《精品解析：江苏省南京人民中学、海安实验中学与句容三中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品解析：江苏省南京人民中学、海安实验中学与句容三中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）.docx（17页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 高二数学学情检测120240327考试时间：120分钟；总分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列四组向量中能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，若，即，又由，则有，依次分析选项：对于A，即成立，符合题意；对于B，即不成立，不符合题意；对于C，即不成立，不符合题意；对于D，即不成立，不符合题意故选：A2. 在由0,1,2
2、,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有()A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个【答案】D【解析】【详解】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D考点：排列组合3. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设平面内任意一点，
3、由题意，由此可得，对比选项即可得解.【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为所以，整理得，而，所以对比选项可知只有在平面内.故选：C.4. 已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误.故选：D5. 地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种.A. 84B. 72C. 48D. 24【答案】A【解
4、析】【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解.【详解】将图形区域氛围上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，所以共有种，故选：A6. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，又是割线AB的斜
5、率，显然，所以.故选：B7. 如图，在四面体ABCD中，若，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：，则，即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹角为.故选：C.8. 设，分别是正方体的棱上的两点，且，则当在上沿的方向运动时，三棱锥的体积（ ）A. 不断变大B. 不断变小C. 保持不变D. 先减小再增大【答案】C【解析】【分析】由，结合锥体体积公式判断即可.【详解】因为，设点到平面的距离为，则如图，到平面的距离即到平面
6、的距离，且到平面的距离为，又的面积，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量基底的概念结合共面定理一一判定即可.【详解】因为，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以，是共面向量，不能构成
7、空间的一个基底，故D错误故选：AB10. 下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由排列数的公式计算逐项判断即可.【详解】A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C正确；D：，故D正确；故选：BCD.11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ）A. 线段是异面直线与的公垂线段B. 异面直线与的距离为C. 点到直线距离为D. 点到平面的距离
8、为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，.对于A，即，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确；对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为，又，所以异面直线与的距离为.故B错误；对于C，所以在方向的投影向量的模为，所以点到直线的距离为.故C正确；对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，又，所以点到平面的距离为.故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的
9、距离公式，利用向量的坐标运算求解.三、填空题（共3题，每题5分，共15分）12. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可.【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，又，所以，解得，所以点P的坐标为.故答案为：.13. 已知，则不同的有序集合对有_种.【答案】27【解析】【分析】先根据条件将集合分类，列举出满足条件的集合.【详解】AB、如上表，每一种集合可确定满足条件的集合，不同的有序集合对有27种.故答案为：27.14. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边
10、长为的等边三角形，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据空间向量基本定理可判断，共面，又平面，所以.【详解】因为，所以，所以，共面，又，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点，由已知平面，所以，又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知（1）求在上的投影向量；（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；（3）若点，求点P到平面的距离【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根据可求的坐标；（3）根
11、据点面距公式可求点P到平面的距离【小问1详解】，故在上的投影向量为，而.【小问2详解】设，则，故，故的坐标为.【小问3详解】，设平面的法向量为，则即，取，则，故，故点P到平面的距离为.16. 如图，在长方体中，点在线段上. （1）求证：；（2）当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）建系，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】在长方体中，连接，则，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.【小问2详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，可得，设平面法向量，则，令，则
12、，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17. 空间中，两两互相垂直且有公共原点三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：分别为“斜60坐标系”下三条数轴（轴、轴轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60坐标为，记作 （1）若，求的斜60坐标；（2）在平行六面体中，N为线段D1C1的中点如图，以为基底建立“空间斜60坐标系”求的斜60坐标；若，求
13、与夹角的余弦值【答案】（1） （2）；【解析】【分析】对于小问（1），因为，可以通过“空间斜60坐标系”的定义，化简为，再计算的斜60坐标.对于小问（2），设，分别为与，同方向的单位向量，则，中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60坐标；中，因为，所以，结合中的的斜60坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.【小问1详解】由，知，所以，所以；【小问2详解】设，分别为与，同方向的单位向量，则，. 因为，所以，则， .，所以与的夹角的余弦值为18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，.（1）若平面AEF，求的值；（2）在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值【答案】（1） （2）【解析】【分
14、析】（1）建系，求平面的法向量，结合线面平面的向量关系分析求解；（2）由（1）可得平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，因为，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，若平面AEF，则，解得.【小问2详解】由（1）可得：平面的法向量为，由题意可知：平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.19. 已知函数.（1）若，且与函数的图象相切，求的值；（2）若对成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.（2）根据给定条件构造函数，按，分类讨论求解.【小问1详解】函数，求导得，设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是，而，解得，又，解得，所以.【小问2详解】依题意，对恒成立，设，显然，恒成立，当时，不符合题意，当时，求导得，由得，函数在上单调递减，由得，函数在上单调递增，则，于是，解得，因此；所以所求实数的取值范围是.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司
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