课时规范练5　基本不等式.docx

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1、课时规范练5基本不等式一、基础巩固练1.(2024河北沧州模拟)函数y=4x2(6-x2)的最大值为()A.36B.6C.9D.182.(2024陕西西安模拟)已知a0,b0,则1+a2b2ab的最小值是()A.2B.3C.4D.53.(2024陕西榆林模拟)已知a0,b0,a+4b=2,则ab的最大值为()A.14B.12C.1D.24.(2024山西太原联考)已知各项均为正数的等比数列an满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是()A.4B.9C.6D.85.(2024湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则yx+1y的最小值为()A.2+1B.22+1C.2D.526.(2024

2、广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()A.15B.14C.13D.127.(多选题)(2024海南海口模拟)已知a0,b0,且a+2b=2,则()A.ab的最大值为12B.a+4a的最小值为4C.a2+4b2的最小值为2D.2a+1b的最大值为48.(2024河南洛阳模拟)已知x0,y0,且x+2y=4,则xy的最大值是.9.(2024河北邢台模拟)已知a0,b0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.10.(2024福建泉州模拟)(1x+1y)(x+4y)的最小值为

3、.二、综合提升练11.(2024广东佛山模拟)如果一个直角三角形的斜边长等于22,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为()A.2B.1C.2D.612.(2024黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是()A.5B.9C.13D.1813.(多选题)(2024山东日照模拟)已知实数a0,b0,且满足(a-1)(b-1)=4,则下列说法正确的是()A.ab有最小值B.ab有最大值C.a+b有最小值D.a+b有最大值14.(2024福建龙岩模拟)一个矩形的周长为l,面积为S,给出下列实数对:(1,4);(6,8);(7,12);(3,

4、12),可作为数对(S,l)的序号是()A.B.C.D.15.(2024山东济南模拟)若a0,b0,则ba2+4b+a2的最小值为()A.2B.2C.22D.416.(2024重庆八中检测)若实数x,y满足x2y,且xy=1,则x2+4y2x-2y的最小值是.课时规范练5基本不等式1.A解析 y=4x2(6-x2)4(x2+6-x22)2=36,当且仅当x2=6-x2,即x=3时函数取得最大值36,故选A.2.A解析 因为a0,b0,所以ab0,1+a2b2ab=1ab+ab21abab=2,当且仅当ab=1ab即ab=1时,等号成立,所以1+a2b2ab的最小值为2,故选A.3.A解析 因为

5、a0,b0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b24ab=4ab,可得ab14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为14,故选A.4.D解析 设an的公比为q.由a3-a1=2,得a1q2-a1=2,且q1,即a1=2q2-1,则a4+a3=a1(q3+q2)=2q2q-1=2(q-1)+2q-1+48,当且仅当2(q-1)=2q-1即q=2时,等号成立,故选D.5.A解析 由x+2y=2得x+2y2=1,x,y0,所以yx+1y=yx+x+2y2y=yx+x2y+12yxx2y+1=2+1,当且仅当x2=2y2,x+2y=2,即x=22-2,y=2-2时

6、,等号成立,所以yx+1y的最小值为2+1,故选A.6.D解析 设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积V=133(ab+ab4ab+4ab)=63,ab=9,棱台的上底面的周长为2(a+b)4ab=12,当且仅当a=b=3时等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.7.AC解析 对于A选项,因为a0,b0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b22ab,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab(a+2b22)2=12,故A正确;对于B选项,根据基本不等式可得a+4a2a4a=4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C选项,因为

7、a+2b=2,所以(a+2b)2=4,即a2+4b2=4-4ab.由2ab(a+2b)24=1,得a2+4b22,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D选项,2a+1b=a+2bab=2ab,因为00,y0,所以由基本不等式得4=x+2y2x2y,所以x2y2,得xy2,所以xy4,当且仅当x=2y即x=4,y=1时,等号成立,所以xy的最大值是4.9.22解析 因为ab=a-b+3,解得b=a+3a+1=1+2a+1,则a+b=a+1+2a+122,当且仅当a=2-1,b=2+1时,等号成立,故a+b的最小值为22.10.9解析 (1x+1y)(x+4y)=5+xy+4yx5+2

8、4=9,当且仅当xy=4yx,即x=4y0时,等号成立,所以(1x+1y)(x+4y)的最小值为9.11.C解析 设斜边c=22,直角边为a,b,则a2+b2=8,因为2aba2+b2,所以a2+b2+2ab2(a2+b2),即(a+b)216,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则三角形周长取最大值,此时面积为1222=2,故选C.12.D解析 由题意,正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab=a+2b,2a+1b=1,故4a+2b=(4a+2b)(2a+1b)=10+4ba+4ab10+24ba4ab=18,当且仅当4ba=4ab,结合2a+1b=1,即

9、a=b=3时,等号成立,即4a+2b的最小值是18,故选D.13.AC解析 因为(a-1)(b-1)=4,所以ab-a-b+1=4,则ab=a+b+32ab+3,解不等式得ab-1(舍去)或ab3,故ab9,当且仅当a=b=3时,等号成立,故ab有最小值9,则A正确,B错误;ab=a+b+3(a+b2)2,解不等式得a+b-2或a+b6,又因为a0,b0,故a+b6,当且仅当a=b=3时,等号成立,故a+b有最小值6,则C正确,D错误.故选AC.14.A解析 设矩形的长、宽分别为x,y(x,y0),则x+y=l2,S=xy,因为x+y2xy,当且仅当x=y时等号成立,所以l22S,即l216S.将四组实数对:(1,4),(6,8),(7,12),(3,12),逐个代入检验可知,可作为数对(S,l)的序号为,故选A.15.C解析 a0,b0,ba2+4b+a22ba24b+a2=4a+a222,当且仅当2a=b=42,即a=22,b=42时,等号同时成立,ba2+4b+a2的最小值为22,故选C.16.4解析 x,y满足x2y,且xy=1,则x2+4y2x-2y=(x-2y)2+4xyx-2y=(x-2y)+4x-2y2(x-2y)4x-2y=4,当且仅当x-2y=4x-2y且xy=1,即x=1+3,y=3-12时,等号成立,此时x2+4y2x-2y的最小值为4.3