEBC=，连接 CE，设以 E，C 为焦点且经过点 A 的椭圆的离心率为1e，以 E，C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为2e，则1 2ee的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 【答案】()1,+【解析】如图以CE的中点C为原点直角坐标系，设,M G分别是,BC BE与圆的切点，由圆的切线性质得1AGAD=，设()1CDCMGEm m=，所以1ACm=+，1AEGEAGm=，在ACE中，22222cos603CECAAECA EAm=+=+，以,E C

15、为焦点经过点A的双曲线的离心率为2232me+=，以,E C为焦点经过点A的椭圆的离心率为2132mem+=，则21 233444mmmmee+=+，在ABC中，设BMn=，所以,1BCmn ABn=+=+，1ACm=+，由余弦定理可得2222cos120BCABACAB AC=+，所以333mnmn=+，所以3303mnm+=，得3m，由对勾函数的单调性可得函数344xyx=+在()3,+上单调递增，所以1 233314444 3mmee=+=.故答案为：()1,+.03 焦半径问题焦半径问题 学科网（北京）股份有限公司 1、椭圆焦半径椭圆焦半径 椭圆（()00,P xy为椭圆上任意一点）方

16、程 22221(0)xyabab+=22221(0)yxabab+=焦点 1F为左焦点，2F为右焦点 1F为下焦点，2F为上焦点 焦半径 10PFaex=+，20PFaex=10PFaey=+，20PFaey=记忆口诀 左加右减 下加上减 2、双曲线焦半径双曲线焦半径 双曲线（()00,P xy为双曲线上任意一点）方程 22221(0,0)xyabab=22221(0,0)yxabab=焦点 1F为左焦点，2F为右焦点 1F为下焦点，2F为上焦点 焦半径 10=+PFeax，20=PFeax 10=+PFeay，20=PFeay 记忆口诀 左加右减 下加上减 3、抛物线焦半径抛物线焦半径 抛物

17、线的焦半径公式，根据定义理解和记忆即可，即：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离 抛物线 22(0)ypx p=22(0)ypx p=22(0)xpy p=22(0)xpy p=焦半径 02pPFx=+02pPFx=02pPFy=+02pPFy=记忆口诀 左准线，左加 右准线，右减 下准线，下加 上准线，上减 yxF2F1O 学科网（北京）股份有限公司【典例【典例 3-1】（2024河南焦作模拟预测）已知直线1yx=交曲线2:4C yx=于A，B两点（点A在点B的上方），F为C的焦点，则|ABAFBF=（）A2 3 B2 2 C2 D2【答案】D【解析】联立方程组214yxyx=，消元

18、得2610 xx+=，设()11,A x y，()22,B xy，解得13x=+2 2，232 2x=，易知(1,0)F过直线AB，根据抛物线的定义，可得1|42 22pAFx=+=+，|BF=242 22px+=，所以|2|ABAFBFAFBFAFBF+=.故选：D.【典例【典例 3-2】（2024四川南充二模）已知椭圆22:143xyC+=的左右焦点分别为12,F F过点1F倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A在x轴的上方），则下列说法中正确的有（）个 132cosAF=+111143AFBF+=若点M与点B关于x轴对称，则1AMF的面积为9sin27cos2 当3=时，2ABF内

19、切圆的面积为1225 A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】在12AF F中，由余弦定理22211211222cosAFFFAFFFAF+=，即()22211144cos2AFcc AFaAF+=，整理得21cosbAFac=，同理可得21cosbBFac=+，所以2112222cosabABAFBFac=+=，2221111coscos2acacaAFBFbbb+=+=，学科网（北京）股份有限公司 对于椭圆22:143xyC+=，则2a=、3b=、1c=，所以132cosAF=，132cosBF=+，故错误；21111243aAFBFb+=，故正确；所以22222212cos4cosabA

