2024届天域全国名校协作体高三下学期4月联考数学试题含答案.pdf

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1、高三数学学科 参考答案 第1页(共 7 页)绝密考试结束前绝密考试结束前 2022023 3-20242024 学年第二学期天域全国名校协作体联考学年第二学期天域全国名校协作体联考 高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C A B B D C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共3小题，每小题小题，每小题6分，共分，共18分在每小题

2、给出的四个选项中，有多项符合题分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得6分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得0分分.题号 9 10 11 答案 ACD BC AB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共3小题，每小题小题，每小题5分，共分，共15分分.1245（或4）132 55 14(0,5)四、解答题：共四、解答题：共77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15解：（1）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-

3、xyz.由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,3,0,1,0,0,0,3,4,1,0,2,0,3,1,ABABC 因此()()()111111,3,2,1,3,2,0,2 3,3,ABABAC=.3 分 由1110AB AB=得111ABAB.由1110AB AC=得111ABAC.111111111111,ABACA AB ACABC平面=所以1AB 平面111ABC.6 分（2）设直线1AC与平面1ABB所成的角为.由（）可知()()()110,2 3,1,1,3,0,0,0,2,ACABBB=#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAM

4、MAIByRFABAA=#高三数学学科 参考答案 第2页(共 7 页)设平面1ABB的法向量(),nx y z=.由10,0,n ABn BB=即30,20,xyz+=可取()3,1,0n=,.10 分 所以11139sin|cos,|13AC nAC nACn=.因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值3913 .13 分 16（1）由题意可知123(2)1,(4)2,(8)4aaa=，4分 由题意可知，偶数与2n不互素，所有奇数与与2n互素，所以1(2)2nnna=；.6分（2）由（1）知1(2)2nnna=，所以2212(2)2nnna=，所以21222212loglog 22

5、1(1)(1)(1)(21)(42)()244nnnnnnnnnnabnna=.8分 12nnSbbb=+所以12111112()6()(46)()(42)()4444nnnSnn=+23111111()2()6()(46)()(42)()44444nnnSnn+=+.10分 所以-得 121511112()4()()(42)()44444nnnSn+=+11111()111644(42)()1241()4nnn+=+1111111()(42)()2544nnn+=+13206105(4)nn+=，13分 所以62062525(4)nnnS+=+.15分 17.（1）设双曲线C的两渐近线方程分

6、别为,bbyx yxaa=，点()3,2P到双曲线两渐近线的距离乘积为22265ca b=，#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=#高三数学学科 参考答案 第3页(共 7 页)由题意可得：2222222265941acba bacb+=，.3分 解得223,2ab=，则双曲线C的方程为22132xy=；.5分 （2）设直线1l的方程为(5)yk x=+，由12,l l互相垂直得2l的方程1(5)yxk=+，.6分 联立方程得2212(35)xyk xy=+消y得()222221606 535kxk xk=，0 成立，所以212

7、223 52 5,(5)22323MMMxxkkxyk xkk+=+=，所以点M坐标为2223 52 5,2323kkkk（），.8分 联立方程得221(5)321xyxky=+=，所以34223 512 5,(5)22323NNNxxkxyxkkk+=+=，所以点N坐标为223 52 5,23 23kkk（），.10分 根据对称性判断知定点在x轴上，直线MN的方程为NMMMNMyyyyxxxx（）=，.12分 则当0y=时，2222222223 52 53 52 5301232323 233 512 52 52 52323MNNMNMkkkx yx ykkkkkxyykkkkk+=，.14分

8、 所以定点坐标为(3 5,0).15分 18.（1）由题意知），定义域（定义域（+0)(xf 当5=m时，#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=#高三数学学科 参考答案 第4页(共 7 页)+=xxxxxxxxxxfln154lnln154154)(333，-1 分 0)1(1251250)(12500512)(154)(23=+=+=gxgxxxgxxxg）单调递减，且，）单调递增，（，在（令）（）单调递增，而）单调递增，而在（在（令令10)1(0ln)(hfxxh=+=1311(),()ln1,(0)141644110()

9、(),1,()0()44ghgxg xh xxg xh x=又而所以当时，当时 -4 分)()(1),()(10 xhxfxxgxfx=时，当时，所以当+=1ln10154)(3xxxxxxf，所以 单调递减单调递减，单调递增，单调递增，和和，在在所以所以)1125(),1()1250()(+xf 21154)0)(512(0154)(512()154,(,512)(10i003002003002003002=+=+=+=xxxxxxxxxxyxxxMxxfx，解得所以又此切线过原点，则此切线方程为设切点时，）当（02=yx即此时切线方程是-6 分#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQ

10、GgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=#高三数学学科 参考答案 第5页(共 7 页)0eeln)0(10,ln)(1),ln,(1)(ln)(1ii000000000=+=+=yxxxxxxxxxyxxxxfxxfx所以此时切线方程解得又此切线过原点，所以此时切线方程设切点为所以时，）当（020e=yxyx或程是：综上所述，所求切线方-8 分 有两个零点此时），）且单调递减，单调递增，和，在）知，由（时）当）（)(01(,016341(10()1125(),1()1250()(15i2xffffxfm -11 分）没有零点，）只有一个零点，（，在（所以而）时，（所以且）递

11、减，）递增，（，在（）知：由（时，当时，当+=+=+=+1251250)(1)0(,0)(1250)1(,11251250154)(114154105)ii(333xffxfxgxxxgmxxxxxm -13 分 30,112001931)12()12(4)12(14)(,10)(,1ln)(1(1)1251200121450iii3323=+=+=+=+=mmmmmmmmfmxxxfxxfxxxfxmxmxymxxym得没有零点时当只有一个零点，只需要要保证只有一个零点时，当知由得此时时，）当（#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFA

12、BAA=#高三数学学科 参考答案 第6页(共 7 页)-15 分 1)(,014)(g),0(0iv3=+=+xxfmxxxxm只有一个零点此时时，时，当）当（()35f xmm综上，只有一个零点时，或 -17 分 19.（1）记甲获胜为事件 A，甲抢到3道题为事件3A,甲抢到2道题为事件2A,甲抢到1道题为事件1A,甲抢到0道题为事件0A，.1分 则331128P A=()(),23231328P AC=()(),13313013112828P ACP A=()(),()()，.3分 而32233111112222(|)()()()P A AC=+=，21221111711222312P A

13、 AC=+=(|)()()()，11 2 22 112 22212 3 33 323 33(|)()()P A A=+=，312032122033327(|)()()P A AC=+=，.5分 所以33221100()()(|)()(|)()(|)()(|)P AP A P A AP A P A AP A P A AP A P A A=+1 1373 21 205398 28 128 38 27864.=+=.6分(2)11101222(),(),()iiippP XP XP X=，所以11211012222()ipppE X=+=；.8分 因为()()1111111212122nnniiii

14、iippE XEXEXE Xnnnnn=，由表中数据可知110 x=，所以112113,2105pp=.10分 因为iX(1,2,20)i=取值相互独立，所以1122202011222020()(),)()()Xx XxXxXx P XxP XL pPPx=6410610411222101)()()()()()(iiiXP XP XppP=.13分 所以10546310531111135322222222222()()()()()()()()()()pppppppL p=；令0()L p=得35p=，又01p，#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=#高三数学学科 参考答案 第7页(共 7 页)所以当305(,)p时，0()L p，()L p单调递增；当315(,)p时，0()L p，()L p单调递减；.16分 即当35p=时()L p取到最大值，从而235 p=.17分#QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=#