湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、 数学参考答案第 1 页(共 5 页)学科网（北京）股份 有限公司 2023 年常德市高三年级模拟考试年常德市高三年级模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一一一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对

2、的得部分分，有选错的得 0分分 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 15分分 1234 132 14213或333 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 13 分)解：(1)由正弦定理sinsinsinabcABC=，222sinsinsinsinsinABABC+=222ababc+=.2 分 由余弦定理2222222()1cos222abcabababCabab+=.5 分 又(0,)C，23C=.6 分(2)由a,b,

3、c成等差数列，2acb+=.7 分 ABC的面积为15 34，115 3sin24abC=，即15ab=.9 分 由(1)222ababc+=由解得：3,5,7abc=.12 分 15abc+=，故ABC的周长为 15.13 分 16.(本小题满分 15 分)解：(1)每天普及人数不少于 240 人的天数为 3 天，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.1 分()46495042CP XC=，()31634910121C CP XC=，()2263495214C CP XC=，()1363491321C CP XC=.5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A

4、B D A 题号 9 10 11 答案 BC ABC BCD 数学参考答案第 2 页(共 5 页)学科网（北京）股份 有限公司 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 542 1021 514 121()5105140123422114213E X=+=.7 分(2)设原来数据的样本中心点为(,)x y，去掉第 5 天的数据后样本中心点为(,)xy()11234678958x=+=，55xxx=.8 分()115078098 129 150 19025829231088y=+=.10 分 故995555511992225119()8()88()()()iiiiiiiiiiyyx yxyxy

5、x yxyxbxxxxxx=955519219()iiiiix yxyxyx yxx=+=91921918003060()iiiiix yx yxx=.13 分 150730730 588aybx=，307308yx=+.15 分 17.(本小题满分 15 分)解：(1)证明：取 AD 的中点 O，PAPD=，POAD.1 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面ABCD.3 分 又BD 平面ABCD，POBD.4 分/ABCD，90ABC=，224ABBCCD=2 2BDAD=，222BDADAB+=，BDAD.5 分 又POADO=，,PO AD 平面PAD，

6、BD平面PAD.6 分(法二：/ABCD，90ABC=，224ABBCCD=2 2BDAD=，222BDADAB+=，BDAD.3 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BD 平面ABCD BD平面PAD.6 分 阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的PO 平面ABCD扣 2 分）(2)11144 233233B PADP ABDABDVVSPOAD BD POPO=，2PO=.8 分 取 PB 的中点 M，又N为AP的中点，/MNAB，又/ABCD，/MNCD 平面NCD即为平面MNDC，数学参考答案第 3 页(共 5 页)学科网（北京）股份 有限公司 D

7、M为平面NCD与平面PBD的交线l.10 分 取 AB 的中点 Q，连结 OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ 两两垂直.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)A，(2,0,0)D，(2,2 2,0)B，22(,2,)22M.11 分 设平面PAB的法向量为n(,)x y z=，(2,0,2)PA=，(2,2 2,2)PB=则22022 220 xzxyz=+=，取1x=，则1,1zy=，n(1,1,1)=.13 分 设直线l与平面PAB夹角为，22(,2,)22DM=则sin|cos,DM=n2222 222|3112322+=+故直线l与平面PAB夹角的正弦值2

8、 23.15 分 18.(本小题满分 17 分)解：(1)由题易得()()0,1,0,1AB 设()000,1P xyy，则00012300011,yyykkkxxx+=，.1 分 312114kkk=+，000000411xxyyyx+=+.3 分 化简得：22002(1)yx=又()00,P xy在椭圆上，220021xya+=由得222002(1)(1)yay=又01y，22a=.5 分 故椭圆 C 的标准方程2212xy+=.6 分(2)设直线 PA 的平行线与椭圆相交于点 E、F（E 在上方）；直线 PB 的平行线与椭圆相交于点 G、H（G 在上方）.直线 EF 的方程为1yk x=

9、，直线 GH 的方程为2yk x=.又22000012220000111112(1)2yyyyk kxxxy+=，2112kk=.8 分 数学参考答案第 4 页(共 5 页)学科网（北京）股份 有限公司 联立12212yk xxy=+=，解得22122121221221xkkyk=+=+21212212kOEOFk+=+.10 分 联立1221212yxkxy=+=，解得22121221421121kxkyk=+=+21211412kOHOGk+=+.12 分 设直线 EF 的倾斜角为，直线 GH 的倾斜角为，,EOxGOx=1211tan,tan2kkk=则1122221111211sin,

10、cos,sin,cos111 41 4kkkkkk=+()21221112sinsinsincoscossin114kEOGkk+=+.14 分 四边形面积为()()()()222111222211111122sin2sin222sin142212212121142 2OEGEOHSSSOE OGOE OHOE OGkkkkkkk=+=+=+=+=故该四边形的面积为定值2 2.17 分 19.(本小题满分 17 分)解：（1）()2cossinxxxfxx=，设()cossing xxxx=，又()singxxx=.1 分 当(0,x时，()()sin0,0,xgxg x在()0,上单调递减，

11、()()00g xg=，()g x在()0,上无零点.2 分 当(,2x时，()()sin0,0,xgxg x在(),2上单调递增，数学参考答案第 5 页(共 5 页)学科网（北京）股份 有限公司 ()0,(2)20gg=，()g x在(),2上有唯一零点.3 分 当(2,3x时，()()sin0,0,xgxg x在()2,3上单调递减，()()20,30gg，()g x在(2,3上有唯一零点.4 分 综上，函数()g x在区间()0,3上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，故函数()f x在区间()0,3内恰有两个极值点.5 分（2）由（1）知()f x在(0,x无极值点；在(,2x有极

12、小值点，即为1x；在(2,3x有极大值点，即为2x，同理可得，在(3,4有极小值点3x，在()(,1nn+有极值点()nx nN，由cossin0nnnxxx=得tannnxx=，()21211,tantantanxxxxx=+，35()0,1,(2)0,022gggg=，1221355,2,2,222xxx x+.8 分 由函数tanyx=在52,2单调递增得21xx+，()()1212121212sinsincoscosxxaaf xf xxxxx+=+=+=+，由cosyx=在52,2单调递减得()211coscoscosxxx+=()()12120aaf xf x+=+.11分 同理(

13、)21221,2,2,222nnxnnxnn+，221222nnnxxn+，由cosyx=在()2,22nnn+N上单调递减得221coscosnnxx，()()221221221coscos0nnnnnnaaf xf xxx+=+=+，()()2221210,0nnnnaf xaf x=.13 分 当n为偶数时，na的相邻两项配对，每组和均为负值，即()()()()()()123410nnnSf xf xf xf xf xf x=+.15 分 当n为奇数时，na的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即()()()()()()()1234210nnnnSf xf xf xf xf xf xf x=+，综上，对一切*,0nnSN成立，故不存在*nN使得0nS.17 分