20、Bac=，11AMFABMAFSSAB=，又11sincos2ABMABSBM xxBFAB=2312cossin2cos4cos=+2312sincos2cos4cos=+36sin21 cos22cos42=+312sin22cos7cos2=+，又1232cos2cos1244cosAFAB+=，所以12cos312sin29sin242cos7cos27cos2AMFS+=+，故错误；当3=时，直线l的方程为313xy=，由22313143xyxy=+=，消去x整理得252 390yy=，显然0，所以2 35AByy+=，95ABy y=，学科网（北京）股份有限公司 又12AF=，16

21、5BF=，则2122AFaAF=，211425BFaBF=，设2ABF内切圆的半径为r，则()212221122ABFABSFFyyr ABAFBF=+，所以22 3961424225555r+=+，解得2 35r=，所以2ABF内切圆的面积222 312525Sr=，故正确；故选：B【变式【变式 3-1】（2024高二全国课后作业）过椭圆()222210 xyabab+=的一个焦点F作弦AB，若1AFd=，2BFd=，则1211dd+的数值为（）A22ba B22ab C2aba+D与弦AB斜率有关【答案】B【解析】令(),0F c，设11(,)A x y，22(,)B xy，当直线AB的斜

22、率不存在时，直线AB的方程为xc=，由22221xcxyab=+=，解得2bya=，则212bdda=，所以212112addb+=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为()yk xc=，由2222()1yk xcxyab=+=，整理得：22222222222()20a kbxa k cxa k ca b+=，所以22122222a k cxxa kb+=+，2222212222a k ca bx xa kb=+，又11daex=，22daex=，所以()()()211212211ae xxddaexaex+=()2222222221122222ca k caaa a kbcbac xx

23、x xa+=+，学科网（北京）股份有限公司 综上，212112addb+=.故选：B.【变式【变式3-2】（2024高三北京海淀阶段练习）已知抛物线C：24yx=的焦点为F，A，B两点在C上，2AF=，5BF=，则直线AB斜率的最小值和最大值分别是（）A23，23 B23，2 C2，23 D2，2【答案】D【解析】由题意知()1,0F，设()11,A x y，()22,B xy，则由2AF=，得112x+=，得11x=，代入 C：24yx=，得12y=，所以()1,2A或()1,2A；由5BF=，得215x+=，得24x=，代入 C：24yx=，得24y，所以()4,4B或()4,4B；所以直

24、线AB斜率有422 4242422,2,2,4 13 4 14 14 13+=四种情况，则直线AB斜率的最小值为2，最大值为2.故选：D.04 切线、切点弦问题切线、切点弦问题 1、点()00 M xy，在圆222xyr+=上，过点M作圆的切线方程为200 x xy yr+=2、点()00 M xy，在圆222xyr+=外，过点M作圆的两条切线，切点分别为 AB，则切点弦AB的直线方程为200 x xy yr+=学科网（北京）股份有限公司 3、点()00 M xy，在圆222xyr+=内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过 AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200 x x

25、y yr+=4、点()00 M xy，在 圆222()()xaybr+=上，过 点M作 圆 的 切 线 方 程 为()()200()()xaxaybybr+=5、点()00 M xy，在圆222()()xaybr+=外，过点M作圆的两条切线，切点分别为 AB，则切点弦AB的直线方程为()()200()()xaxaybybr+=6、点()00 M xy，在圆222()()xaybr+=内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过 AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为()()200()()xaxaybybr+=7、点()00 M xy，在椭圆2222xyab+=1(0)ab上，过点M作椭

26、圆的切线方程为00221x xy yab+=8、点()00 M xy，在椭圆2222xyab+=1(0)ab外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为 AB，则切点弦AB的直线方程为00221x xy yab+=9、点()00 M xy，在椭圆2222xyab+=1(0)ab内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过 AB，作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线02x xa+021y yb=10、点()00 M xy，在双曲线2222xyab=1(0 0)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221x xy yab=11、点()00 M xy，在双曲线22xa221(0 0)ya

