2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】【苏科版】【题型1 A字型】2【题型2 “8”字形】3【题型3 AX字型】4【题型4 子母型】6【题型5 三角形内接矩形型】8【题型6 双垂直型】9【题型7 手拉手型】11【题型8 一线三角型】13【基本模型】如图，在中，点D在上，点E在上，则，模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； 模型拓展2： 如图，ACDBADCACB【题型1 A字型】【例1】（2022湖南永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高

2、是1.5米，那么路灯的高度等于_【变式1-1】（2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【变式1-2】（2022全国九年级专题练习）有一块直角三角形木板，B90，AB1.5m，BC2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示请你用学过的知

3、识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）【变式1-3】（2022云南楚雄九年级期末）直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）ABCD【基本模型】如图1，ABCDAOBCOD；如图2，ADAOBDOC 模型拓展：如图，ACAJBCJD【题型2 “8”字形】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D14【变式2-1】（2

4、022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，BC6，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于点Q，当CQCE时，EP+BP的值为（）A9B12C18D24【变式2-2】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图，在中，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长【变式2-3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点求的值【基本模型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2022河南新乡九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD

5、，则的值为（）ABCD【变式3-1】（2022河北石家庄九年级期末）已知中，（如图）以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点若，求的长；作，垂足为，求证：【变式3-3】（2022湖南株洲九年级期末）如图（1）所示：等边ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1AC于C1交AB的延长线于B1（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断（3）如图（2）所示RtABC中，ACB90，AC8，BC，DEAC交AB于点E，试求的值【基

6、本模型】如图为斜“A”字型基本图形当时，则有如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型当时，则有【题型4 子母型】【例4】（2022重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，则CD的长为_【变式4-1】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，求证：与互为母子三角形（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形求的值【变式4-2】（2022辽宁鞍山二模）在ABC中，ABC2ACB，BD平分ABC交AC于点D（1）如图（1），若AB3，AC5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂

7、线，分别交BC，BD于点E，F求证：ABCEAF；求的值【变式4-3】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AHGF，AGFABC，【题型5 三角形内接矩形型】【例5】（2022秋南岗区校级月考）如图1，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= 【变式5-1】（2022秋道里区期末）如图，正方形EFGH

8、内接于ABC，ADBC于点D，交EH于点M，BC10cm，AD20cm求正方形EFGH的边长【变式5-2】（2022秋八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）【变式5-3】（2022秋渭滨区期末）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，

9、若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN【基本模型】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.常见的结论有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型 【题型6 双垂直型】【例6】（2022秋青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(A、B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD3，BC5，则EF的长是（ ）A. B2 C. D2【

10、变式6-1】（2022秋杜尔伯特县期末）如图所示，在ABC中，ABC90，BDAC，DEBC，垂足分别为D、E两点，则图中与ABC相似的三角形有（）A4个B3个C2个D1个【变式6-2】如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【变式6-3】（2022秋汝州市校级月考）中，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长【基本模型】如图，若ABCADE，则ABDACE.来源:Zxxk.Com如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为 总结：

11、旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似如图所示，则，且【题型7 手拉手型】【例7】（2022春江阴市期中）如图，在ABC与ADE中，ACBAED90，ABCADE，连接BD、CE，若AC：BC3：4，则BD：CE为（）A5：3B4：3C5：2D2：3【变式7-1】（2022秋岳阳县期中）在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说

12、明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写出点D到CP的距离【变式7-2】（2022秋炎陵县期末）如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、，作出图象，求的长【变式7-3】（2022春栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，点M、N分别在直线BC、DC上（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD

13、于点E、F，若，求EF的长【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，BDACE90，则ABCCDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，BACED，则ABCCDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则ACEABCCDE. 补充：其他常见的一线三等角图形 【题型8 一线三角型】【例8】（2022秋灌云县期末）【感知】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），易证（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），若，求AP的长【拓展】如图，在中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时

14、，直接写出AP的长【变式8-1】（2022雨城区校级开学）如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60，2BP3CD，BP1（1）求证ABPPCD；（2）求ABC的边长【变式8-2】（2022秋渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD4，E是BC的中点，连接AE，tanAEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或【变式8-3】（2022秋椒江区校级月考）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证

15、：【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H若，求线段DE的长【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，求的值（用含k的代数式表示） 专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】【苏科版】【题型1 A字型】2【题型2 “8”字形】6【题型3 AX字型】12【题型4 子母型】19【题型5 三角形内接矩形型】26【题型6 双垂直型】31【题型7 手拉手型】35【题型8 一线三角型】44【基本模型】如图，在中，点D在上，点E在上，则，模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； 模型拓展2： 如图，ACDBADCACB【题型1

16、 A字型】【例1】（2022湖南永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_【答案】4.5【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，即，解得，经检验是所列方程的解，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米故答案为：4.5【变式1-1】（2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A

