2024八年级下数学专题1.3平行四边形章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析.doc

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1、2024八年级下数学专题1.3 平行四边形章末重难点题型【人教版】【考点1 平行四边形的性质】【方法点拨】解题的关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分【例1】（2019春沙坪坝区期中）如图，平行四边形ABCD中，DAB的平分线AE交CD于E，DC5，BC3，则EC的长是（）A1B1.5C2D3【变式1-1】（2019春巴南区期中）已知ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若BOC的周长比AOB的周长大4cm，则AD的长是（）A4cmB6cmC8cmD10cm【变式1-2】（2019春闽侯县期中）如图，在平行

2、四边形ABCD中，BAD的平分线交CD于点G，ADAE若AD5，DE6，则AG的长是（）A6B8C10D12【变式1-3】（2019春谢家集区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADAB，过点O作OEAC交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20，则CDE的周长是（）A10B11C12D13【考点2 平行四边形的判定条件】【方法点拨】平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形

3、是平行四边形【例2】（2019春鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）ABCD，ADBC；ABCD，ADBC；AB，CD；ABAD，CBCDA1个B2个C3个D4个【变式2-1】（2019春常熟市期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）AABDC，ADBCBBADBCD，ABCADCCOAOC，OBODDABDC，ADBC【变式2-2】（2019春北京校级期中）已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件ADBC且ABCD，ABCD且OAOC，DABDCB且OAOC，DABDCB且OBOD，其

4、中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）A0个B1个C2个D3个【变式2-3】（2018雁江区模拟）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“ADBC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“ABCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“DABDCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上“BCAD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AOCO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（

5、6）如果再加上条件“DBACAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形A3个B4个C5个D6个【考点3 平行四边形的判定及性质】【例3】（2019春越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BAD和DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BEDF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形【变式3-1】（2019春香坊区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AECF（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如果AEEFFC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形【变

6、式3-2】（2019春鄂城区期中）已知：如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AFCE，点G、H分别在AB、CD上，且AGCH，AC与GH相交于点O（1）求证：EGFH；（2）GH、EF互相平分【变式3-3】（2018春青山区期中）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD36，AB12，求OEF的周长【考点4 三角形的中位线】【例4】（2019秋长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，ADBC，PEF18，则PFE的度数是（）A9B1

7、8C27D36【变式4-1】（2019春相城区期中）如图，ABC中，AB9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF3EF，当AFBF时，BC的长是（）A9B10.5C12D18【变式4-2】（2019春嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，A90，AB12，AD5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A2B5C7D9【变式4-3】（2019春庐阳区期末）如图，ABC的周长为17，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC6，则MN的长度为（

8、）AB2CD3【考点5 菱形的性质】【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。【例5】（2019春卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于A6B8C14D28【变式5-1】（2019春定远县期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是ABCD【变式5-2】（2019春宝应县期末）如图，四边形是菱形，于，则等于AB4CD5【变式5-3】（2018秋巴南区期末）如图，菱形中，于，交于，于若的周长为4，则菱形的面积为ABC16D【考点6 矩形的性质】【方法点拨】矩形具有平行四

9、边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。【例6】（2019春庐阳区期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是ABCD【变式6-1】（2019春黄冈期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则ABCD【变式6-2】（2019红河州二模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，连接，若，则图中阴影部分的面积为A12B24C27D54【变式6-3】（2019春侯马市期末）如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，则的值为A10B9.6C4.8D2.4【考点7 正方形的性质】【方法点拨】正方形是最特殊的四边形，它具有矩

10、形的性质，也具有菱形的性质。【例7】（2019春蚌埠期末）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则ABCD【变式7-1】（2019春诸暨市期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为ABCD【变式7-2】（2019春越城区期末）如图，在正方形中，点分别在，上，相交于点若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为A7BC8D【变式7-3】（2019春沧州期末）正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为A，B，C，D，【考点8 菱形的判定】【方法点拨】菱形的判定：一组邻边相

11、等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。【例8】（2019春兰陵县期末）在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接（1）求证：（2）求证：四边形是菱形【变式8-1】（2019春泰山区期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、求证：四边形是菱形【变式8-2】（2019春沙坪坝区校级月考）如图，在中，点是边上一点，连接点是中点，连接并延长交于点，连接过点作交于点，连接求证：四边形是菱形【变式8-3】（2019春霍林郭勒市期末）如图，在中，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、（1）求证：；（2）当在中点时，四