27、bb=，外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为 AB，则切点弦AB的直线方程为00221x xy yab=12、点()00 M xy，在双曲线22xa221(0 0)yabb=，内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过 AB，作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00221x xy yab=13、点()00 M xy，在抛物线2y=2(0)px p 上，过点M作抛物线的切线方程为()00y yp xx=+14、点()00 M xy，在抛物线2y=2(0)px p 外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为 AB，则切点弦AB的直线方程为()00y yp xx=+学科网（

28、北京）股份有限公司 15、点()00 M xy，在抛物线2y=2(0)px p 内，过点M作抛物线的弦AB，分别过 AB，作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线()00y yp xx=+【典例【典例 4-1】（2024河北沧州一模）已知点P为抛物线28xy=上一点，过点P作圆22:(5)1C xy+=的两条切线，切点分别为 M，N，则cosMPN的最小值为（）A32 B23 C910 D1112【答案】D【解析】因为2MPNMPC=，|1sin|MCMPCPCPC=，设2,8tP t，则()224222221|525824864464tttPCtt=+=+=+当28t=时，min|

29、2 6PC=，此时MPN最大，cosMPN最小，且()22min111cos1 2sin1 2122 6MPNMPC=.故选：D.【典例【典例 4-2】（2024高三河南阶段练习）已知点 M 在曲线 4yx=上，过 M 作圆():3?1Cxy+=的切线，切点分别为 A，B，则四边形 MACB 的面积的最小值为（）A2 2 B7 C3 D9【答案】B 学科网（北京）股份有限公司【解析】如图，设点(,)M x y，连接MC，四边形 MACB的面积为2122|1|12MACSSMAMAMC=，而22|(3)MCxy=+，又点(,)M x y在曲线 4yx=上，则有22|(3)4(1)8MCxxx=+

30、=+，依题意，0 x，故当且仅当1x=时，min|2 2MC=，此时四边形 MACB的面积取得最小值2(2 2)17=.故选:B.【变式【变式 4-1】（2024山东模拟预测）已知抛物线C：24xy=，过直线l：24xy+=上的动点P可作C的两条切线，记切点为,A B，则直线AB（）A斜率为 2 B斜率为2 C恒过点()0,2 D恒过点()1,2 【答案】D【解析】设()()1122,A x yB xy，则2114xy=，2224xy=，由于12yx=，故过点()11,A x y的切线方程为()11112yyxxx=，即2111111112222yyx xxx xy=，即1112yyx x+=

31、，同理可得过点B的切线方程为2212yyx x+=，设()42,Pn n，过点()()1122,A x yB xy的两切线交于点()42,Pn n，故()111422nyxn+=，整理得()112ynn x+=，同理()221422nyxn+=，整理得()222ynn x+=，故直线AB的方程为()2ynn x+=，斜率不为定值，AB 错误，当=1x时，=2y，恒过点()1,2，C 错误，D 正确.故选：D【变式【变式 4-2】（2024高三全国专题练习）已知抛物线2:8xy=的焦点为 F，直线 l与抛物线在第一象限 学科网（北京）股份有限公司 相切于点 P，并且与直线=2y和 x 轴分别相交

32、于 A，B 两点，直线 PF 与抛物线的另一个交点为 Q过点B 作/BCAF交 PF 于点 C，若PCQF=，则PF等于（）附加结论：抛物线上两个不同的点 A，B 的坐标分别为()11,A x y，()22,B xy，以 A，B 为切点的切线 PA，PB相交于点 P，我们称弦 AB 为阿基米德PAB的底边 定理：点 P 的坐标为1212,22xxx xp+；推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点()()0,0Cmm，则另一顶点P的轨迹方程为ym=.A51 B25+C35+D55+【答案】C【解析】因为直线 PQ过抛物线的焦点()0,2F，由推论可知以 PQ为底边的阿基米德三角形的另