17、匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【答案】（1），；（2）t3或【详解】解：（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面积ANAM（122t）t6tt2，A90，AB6cm，AD12cmABD的面积为ABAD61236，AMN的面积是ABD面积的，6tt2，t26t+80，解得t14，t22，答：经过4秒或2秒，AMN的面积是ABD面积的；（2）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，若AMNABD，则有，即，解得t3，若AMNADB，则有，即，

18、解得t，答：当t3或时，以A、M、N为顶点的三角形与ABD相似【变式1-2】（2022全国九年级专题练习）有一块直角三角形木板，B90，AB1.5m，BC2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）【答案】甲同学【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，DEABCDECBA即x 图2所示，过点B作BHAC，交AC于点H，交DE于点P由勾股定理得：AC，设乙同学加工的桌面边长为ym，DEACBDEBAC即y，即xy，x2y2甲同学的加工方法更好【变式1-3】（2022云南楚雄九

19、年级期末）直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）ABCD【答案】A【详解】分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，垂足为F、E、G，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，AF=4，BE=DG=3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90，BCE+FCA90，FCA+CAF90，EBCFCA，BCECAF，在BCE与ACF中，BCECAF，CF=BE=3，AC=5，AFl3，DGl3，CDGCAF，即，解得：CD=，BD=

20、故选：A【基本模型】如图1，ABCDAOBCOD；如图2，ADAOBDOC 模型拓展：如图，ACAJBCJD【题型2 “8”字形】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D14【答案】C【详解】平行四边形ABCD，AD=BCE为边AD的中点BC=2AEEAC=BCA又EFA=BFCAEFCBF如图，过点F作FHAD于点H，FGBC于点G，则， AEF的面积为2故选C【变式2-1】（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，BC6，动点P在射线EF上，BP交CE于点

21、D，CBP的平分线交CE于点Q，当CQCE时，EP+BP的值为（）A9B12C18D24【答案】C【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G，EGBC，GGBC，GBCGBP，GPBG，PBPG，PE+PBPE+PGEG，CQEC，EQ3CQ，EGBC，EQGCQB，3，BC6，EG18，EP+PBEG18，故选：C【变式2-2】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图，在中，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长【答案】【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点，设，则，又在矩形中，即，解得【变式2-3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点求的

22、值【答案】【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H因为所以，所以因为D为BC的中点，所以因为，所以，所以因为M为AD的中点，所以所以，所以解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H因为，所以，所以因为D为BC的中点，所以因为M为AD的中点，所以，所以因为，所以，所以解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H因为，所以，所以因为M为AD的中点，所以，所以因为，所以，所以因为D为BC的中点，且，所以解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H在中，因为M为AD的中点，所以N为AH的中点，即在中，因为D为BC的中点，所以H为CN的中点，即，所以所以【基

23、本模型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2022河南新乡九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则的值为（）ABCD【答案】C【详解】解：由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，AFBFBCDFG，ABFG，BE平分ABC，ABFCBG，ABFAFBDFGG，ABCD2k，DFDGk，CGCD+DG3k，ABDG，ABECGE，故选：C【变式3-1】（2022河北石家庄九年级期末）已知中，（如图）以线段

24、为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点若，求的长；作，垂足为，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【详解】（1）是等边三角形，在中，点是线段的中点是等边三角形，四边形为平行四边形；（2）如图，连接，交于点，；如图，作，垂足为，【变式3-2】（2022河南鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则_【答案】； 【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，AB/CD，EAFHDF,HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，AB/CD，CHGAEG

25、，AG：CG=AE：CH，AB=CD=2AE，CH=CD+DH=2AE+AE=AE，AG：CG=2：5，AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，AB/CD，EAFHDF，HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，AB/CD，AG：CG=AE：CHAB=CD=2AE，CH=CD-DH=2AE-AE=AE，AG：CG=2：3，AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5故答案为：或【变式3-3】（2022湖南株洲九年级期末）如图（1）所示：等边ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1AC于C

26、1交AB的延长线于B1（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断（3）如图（2）所示RtABC中，ACB90，AC8，BC，DEAC交AB于点E，试求的值【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1） 等边ABC中，线段AD为其内角角平分线， 因为B1C1AC于C1交AB的延长线于B1， CAB60，B1CADBAD30， ADB1D， 综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，ABC为任意三角形，过B点作BEAC交AD的延长线于E点，线段AD为

27、其内角角平分线 ECADBAD，EBDACDBEAB， 又BEAB，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为RtABC中，ACB90，AC8，AD为ABC的内角角平分线， DEAC， DEAC，DEFACF， 【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形当时，则有如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型当时，则有【题型4 子母型】【例4】（2022重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，则CD的长为_【答案】5【详解】解：在CD上取点F，使，由，且， ，又， ， ，又，或舍去，经检验：符合题意，故答案为：5【变式4-1】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已