12、边形是什么特殊四边形？说明你的理由【考点9 矩形的判定】【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。【例9】（2019春雨花区校级期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接（1）求证：；（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由【变式9-1】（2019春郁南县期末）如图，是的中线，交于点，且（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形【变式9-2】（2019春滨海县期中）如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点点是

13、内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由【变式9-3】（2019春鱼台县期末）如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）试说明：；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论【考点10 正方形的判定】【方法点拨】解正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形.【例10】（2019防城港模拟）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且平分（1）求证：（2）若求证：四边形是正方形【变式10-

14、1】（2019崂山区二模）已知：四边形为平行四边形，延长至点，使，连接交于点，连接（1）求证：（2）若，当时，四边形为正方形请说明理由【变式10-2】（2019春白山期末）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接（1）求证：是的中点（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由【变式10-3】（2019春泉州期末）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）判断与的大小关系？并说明理由；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形【考点11 中点四边形】【例

15、11】（2019春邹城市期末）已知：四边形，是各边的中点（1）求证：四边形是平行四边形；（2）假如四边形是一个矩形，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想【变式11-1】（2019春密山市期末）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）（1）四边形的形状是 ，证明你的结论（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由【变式11-2】（2018春洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形（1）如图1，四边形中，点，分别为边

16、，的中点，则中点四边形形状是（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，点，分别为边，的中点，求证：中点四边形是正方形【变式11-3】（2019春广东期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）（1）四边形的形状是 ，证明你的结论；（2）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ （3）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ 【考点12 四边形中的最值问题】【例12】（2019春睢宁县期中）正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是

17、【变式12-1】（2019春泸县期末）如图，在菱形中，点，分别是边，的中点是上的动点，那么的最小值是【变式12-2】（2019春鄂城区期末）点是菱形的对角线上的一个动点，已知，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是【变式12-3】（2019春锦州期末）如图，在中，点，分别在各边上，且，则四边形周长的最小值为【考点13 四边形中的折叠问题】【例13】（2019春汉阳区期末）如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交于点，设折叠后点，的对应点分别为点，（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）若，且四边形的面积是20，求线段的长【变式13-1】（2019春濮阳期末）如图，

18、矩形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且（1）求证：；（2）求的长度【变式13-2】（2019萧山区模拟）如图，在矩形中，点和点为边上两点，将矩形沿着和折叠，点和点恰好重合于矩形内部的点处，（1）当时，求的度数；（2）若，求的长【变式13-3】（2019春廉江市期末）如图，在四边形纸片中，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，（1）求证：四边形是正方形；（2）求证：三角形的周长是四边形周长的一半；（3）若，求的长度【考点14 四边形中的旋转问题】【例14】已知，正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，求的长【变式14-1

19、】（2019春徐州期末）如图，正方形的对角线和相交于点，正方形的边交于点，交于点（1）求证：；（2）如果正方形的边长为，那么正方形绕点转动的过程中，与正方形重叠部分的面积始终等于（用含的代数式表示）【变式14-2】（2019春无棣县期末）如图，在正方形中，、是对角线上两点，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，且使得（1）求证：；（2）求证：【变式14-3】（2019春宁津县期末）如图1，已知四边形是正方形，对角线、相交于点，以点为顶点作正方形（1）如图1，点、分别在和上，连接、，和有何数量关系，并说明理由；（2）将正方形绕点顺时针方向旋转，如图2，判断和的数量关系，并说明理由 专题1.3 平行四边

20、形章末重难点题型【人教版】【考点1 平行四边形的性质】【方法点拨】解题的关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分【例1】（2019春沙坪坝区期中）如图，平行四边形ABCD中，DAB的平分线AE交CD于E，DC5，BC3，则EC的长是（）A1B1.5C2D3【分析】由平行四边形的性质知ADBC3，DCAB，据此得BAEAED，再由角平分线性质知BAEDAE，从而得AEDDAE，据此知ADDE3，根据ECDCDE可得答案【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，BC3，ADBC3，DCAB，BAEAED，AE平分BAD，BAEDA