33、一个顶点 P 的轨迹方程为=2y，又因为切线 PA 与直线=2y相交于点 A，故APQ为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切 如图，设点 P，Q在直线=2y（抛物线的准线）上的射影分别为P，Q，连接PP，QQ，PP与 x 轴相交于点 D 由BCAF可得PCPBPDPFPAPP=学科网（北京）股份有限公司 因为PCQFQQ=，则QQPDPFPP=又因为PFPP=，所以QQPD=设()11,P x y，()22,Q xy，则有212yy+=由定理可得1228x x=，得2221216x x=，即2128816yy=，故124y y 联立两式，解得151y=+，251y=，故1253PFy=+

34、=+故选：C 05 焦点三角形问题焦点三角形问题 1、椭圆焦点三角形的常用性质（1）椭圆焦点三角形的周长22Cac=+（2）焦点三角形的面积122tan2PF FbS=2、双曲线焦点三角形的常用性质（1）过双曲线焦点2F的弦PQ的长为t，则三角形1PQF的周长42Cat=+（2）焦点三角形的面积122tan2PF FbS=（3）双曲线焦点三角形的内切圆与12FF相切于实轴的顶点上，且点P在双曲线的左支时，切点为左顶点；当点P在双曲线的右支时，切点在右顶点【典例【典例 5-1】（2024青海模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线 C：()222210,0 xyabab=的左、右焦点，122F Fc

35、=，点 P 在 C的右支上，且12PFF的周长为6c，则1PF=（）A3ca B3ca+C2 ca D2ca+【答案】D【解析】由双曲线定义可知：122PFPFa=，学科网（北京）股份有限公司 则三角形12PFF的周长为121211226FFPFPFcPFPFac+=+=，故12PFca=+.故选：D.【典例【典例 5-2】（2024辽宁二模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=与抛物线2:2(0)C ypx p=在第一象限的公共点为 A，椭圆的左、右焦点分别为12,F F，其中右焦点与抛物线的焦点重合，已知1230AFF=，则21cosAF F=（）A33 B63 C22 D66【答

36、案】B【解析】如图，依题可知，抛物线的准线方程为xc=，过点A作AA垂直xc=交于点A，作AMx轴，交于点M,则1230A AFAFF=，设12AFn=，则1,3A Fn A An=，则12,3AMA Fn AFAAn=，13FMn=，22222MFAFAMn=，所以221226cos33MFnAF FAFn=，故选：B.【变式【变式 5-1】（多选题）】（多选题）（2024山东济南一模）已知椭圆C：223448xy+=的两个焦点分别为1F，2F，P是 C 上任意一点，则（）学科网（北京）股份有限公司 AC的离心率为32 B12PFF的周长为 12 C1PF的最小值为 3 D12PFPF的最大

37、值为 16【答案】BD【解析】由椭圆22:3448,Cxy+=得221,1612xy+=则4,2 3,2,abc=所以12cea=，故 A 错误;易知12PFF的周长为121228412FcFPFPFa+=+=+=故 B 正确；当P在椭圆长轴的一个端点时，1PF取得最小值，最小值为422ac=，故 C 错误；由基本不等式得122122PFPFPFPF+()=，当且仅当12PFPF=时取等，则12PFPF取得最大值 16，故 D 正确.故选：BD.【变式【变式 5-2】（多选题）】（多选题）（2024江苏南通二模）已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的左，右焦点分别为1F，2F，上，下两

38、个顶点分别为1B，2B，11B F的延长线交C于A，且11112AFB F=，则（）A椭圆C的离心率为33 B直线1AB的斜率为3 C12AB F为等腰三角形 D21:11:3 3ABAB=【答案】ACD【解析】对于 A，连接12B F，2AF，()()()112,0,0,0,FcBbBb，12BFaBF=，11112AFB F=，1113,22AFa ABa=，学科网（北京）股份有限公司 122AFAFa+=，23,2AFa=在12B AF中，2222199144cos3322aaaAB Faa+=，故有21112cos13FBO=，解得116cos3FBO=，则113sin3FBO=，而在

