课时规范练80　变量间的相关关系及回归模型.docx

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1、课时规范练80变量间的相关关系及回归模型一、基础巩固练1.经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x(单位:千万元)的关系,对同类型10家企业的相关数据(xi,yi)(i=1,2,10)进行整理,并得到如下散点图:由此散点图,在2千万元至1亿元之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是()A.y=ax+bB.y=ax2+bC.y=aex+bD.y=aln x+b2.(多选题)(2024山东青岛模拟)为了判断某地区超市的销售额与广告支出之间的相关关系,现随机抽取7家超市,得到其广告支出与销售额数据如下表,则()超市ABCDEFG广告支出x/万元12461013

2、20销售额y/万元19324440525354A.广告支出的极差为19B.销售额的中位数为40C.若销售额y与广告支出x之间的经验回归方程为y=1.5x+m,则m=30D.若去掉超市A这一组数据,则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会减弱3.(2024福建福州模拟)已知变量x和y的统计数据如下表:x678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归方程为y=0.8x+a,则x=10时的残差为(注:观测值减去预测值称为残差).4.如图是某采矿厂的污水排放量y(单位:吨)与矿产品年产量x(单位:吨)的折线图:(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回归模型

3、拟合y与x的关系?(若|r|0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系,请建立y关于x的经验回归方程,并预测年产量为10吨时的污水排放量.相关公式:r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,参考数据:0.30.55,0.90.95.经验回归直线y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.5.(2024四川凉山模拟)下图截取自2022年1月27日某公众号公布的自2016年至2021年某地区生产总值条形统计图.将2016年视作第1

4、年,并四舍五入保留地区生产总值整数部分得到表格.经计算可知年份x与生产总值y之间具有较好的线性相关关系.地区生产总值(亿元)年份x123456生产总值y/亿元443467522565573630(1)求年份x与生产总值y的经验回归方程y=bx+a;(最终结果保留整数)(2)由经验回归方程预测2024年该地区生产总值大约是多少亿元?附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.参考数据:i=16xiyi=11 848.二、综合提升练6.(2024广东江门模拟)2024年某养

5、殖基地考虑增加人工投入,根据市场调研与模拟,得到人工投入增量x(单位:人)与年收益增量y(单位:万元)的数据和散点图分别如下:x234681013y13223142505658根据散点图,建立了y与x的两个回归模型:模型:y=4.1x+11.8;模型:y=bx+a.(1)求出模型中y关于x的经验回归方程(精确到0.1);(2)比较模型,模型的决定系数R2的大小,说明哪个模型拟合效果更好,并用该模型预测,要使年收益增量超过80万元,人工投入增量至少需要多少人?(精确到整数)经验回归方程y=bx+a的系数:b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n

6、(xi-x)2,a=y-bx;模型的决定系数:R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2.参考数据:令t=x,则y=bt+a,且t2.46,y38.86,i=17(ti-t)(yi-y)80.97,i=17(ti-t)23.78;模型中i=17(yi-yi)2=182.42;模型中i=17(yi-yi)2=74.12.7.(2024河北承德模拟)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂,为了解其效果,通过实验,收集到其不同浓度x(单位:mol/L)与灭死率y的数据,得下表:浓度x/(mol/L)10-1210-1010-810-610-4灭死率y0.10.240.460.760.94(

7、1)以x为解释变量,y为响应变量,在y=bx+a和y=c1+c2lg x中选一个作为灭死率y关于浓度x(单位:mol/L)的经验回归方程,不用说明理由.(2)根据(1)的选择结果及表中数据,求出所选经验回归方程;依据中所求经验回归方程,要使灭死率不低于0.8,估计该灭草剂的浓度至少要达到多少?参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.8.某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5

8、月的销售量如下表.月份x12345销售量y/万件4.95.86.88.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量,建立了y关于x的回归模型:y=ux2+v.(1)根据所给数据与回归模型,求y关于x的经验回归方程(u的值精确到0.1);(2)已知该公司的月利润z(单位:万元)与x,y的关系为z=24x-5y+2x,根据(1)的结果,计算该公司哪一个月的月利润预测值最大.参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.课时规范练80变量间的相关关

9、系及回归模型1.D解析 根据散点图,可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布,并且变化趋势较平缓,y=ax+b表示直线,变化趋势是确定的,不符合题意;y=ax2+b表示的曲线既有上升部分,又有下降部分,不符合题意;y=aex+b表示的曲线不论是上升还是下降,都将比较快,曲线较“陡峭”,不符合题意,y=aln x+b表示的曲线不论是上升还是下降,都将比较平缓,符合题意.2.AC解析 支出极差为20-1=19,故A正确;将数据按照从小到大的顺序排列:19,32,40,44,52,53,54,可知中位数为44,故B错误;由题可得x=8,y=42,则点(8,42)恒过经验回归直线.因为y=1

