安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx

《安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx（22页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、安徽师大附中2024届第二次模拟考试高三年级数学学科试题考生须知：1本卷共5页满分150分，考试时间120分钟2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效4考试结束后，只需上交答题纸选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知A，B是全集U的非空子集，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据Venn图，结合子集和集合间的运算理解判断.【详解】由题意知，从而可得Venn图如下图，对A、D：由Venn图，可得，故A、D错误；

2、对B：因为，正确，故B正确；对C：因为，则错误，故C错误；故选：B.2. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，关于原点对称，且，可知为奇函数，排除AB，且，排除D.故选：C.3. 已知复数且有实数根b，则=（ ）A. B. 12C. D. 20【答案】D【解析】【分析】根据题意可求得，从而得，

3、求解得，从而可求解.【详解】由题意知为的实数根，则，即，则，解得，所以，所以，故D正确.故选：D.4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.【详解】在中，取为基底，则.因为点、分别为的中点，故选：A5. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】设P坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，于是，因此，

4、当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D6. 在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（ ）A. 26B. 63C. 57D. 25【答案】C【解析】【分析】计算，分析的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即，代入化简可得：，又，所以，所以.故选：C7. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则=（ ）A. 4036B. 4040C. 4044D. 4048【答案】D【解析】【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从

5、而可得出为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以，故D正确.故选：D.8. 已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得.【详解】显然函数的定义域为R，即函数是奇函数，因此曲线的对称中心为，由直线l与

6、曲线的三个交点满足，得，设，则，令，则有，即，解得，即，因此点或，或，选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知由样本数据（i=1，2，3，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点则下列说法正确的是A. 相关变量x，

7、y具有正相关关系B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.【详解】依题意，原样本中，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度

8、变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.故选：BC10. 在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义，则（ ）A. B. C. 若，则D. 是周期函数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分别求出，则，从而可对A判断求解，利用换元法令可对B判断求解，由求出，并结合从而可对C判断求解，由可对D判断求解.【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，则，对A：，故A正确；对B：，令，所以，故B错误；对C：，解得，又由，故C正确；对D：，因为为周期函数，故D正确.故选：ACD.11. 如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正

9、确的是（ ）A. 该几何体的体积为B. 该几何体为七面体C. 二面角的余弦值为D. 该几何体为三棱柱【答案】ACD【解析】【分析】选项A可以分别求正四棱锥和正四面体的体积即可；选项C先确定二面角的平面角为，在三角形中利用余弦定理可得；选项D先根据二面角与二面角的关系确定四点共面，再证得平面平面，三个侧面都是平行四边形即可；选项B根据选项D三棱柱有5个面，可判断错误.【详解】如图：在正四面体中中，为的中点，连接，连接作于，则为的中心，为正四面体中的高， 因， ，在正四面体中中，为的中点，所以，故为二面角的一个平面角，如图：在正四棱锥中，由题意，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，该几何体的体积

10、为，故A正确，取的中点，连接， 由题意正四棱锥的棱长都为1，所以，故即为二面角的一个平面角，其中，在中，故C正确，因，可知二面角与二面角所成角互补，故平面与为同一平面，同理，平面和平面也为同一平面，故该几何体有5个面，B错误，因四点共面，且和都为等边三角形，易知，且，故侧面为平行四边形，又平面,平面，所以平面，同理平面，且侧面为平行四边形，又，平面，平面，所以平面平面，又侧面为正方形，故多面体即为三棱柱，故D正确，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53

11、，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_【答案】【解析】【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.【详解】由题意知11个零件的平均数为，第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况，所以其概率为，故答案为：.13. 已知偶函数

12、的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则_【答案】#1.5【解析】【分析】根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定.【详解】因为偶函数，所以，即或，又的图像关于点中心对称，所以，即，所以，因为函数单调，所以，即，所以当时，符合条件.故答案为：14. 若实数x，y满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用向量不等式并结合x的范围求最值.【详解】设则，当且仅当等号成立故，又，所以，所以,当且仅当等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知

13、函数，（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；（2）当时，求的极值点【答案】（1） （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由在定义域内是减函数得出对于，恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出，即可解答.（2）分和两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数的单调性即可求解.【小问1详解】由可得：函数定义域为，.因为在定义域内是减函数，所以对于，恒成立，即对于，恒成立.则对，恒成立.因为，所以，当且仅当时等号成立，则，所以故a的取值范围为.小问2详解】因为，所以当时，则函数在上单调递增，此时无极值点；当时，方程的判别式，方程两根为，.令，解得；令，解得或，则函数

14、在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，极大值点为.综上可得：当时， 无极值点；当时，函数的极小值点为，极大值点为.16. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x（kkm）566371

15、7990102110117损坏零件数y（个）617390105119136149163参考数据：，（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成22列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；0.250.10.050.0250.010.

16、0011.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1） （2）列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可求出，从而可求解.（2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关.【小问1详解】由题意得，则，所以.【小问2详解】设零假设为：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，补充列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17. 在三棱

17、锥中，平面，点在平面内，且满足平面平面垂直于（1）当时，求点的轨迹长度；（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长；（2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可.【小问1详解】作交于，因为平面平面，且平面平面，面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，且平面，所以，因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则，设，因为，所以，又，所以，即，设中点为，则，如图：又，所以，因此，的轨迹为圆弧，其长度为；【小问2

18、详解】由（1）知，可设，设平面的一个法向量为，则，即，令得为平面的一个法向量，令二面角为角，又，解得，（舍去）或，则或，从而可得三棱锥的体积18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点（1）求椭圆W的方程；（2）已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值【答案】（1） （2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得，从而求出，即可求解.（2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.【小问1详解】由题意知，解得，由长轴长是短轴

19、长的2倍，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率存在，这方程为，因为，故可设方程为，由，得，则，所以，同理，因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，平行四边形取得最大值为4.当直线的斜率不存在时，此时平行四边形为矩形，设，易得，又因为，所以，当且仅当时取等.综上所述：平行四边形的面积的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 对称变换

20、在对称数学中具有重要的研究意义若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换例如，正三角形R在（绕中心O作120的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记记正三角形R的所有对称变换构成集合S一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I，；II，；，；，对于一个群G，称中的e为群G的单位元，称中的为a在群G中的逆元一个群G的一

21、个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群 （1）直接写出集合S（用符号语言表示S中元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，分别是a在群G，群H中的逆元猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；写出群S的所有子群【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析；答案见解析，证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合.（2）根据群的定义条件，逐一

22、验证即得；按照群定义、分别推理计算即得；写出的所有子群即可.【小问1详解】依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线反射变换，综上，.（形式不唯一）【小问2详解】.，；.，所以；.，而，所以；.，； 综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.，证明如下：先证明：由于是的子群，取，则，根据群的定义，有，所以，所以，即，即，所以. 再证明：由于，所以，所以，所以，所以. 的所有子群如下：， ，【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.