39、12BOF中，113sin3cFBOa=，33cea=，故 A 正确，对于 B，而1B A的倾斜角为11B FO，而111163sin,cos33B FOB FO=，则111111sintan2cosB FOkB FOB FO=，故 B 错误.对于 C，由已知得1232ABAFa=，12AB F是等腰三角形，故 C 正确，对于 D，因为33ca=，则3ac=，故222bacc=，易知1AB的方程为222yxbxc=+=+，设(),A x y，联立方程组222222132yxcxycc=+=，解得02xyc=或3222xcyc=，故32,22Acc，又()0,Bb，即()0,2Bc，由两点距离公

40、式得22232112222ABcccc=+=，而133 322ABac=，21111123 33 32cABABc=，故 D 正确.故选：ACD.1已知1(,0)Fc，2(,0)F c分别是双曲线 C：22221(0,0)xyabab=的左、右焦点，过1F的直线与圆2221()2xcyc+=相切，与 C 在第一象限交于点 P，且2PFx轴，则 C 的离心率为（）A3 B2 5 C2 D5【答案】D 学科网（北京）股份有限公司【解析】设圆心为M，直线与圆相切于点N，则113,22NMc FMccc=+=故221152FNFMNMc=，由于2PFx，所以Pxc=，故222221PPycbyaba=

41、，因此在12RtPFF，由221212tan252bPFcaPFFFFcc=，故2540bac=，即222545054505cacaeee=.故选：D 2 已知1,0A，()0,1B，动点P满足2PAPB=若直线2yx=+与点P的轨迹交于M，N两点，则MN为（）A2 2 B14 C2 3 D3 2【答案】B【解析】设动点(),P x y由2PAPB=，得()()2222121xyxy+=+整理，得()()22124xy+=，则点P的轨迹是以点()1,2C 为圆心，2 为半径的圆 设圆心C到直线2yx=+，即直线20 xy+=的距离为d，则221 221211d+=+，所以22122142MN=

42、故选：B 3已知1F，2F分别是双曲线()2222:10,0 xyEabab=的左、右焦点若双曲线右支上存在一点P，使122152PFPFPFPF+，则双曲线E的离心率的取值范围为（）学科网（北京）股份有限公司 A()1,5 B()1,3 C()5,+D()3,+【答案】B【解析】依题意可得()121PFk PFk=，代入122152PFPFPFPF+并整理，得22520kk+，解得2k，所以122PFPF，即2222PFaPF+，所以22aPF 因为双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca，所以要满足双曲线右支上存在一点P，使122152PFPFPFPF+，则2min2aPFca=，即3ca，

43、所以13e，所以双曲线E的离心率的取值范围为()1,3 故选：B 4已知平面上两定点,A B，则所有满足(0PAPB=且1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为21AB的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为 6 的正方体1111ABCDABC D表面上的动点P满足2PAPB=，则点P的轨迹长度为（）A81532+B433+C833+D41532+【答案】C【解析】在图 1 中，以B为原点建立平面直角坐标系xBy如图 2 所示，设阿氏圆圆心为(),0O a，半径为r.因为2PAPB=，所以2PAPB=，所以222641 23rAB=.设圆O与AB交于点M.