10、.5x+m,所以m=42-1.58=30,故C正确;因为(1,19)不在经验回归直线上且偏差较大,去掉这组数据后,相关程度会更高,故D错误.故选AC.3.-0.1解析 x=6+7+8+9+105=8,y=3.5+4+5+6+6.55=5,则5=0.88+a,解得a=-1.4,所以y=0.8x-1.4.当x=10时,y=6.6,所以x=10时的残差为6.5-6.6=-0.1.4.解 (1)由折线图可得,x=5,y=4,i=15(xi-x)(yi-y)=6,i=15(xi-x)2=20,i=15(yi-y)2=2,所以相关系数r=6202=0.90.95.因为|r|0.75,线性相关程度很高,所以

11、可用一元线性回归模型拟合y与x的关系.(2)由(1)知,b=620=0.3,a=y-bx=4-0.35=2.5,所以经验回归方程为y=0.3x+2.5.当x=10时,y=5.5,所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.5.解 (1)由题意,可得x=1+2+3+4+5+66=3.5,y=443+467+522+565+573+6306=1 6003,i=16(xi-x)2=6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5,则b=i=16xiyi-6xyi=16(xi-x)2=1 2963537.由a=y-bx404,所以年份x与生产总值y的经验回归方程为y=37x+4

12、04.(2)由(1)知年份x与生产总值y的经验回归方程为y=37x+404,当x=8时,可得y=378+404=700,即2024年该地区生产总值约为700亿元.6.解 (1)令t=x,则模型为y=bt+a.由t2.46,y38.86,i=17(ti-t)(yi-y)80.97,i=17(ti-t)23.78,得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=80.973.7821.4,a=y-bt=38.86-21.42.46-13.8,所以模型中y关于x的经验回归方程是y=21.4x-13.8.(2)模型中的决定系数R2=1-182.42i=17(yi-y)2,模型的决定系数R

13、2=1-74.12i=17(yi-y)2,因为182.4274.12,所以模型中的决定系数小于模型的决定系数,所以模型的拟合效果更好.在模型下,年收益增量超过80万元,则有21.4x-13.880,所以x(93.821.4)219.2,所以人工投入增量至少需要20人.7.解 (1)根据表格数据可知解析变量x呈现指数增长,而响应变量y增长幅度不大,且相应的增加量大约相等,故选y=c1+c2lg x.(2)令ui=lg xi,则y=c1+c2u,所以可得如下数据:u-12-10-8-6-4y0.10.240.460.760.94则u=15(-12-10-8-6-4)=-8,y=15(0.1+0.2

14、4+0.46+0.76+0.94)=0.5,i=15ui2=(-12)2+(-10)2+(-8)2+(-6)2+(-4)2=360,i=15uiyi=(-12)0.1+(-10)0.24+(-8)0.46+(-6)0.76+(-4)0.94=-15.6,所以c2=-15.6-5(-8)0.5360-5(-8)2=0.11,c1=0.5-0.11(-8)=1.38,所以y=1.38+0.11u,即所求经验回归方程为y=1.38+0.11lg x.依题意y=1.38+0.11lg x0.8,即0.11lg x-0.58,即lg x-5811,所以x10-5811,即要使灭死率不低于0.8,则该灭草

15、剂的浓度至少要达到10-5811.8.解 (1)令w=x2,则w=1+4+9+16+255=11,y=4.9+5.8+6.8+8.3+10.25=7.2,u=i=15(wi-w)(yi-y)i=15(wi-w)2=-10(-2.3)+(-7)(-1.4)+(-2)(-0.4)+51.1+143(1-11)2+(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25-11)2=81.13740.2,v=y-bw=7.2-0.211=5,所以y关于x的经验回归方程为y=0.2x2+5.(2)由(1)知,y=0.2x2+5,z=24x-5y+2x=24x-5(0.2x2+5)+2x=24x-x32-27x,令h(x)=24x-x32-27x(x0),h(x)=12x-32x+272x-32=-3x2+24x+272xx=-3(x-9)(x+1)2xx(x0).令h(x)0得0x9,令h(x)9,令h(x)=0得x=9,所以h(x)=24x-x32-27x(x0)在x=9处取得极大值,也是最大值,h(x)max=h(9)=72-27-9=36,所以第9个月的月利润预测值最大.7