28、知：如图1，中，是的角平分线，求证：与互为母子三角形（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形求的值【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3【详解】（1）与互为母子三角形，或2，故选：C （2）是的角平分线， 又，与互为母子三角形（3）如图，当分别在线段上时，与互为母子三角形，是中线，又， 如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，是中线，又，综上所述，或3 【变式4-2】（2022辽宁鞍山二模）在ABC中，ABC2ACB，BD平分ABC交AC于点D（1）如图（1），若AB3，AC5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂

29、线，分别交BC，BD于点E，F求证：ABCEAF；求的值【答案】（1）AD；（2）见解析；【详解】（1）ABC2ACB，BD平分ABC，ABDACB.又AA，ABDACB，即，AD（2） 证明：AEAC，AFBD，（3） AFBEAC90.又ABFC，ABFECA，BAFCEA.BAFBAEEAF，AECABCBAE，ABCEAP.如图，取CE的中点M，连接AM.在RtACE中，AMCE，AME2C.ABC2C，ABCAME，AMAB，【变式4-3】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积【答案】（1）证明见解析；（

30、2）；（3）2【详解】（1），在和中，；（2） ，（3） 是等腰直角三角形，（4） ，由（1）可知，点E是AC的中点，在和中，又，；（3）设，是等腰直角三角形，点分别是的中点，在中，由（1）知，即，解得，在中，在和中，即，解得，又，解得，则的面积为【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AHGF，AGFABC，【题型5 三角形内接矩形型】【例5】（2022秋南岗区校级月考）如图1，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=

31、 【答案】（1）；（2）【详解】解：过点作AMBC于点M，AB=AC=5，BC=6，BM=BC=3，在RtABM中，AM=4，四边形DEFG是矩形，DGEF，DEBC，ANDG，四边形EDMN是矩形，MN=DE，设MN=DE=x，DGEF，ADGABC，DG：BC=AN：AM，解得：DG=x+6，四边形DEFG为正方形，DE=DG，即x=x+6，解得x=，正方形DEFG的边长为；（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，DE=故答案为【变式5-1】（2022秋道里区期末）如图，正方形EFGH内接于ABC，ADBC于点D，交EH于点M，BC10cm，AD20cm求正方形EFGH的边长【答案】【

32、详解】解： 四边形EFGH是正方形EHBCAEHABC ，即解得：EH=四边形EFGH的边长为【变式5-2】（2022秋八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）【答案】乙木匠的加工方法符合要求说明见解析【详解】解：作BHAC于H，交DE于M，如图又DEAC，解得设正方形的边长为x米，如图乙DEAB，解得乙木匠的加工方法符合要求【变式5-3】（2022秋渭滨区期末）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，

33、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【详解】解：（1）在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，同理在ACQ和APE中，；（2）作AQBC于点QBC边上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBCAD：AB=1：3，AD=，DE=，DE边上的高为，MN：GF=：，MN：=：，MN=故答案为：证明：B+C=90CEF+C=90

34、，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得，GF2=CFBGMN2=DMEN【基本模型】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.常见的结论有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型 【题型6 双垂直型】【例6】（2022秋青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(A、B)向内折起，点A、B

35、恰好落在CD边的点F处，若AD3，BC5，则EF的长是（ ）A. B2 C. D2【解析】ADBC，ADFFCB180.根据折叠前后的图形全等得到DFDA3，ADEFDE，CFCB5，BCEFCE，EFCB90，FDEFCE90，FCEFEC90，DFEEFC90，FDEFEC，DEFECF，EF2DFCF3515，EF.故选A.【变式6-1】（2022秋杜尔伯特县期末）如图所示，在ABC中，ABC90，BDAC，DEBC，垂足分别为D、E两点，则图中与ABC相似的三角形有（）A4个B3个C2个D1个【解析】在ABC中，ABC90，BDAC，DEBC，AEBDCDE，ADBBEDDECBDCA

36、BC，共有四个三角形与RtABC相似故选：A【变式6-2】如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1），；（2），即，【变式6-3】（2022秋汝州市校级月考）中，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4【详解】证明：（1），在和中，；（2）点为的中点，由（1）已证：，设，则，（等腰三角形的三线合一），又，即；（3）由（2）已证：，即，解得，在和中，由（2）可知，设，则，解得或（

37、不符题意，舍去），则在中，【基本模型】如图，若ABCADE，则ABDACE.来源:Zxxk.Com如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似如图所示，则，且【题型7 手拉手型】【例7】（2022春江阴市期中）如图，在ABC与ADE中，ACBAED90，ABCADE，连接BD、CE，若AC：BC3：4，则BD：CE为（）A5：3B4：3C5：2D2：3【解答】ACBAED90，ABCADE，ABCADE，BACDAE，ACAB=AE

38、AD，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEBAD，ACAB=AEAD，ACEABD，BDCE=ABAC，AC：BC3：4，ACBAED90，AC：BC：AB3：4：5，BD：CE5：3，故选：A【变式7-1】（2022秋岳阳县期中）在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写出点D到CP的距离【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】解：（1）当60时，ABACABC为