44、由阿氏圆性质，知2MAMB=.又44MBBOa=，所以282MAMBa=.又6MAMB+=，所以8246aa+=，解得2a=，所以()2,0O，所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为 4 的球.学科网（北京）股份有限公司 当点P在面11ABB A内部时，如图 2 所示，截面圆与1,AB BB分别交于点,M R，所以点P在面11ABB A内的轨迹为MR.因为在 RtRBO中，4,2ROBO=，所以3ROB=，所以4433MR=，所以点P在面11ABB A内部的轨迹长为43.同理，点P在面ABCD内部的轨迹长为43.当点P在面11BCC B内部时，如图 3 所示，因为OB 平面11BCC B，

45、所以平面11BCC B截球所得小圆是以B为圆心，以BP长为半径的圆，截面圆与1,BB BC分别交于点,R Q，且2222422 3BPOPOB=，所以点P在面11BCC B内的轨迹为RQ，且2 332RQ=.综上，点P的轨迹长度为44833333+=+.故选：C 5椭圆()222210,0,xyababab+=任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222xyab+=+，这个圆称为椭圆的蒙日圆在圆()()()222430 xyrr+=上总存在点P，使得过点P能作椭圆2213yx+=的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）A1,7 B1,9 C3,7 D3,9【答案】C【解析】根据题意可知椭圆

46、2213yx+=的蒙日圆方程为224xy+=，圆心为原点，半径为2，圆()()()222430 xyrr+=的圆心为()4,3，半径为r，则圆()()()222430 xyrr+=与224xy+=必有交点才符合题意，即两圆圆心距()()2240305d=+=，则223,7rdrr+.学科网（北京）股份有限公司 故选：C 6加斯帕尔-蒙日是 1819 世纪法国著名的几何学家如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”若长方形G的四边均与椭圆22:164xyM+=相切，则下列说法错误的是（）A椭圆M的离心率为33 B椭圆

47、M的蒙日圆方程为2210 xy+=C若G为正方形，则G的边长为2 5 D长方形G的面积的最大值为 18【答案】D【解析】由椭圆方程知6a=，2b=，则642c=，离心率为2336e=，A 正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2 6和 4，其对角线长为24 162 10+=，因此蒙日圆半径为10，圆方程为2210 xy+=，B 正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402mnmn+=，即20mn，当且仅当mn=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是 20，此时该长方形G为正方形，边长为2 5，C 正确，D 错误 故选：D 7已知动点 P 在双曲线 C：2213yx=上，双

48、曲线 C 的左、右焦点分别为1F，2F，则下列结论：C 的离心率为 2；C 的焦点弦最短为 6；学科网（北京）股份有限公司 动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值；当动点 P 在双曲线 C 的左支上时，122PFPF的最大值为14 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【解析】由题意可得421e=，即正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为 26，即错误；易知双曲线的渐近线方程为3yx=，设点()00,Pxy，则220033xy=，且到两条双曲线的距离之积为2200000033332244xyxyxy+=是定值，故正确；对于，先推下双曲线的焦

49、半径公式：对双曲线22221xyab=上任意一点()00,Pxy及双曲线的左右焦点()()12,0,0FcFc、，则()()22222222010000002212xcPFxcyxcbxcxaaexaa=+=+=+=+，同理20PFaex=，所以1020,PFaexPFaex=+=，此即为双曲线的焦半径公式.设点()00,Pxy()01x ，由双曲线的焦半径公式可得10020121 2,1 2PFxxPFx=+=，故()21022000212112121212PFxxxxPF+=，其中01 23x，则0110,1 23x，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当0111 24x=，即01.

50、5x=时取得，故错误；综上正确的是两个.故选：B 8已知抛物线23yx=，动点 A，B 在抛物线上且|4AB=，线段 AB 所在直线与 x 轴交于点 Q，|(0)AQQB=，若 AB 的中点为 P，则点 P 到 y 轴的距离取得最小值时，的值为（）学科网（北京）股份有限公司 A3 B3 C3或33 D3 或13【答案】D【解析】设抛物线的焦点为 F，连接 AF，BF，分别过 A，B，P 作抛物线准线34x=的垂线，垂足分别为1A，1B，1P，则11122AABBAFBFPP+=因为|4AFBFAB+=，所以122ABPP=，当且仅当 A，F，B 三点共线时取等号，此时点 Q与点 F 重合，且点