二项式定理（精讲）（原卷版）.docx

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1、8.2二项式定理（精讲）一.二项式定理L二项式定理:（a+b） =（:+C旧+ C标厂恸+ C的（N*）项数为+1各项的次数都等于二项式的赛指数，即。与力的指数的和为n字母q按降球排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母人按升球排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到几2 .通项公式：Tk+ = Cankbk=g （r） 它表示第+1 项h （r） =0=4+i是常数项；h （r）是非负整数o+i是整式项；/7 （r）是负整数是分式项；h （r）是整数=7；+i是有理项.3 .二项式系数：二项展开式中各项的系数为盘，C：二.二项式系数的性质一.形如（a+b）（WN*）的展开式中与特定项相关

2、的量（常数项、参数值、特定项等）的步骤写出二项展开式的通项公式n+i=cM,常把字母和系数分离开来（注意符号不要出错）；根据题目中的相关条件列出相应方程（组）或不等式（组），解出r；把代入通项公式中，即可求出公+1,有时还需要先求，再求上 才能求出+1或者其他量.二.求形如WN*）的展开式中与特定项相关的量的步骤根据二项式定理把伍+b严与（+。分别展开，并写出其通项公式；根据特定项的次数，分析特定项可由（。+3?与（c+0的展开式中的哪些项相乘得到；把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.三.求二项式系数最大项1.如果n是偶数，那么中间一项（第+ 1项）的二项式系数最大；2,如果是奇数，那

3、么中间两项（第等项与第等+1项）的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（+云）（a, bR）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4, 山，且第左项系数最大，应用伊：解出北五.求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个 因式中取因式中的量六.二项式定理应用1 .用二项式定理处理整除问题，通常把辕的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式, 再利用二项式定理展开，只考虑

4、后面一、二项（或者是某些项）就可以了.2 .利用二项式定理近似运算时，首先将幕的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使 其满足近似计算的精确度.考点一二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简16 321+ 248/+/=（）D. （l-2x）4B=C；.36+C34+C32 + 1,则 AB 的值为A. %4B. （2-x）4C. （2 + x）4【一隅三反】L （2022高二课时练习）设A=37+C；35+C；33+G.3,A. 128B. 129C. 47D. 02. （2023重庆九龙坡）2c：+6戏+18；+ 2x3iC； =A. -B. （41）C. 2x3

5、tD. （3133v 73V考点二二项式指定项的系数（ 八8【例21】（2023全国高三专题练习）在二项式的展开式中，含x的项的二项式系数为（A.28B.56C.70D.112/1、6【例22】（2022,甘肃兰州,统考一模）2%- 的展开式的常数项是（） I2x）A.40B.40C.20D.20（ i ）【例23】（2023海南海口海南华侨中学校考模拟预测）1 + -T （2-06展开式中产的系数为（） 2x JA. 270B. 240C. 210D. 180【例24】（2023四川绵阳统考二模）（3 + 2x）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的值为（）【一隅三反】（2 Y1. （2

6、023北京高三专题练习）在二项式的展开式中，含/项的二项式系数为（） I x）A. 5B. -5C. 10D. -102. （2023河南驻马店统考二模）（x-1） -2的展开式中的常数项是（） lx ）A. -112B. -48C. 48D. 1123. （2023全国高三对口高考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项 12 X）是（）351( )25235A. -7B. 7C.D.8考点三三项式指定项系数（1V【例3】（2023全国高三专题练习）x2 4-4-2的展开式中常数项是 x）A. 252B. 220C. 220D.【一隅三反】1 .（2023 河北沧州校考模

7、拟预测）的展开式中/产的系数为（）A. -10B. 10C. -30D. 302 .（2023辽宁大连二十四中校联考模拟预测）（、+ 2/-32）6的展开式中肛223的系数为（用数字作答）.（1 V3 .（2023秋福建三明高三统考期末）X-4-2展开式中常数项是.（答案用数字作答） x ）（734 .（2023秋广东广州,高三执信中学校考开学考试）已知二项式l-x+区 的展开式中含乙的项的系数为 Iy）y-40,则”.考点四二项式系数性质【例4】（2023春云南高三云南师大附中校考阶段练习）（1 + 2力6的展开式中二项式系数最大的项是（）A. 160B. 240C. 160x3D. 240

8、/【一隅三反】1 .（2023广东佛山校考模拟预测）（多选）十巴丫的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是 I xj-252,则下列说法正确的是（）A. 77 = 10B.各项的二项式系数之和为1024C. a D.各项的系数之和为10242. （2023西藏日喀则统考一模）已知（l-2x）的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为3. （2023福建厦门统考模拟预测）已知（4-2丫的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,则 I xj展开式中的常数项为.考法五系数最大项和系数和【例51】（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）（x + 2）8的二项展开

9、式中系数最大的项为.【例52（2023辽宁朝阳朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数/（x） = （1 -2x）6 = q（）+卬工 + 4/2 + + R工6 （q.R,，= 0,l,2,34,6）的定义域为R,贝U （）A. % + q + + , , , + 延=1B. 4 + + % = 1364C. 4+2%+343+ + 6&=12D. /（5）被 8 整除余数为 1【一隅三反】L （2023全国模拟预测）x-的展开式中系数最大的项为（） I y） 56x3356x570/A. 70B. 56C. 厂或-zD. y yy2. （2023湖北襄阳度阳四中校考模拟预测）已知（

10、l + 3x）的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开 式中系数最大的项为第（）A. 7 项B. 8 项C. 9 项D. 10项3. （2023春山东青岛）（多选）已知（1+2%）9 =4+。工+。2工2 + a/9,贝I（）A. % =144B .+ Q + % +% +=39C. % +3 +% +。9 =% +2 +% +。6 +。8 = D.=0,1,2,8,9）的最大值为每4.（2023 福建宁德校考模拟预测）（多选）若（2x-1 =旬+q （%-1） +出（工一1+ /0（%一1）; xeR, 则（）A. 。（）=1B. 6 + 凡 + + I。= 31C.3=180D. q

11、+ 2。2 + 3% + , , +100 = 10 x 39考法六二项式定理的应用【例61）（ 2023春,课时练习）设n为奇数，那么11 + C；1尸+ C；1产+.+玛11 _ 1除以超的余数是（）A. -3B. 2C. 10D. 11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22。21天后是（）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六【例63】（2023全国高三专题练习）（1.05）6.【一隅三反】1. （2022全国高三专题练习）1.02屋 （小数点后保留三位小数）.2. （2023辽宁丹东统考一模）228除以7所得余数为.3. （2022秋福建泉州高三福建省南安国光中学校考阶段练习）C:0.998 + C；0.9982 +C；0.9983 +C；0.9984 +0.99 85 才 （精确到 0.01）