2023年马其顿国家队选拔考试数学试题.pdf

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1、12023 年马其顿国家队选拔考试第一天1.对正整数 n 1，记 s(n)为 n 的最小素因子，d(n)为 n 的正约数个数 能否选取 2023 个正整数 a1,a2,a2023，其中 a1 a21 2023k，s(ak+1ak)2023k?2.在锐角 ABC 中，AB AC，AB 1CS.3.设 f：N N 单调递增，且满足对任意 n N，都有 f(f(n)=n2求f(2023)的最大值和最小值第二天4.函数 f：R2 R 满足：对任意平面上的单位正三角形，其顶点 A,B,C满足 f(A)+f(B)+f(C)=0求证：对任意 x R2，f(x)=05.设 Q(x)=a2023x2023+a2

2、022x2022+a1x+a0 Zx 为整系数多项式对奇素数 p，定义多项式 Qp(x)=ap22023x2023+ap22022x2022+ap21x+ap20问：是否存在无穷多少个素数 p，使得对任意 x Z，Qp(x)Q(x)p均为整数？并在所有这样的多项式 Q 中，求 Q(2023)的最大值6.Lucky 和 Jinx 各得到了一张纸，纸上有正 2023 边形的所有 2023 个顶点然后，他们的任务是将所有连接这些点的线段染色，使得其中不存在三边同色或三边均不同色的三角形，也不存在四边同色的四边形（可以不是凸四边形）完成染色后发现，Jinx 用的颜色至少比 Lucky 多了两种，他们每个人各用了几种颜色？