2024年初三下册数学专项二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）含答案.doc

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1、2024年初三下册数学专项二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c(a0)的图象与性质知识讲解（基础） 【学习目标】1理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2会用描点法画出二次函数y=ax2(a0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3. 掌握二次函数y=ax2(a0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax

2、2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （a0）；（a0）；（a0）；（a0），其中；（a0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的

3、二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax2（a0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a0)的图象的画法用描点法画二次函数y=

4、ax2（a0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点诠释：二次函数y=ax2(a0)的图象用描点法画二次函数y=ax2(a0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴y=ax2(a0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a0)的图象画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a0)的图象的性质二次函数y=ax2（a0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值

5、 y=ax2 a0 向上 （0，0） y轴 x0时，y随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a0时，y随x增大而减小； x0 向上 （0，0） y轴 x0时，y随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图象两

6、边越靠近x轴.要点三、二次函数y=ax2+c(a0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a0)的图象（1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c0）【或向下（c0）】平移c个单

7、位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c) 抛物线yax2(a0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已【典型例题】类型一、二次函数的概念1. (1)当m_时，函数是二次函数? (2)当m_时，函数是一次函数?【答案】 (1) ； (2)0或-1或.【解析】 (1)依题意有 解之得， 故当时，函数是二次函数 (2)若原函数是一次函数，则是一次项或常数项，从而可分

8、三种情况考虑 解得 即 m+10，即m-1 2m+10，即【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m的值(1)题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏举一反三：【变式】（2014长沙县校级模拟）若是关于x的二次函数，则a= 【答案】-1；提示：根据题意得：3a21=2；解得a=1；又因a10；即a1；a=1 类型二、二次函数y=ax2（a0）的图象及性质2. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若

9、A0B1A1，A1B2A2，A2B3A3，A2012B2013A2013都为等边三角形，求A2012B2013A2013的边长 【答案与解析】如图所示，作B1C1y轴，垂足为C1 A0A1B1为等边三角形， A0B1C130 设A0C1a，则A0B12a，B1C1 B1(，)， ， ， 作B2C2y轴，设A1C2m，则A1B22m，C2B2m， 又 2m2-m-10，(2m+1)(m-1)0， m1或(舍) A1B22同理可求A2B33，A3B44， A2012B2013A2013的边长为2013【总结升华】分别在A0A1B1，A1A2B2，A2A3B3，中，运用勾股定理分别表示出B1、B2、

10、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式，分别求出A0A1B1，A1A2B2，A2A3B3的边长，然后探究规律，求出A2012A2013B2013的边长类型三、二次函数y=ax2+c(a0)的图象及性质3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m求灯与点B的距离 【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a0），点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，0=a（-4）2+6，16a+6=0，16a=-6，故抛物线

11、的函数关系式为.（2）过点P作PQAB于Q，连接PB，则PQ=4.5m 将y=4.5代入，得x=2 P（-2，4.5），Q（-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|= 所以照明灯与点B的距离为7.5m【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.举一反三：【高清课程名称：二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c(a0)的图象与性质 高清ID号： 3

12、91918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题2】【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 (3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.【答案】(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.4. 根据下列条件求a的取值范围： (1)函数y(a-2)x2，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大； (2)函数y(3a-2)x2有最大值； (3)抛物线y(a+2)x2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线【答案与解析】(1)由题意得，a-

13、20，解得a2 (2)由题意得，3a-20，解得 (3)由题意得，解得， (4)由题意得，解得a1-2，a21，但a0， a1【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围举一反三：【高清课程名称： 二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c(a0)的图象与性质 高清ID号： 391918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题3】【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ） 【答案】B.5. （2014江阴市校级二模）关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A. 它的开口方向是向下；B. 当x1时，y随x的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y有最大值是3.【答案】B.【解析】A、二次函数y=2x2+3中，x=20，此抛物线开口向上，故本选项错误；B、抛物线的对称轴x=0，当x1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；C、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D、抛物线开口向上，此函数有最小值，故本选项错误故选B【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键