21、E，AEDDAE，ADDE3，DC5，ECDCDE532，故选：C【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分【变式1-1】（2019春巴南区期中）已知ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若BOC的周长比AOB的周长大4cm，则AD的长是（）A4cmB6cmC8cmD10cm【分析】ABCD的周长为32cm，则AB+BC16；BOC和AOB共边OB，且OCOA，则BCAB4；从而得到BC的长，且ADBC；【答案】解：ABCD的周长为32cm，AB+BCBOC和AOB共

22、边OB，且平行四边形平分对角线；OBOB，OAOC；又若BOC的周长比AOB的周长大4cm，BCAB4联立BC10，AB6ADBC10故选：D【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键【变式1-2】（2019春闽侯县期中）如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交CD于点G，ADAE若AD5，DE6，则AG的长是（）A6B8C10D12【分析】首先证明线段AG与线段DE互相垂直平分，利用勾股定理求出AH即可解决问题；【答案】解：如图，设AG交BD于HADAE，AG平分BAD，AG垂直平分DE，DHEH3，四边形ABCD是平行四边形，CDAB，AGDGA

23、B，DAGGAB，DAGDGA，DADG，DEAG，AHGH， 在RtADH中，AH4，AG2AH8故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；【变式1-3】（2019春谢家集区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADAB，过点O作OEAC交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20，则CDE的周长是（）A10B11C12D13【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OEAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AECE，又AB+BCAD+CD20，继而可得CDE的周长等于AD+

24、CD【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，ADBC，平行四边形ABCD的周长为20，AD+CD10，OEAC，AECE，CDE的周长为：CD+CE+DECD+CE+AEAD+CD10故选：A【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用【考点2 平行四边形的判定条件】【方法点拨】平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

25、（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形【例2】（2019春鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）ABCD，ADBC；ABCD，ADBC；AB，CD；ABAD，CBCDA1个B2个C3个D4个【分析】根据平行四边形的判定定理（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可【答案】解：ABCD，ADBC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；ABCD，ADBC；能判定四边形ABCD为平行四边形；AB，CD；

26、不能判定四边形ABCD为平行四边形；ABAD，CBCD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，故选：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键【变式2-1】（2019春常熟市期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）AABDC，ADBCBBADBCD，ABCADCCOAOC，OBODDABDC，ADBC【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可【答案】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“

27、两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形【变式2-2】（2019春北

28、京校级期中）已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件ADBC且ABCD，ABCD且OAOC，DABDCB且OAOC，DABDCB且OBOD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）A0个B1个C2个D3个【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可【答案】解：ADBC且ABCD不能判定四边形ABCD是平行四边形；ABCD且OAOC不能判定四边形ABCD是平行四边形；DA

29、BDCB且OAOC不能判定四边形ABCD是平行四边形；DABDCB且OBOD不能判定四边形ABCD是平行四边形；故选：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理【变式2-3】（2018雁江区模拟）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“ADBC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“ABCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“DABDCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果

30、再加上“BCAD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AOCO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“DBACAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形A3个B4个C5个D6个【分析】（1）因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以正确；（2）因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以正确；（3）此题易证此四边形的两组对边分别平行，所以正确；（5）此题可以通过证明三角形全等，证得ABCD，所以证得此四边形是平行四边形；正确；（4）与（6）等腰梯形也符合要求，所以错误【答案】解：（1）ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形；正确；（

31、2）ABCD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形；正确；（3）ABCD，A+D180，DABDCB，C+D180，ADBC，四边形ABCD是平行四边形；正确；（4）可能是等腰梯形，所以错误；（5）ABCD，BAODCO，ABOCDO，AOCO，AOBCOD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形；正确；（6）此题可以是等腰梯形；错误故选：B【点睛】此题考查了平行四边形的判定注意真命题需要证明，假命题只要举反例即可解题时还要注意数形结合思想的应用【考点3 平行四边形的判定及性质】【例3】（2019春越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BAD和DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点

32、E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BEDF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形【分析】（1）由平行四边形的性质得出ADBC，ABCD，BADDCB，BD，证出BAEDCF，由ASA证明BAEDCF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出得出AECF，AEBDFC，证出AECF，由已知得出MEFN，MEFN，即可证出四边形MENF是平行四边形【答案】（1）证明；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，BADDCB，BD，DAEAEB，DFCBCF，BAD和DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，BAEDAEBAD，BCFDCFDCB，B

33、AEDCF，在BAE和DCF中，BAEDCF（ASA），BEDF；（2）证明：BAEDCF，AECF，AEBDFC，AEBBCF，AECF，点M、N分别为AE、CF的中点，MEFN，MEFN，四边形FMEN是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键【变式3-1】（2019春香坊区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AECF（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如果AEEFFC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角

34、形【分析】（1）首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OAOC，OBOD，又由AECF，可得OEOF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，AECF，OAAEOCCF，即OEOF，四边形DEBF是平行四边形；（2）AEEFFC，SADESDEFSCDFSABESBEFSBCF，图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形为ADF，CDE，ABF，CBE【点睛】此题考查了平行四边形

35、的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用【变式3-2】（2019春鄂城区期中）已知：如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AFCE，点G、H分别在AB、CD上，且AGCH，AC与GH相交于点O（1）求证：EGFH；（2）GH、EF互相平分【分析】（1）由平行四边形的性质得到对边平行，得到内错角相等，根据三角形全等，得到边相等，角相等，再由邻补角得到内错角相等，得到两线平行；（2）根据平行四边形的性质和判定得到结论【答案】（1）证明：在ABCD中，ABCD，GAEHCF，AFCE，AFEFCEEF，即；AECF，在AGE与CHF中，AGECHF，GEHF，AEGC

36、FH，GEOHFO，EGFH；（2）由（1）证得GEHF，EGFH，四边形GFHE是平行四边形，GH、EF互相平分【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，注意数形结合，分清平行四边形的性质和判定【变式3-3】（2018春青山区期中）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD36，AB12，求OEF的周长【分析】（1）由平行四边形的性质可得AOCO，BODO，由中点的性质可得EOAO，GOCO，FOBO，HODO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（

37、2）由平行四边形的性质可得EO+FO9，由三角形中位线定理可得EF6，即可求解【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形AOCO，BODO，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点EOAO，GOCO，FOBO，HODOEOGO，FOHO四边形EFGH是平行四边形；（2）AC+BD36，AO+BO18，EO+FO9E、F分别是AO、BO的中点，EFAB，且AB12EF6，OEF的周长OE+OF+EF9+615【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键【考点4 三角形的中位线】【例4】（2019秋长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中

38、点，E，F分别是AB，CD的中点，ADBC，PEF18，则PFE的度数是（）A9B18C27D36【分析】根据中位线定理和已知，易证明EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论【答案】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，FP，PE分别是CDB与DAB的中位线，PFBC，PEAD，ADBC，PFPE，故EPF是等腰三角形PEF18，PEFPFE18故选：B【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识【变式4-1】（2019春相城区期中）如图，ABC中，AB9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在D

39、E上，且DF3EF，当AFBF时，BC的长是（）A9B10.5C12D18【分析】延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可【答案】解：延长AF交BC于H，AFBF，D是AB的中点，DFAB4.5，DF3EF，EF1.5，则DEDF+EF6，D、E分别是AB、AC的中点，BC2DE12，故选：C【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键【变式4-2】（2019春嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，A90，AB12，AD5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点

40、，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A2B5C7D9【分析】根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答【答案】解：连接DN，EDEM，MFFN，EFDN，DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，N与B重合时DN最大，此时DNDB13，EF的最大值为6.5A90，AD5，DN5，EF2.5，EF长度的可能为5；故选：B【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键【变式4-3】（2019春庐阳区期

41、末）如图，ABC的周长为17，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC6，则MN的长度为（）AB2CD3【分析】证明BNABNE，得到BABE，即BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可【答案】解：BN平分ABC，BNAE，NBANBE，BNABNE，在BNA和BNE中，BNABNE（ASA），BABE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），MN是ADE的中位线，BE+CDAB+AC17BC17611，DEBE+CDBC5，MNDE故选：C【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键【考点5 菱形的性质】【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。【例5】（2019春卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于A6B8C14D28【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识