重庆市西南大学大附中、育才中学高2025届拔尖强基联盟高二下三月联合考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页 共 4 页西南大学附中重庆育才中学高 2025 届拔尖强基联盟高二下三月联合考试数 学 试 题（满分：150 分；考试时间：120 分钟）命题学校：2024 年 3 月注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。3考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）。第卷一选择题：本题共第卷一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每

2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数求导正确的是AxxsincosB212lnC 34xxD 2ln22xx2设函数 xf在R上可导，其导函数 xf 的图象如图所示，则A函数 xf有极大值 1fB函数 xf有极大值 2fC函数 xf的单调递增区间为1,0D函数 xf的单调递增区间为2,03已知7,6,3a，5,4,2b，则方程22221xyab可表示焦点在x轴上的不同椭圆的个数为A9B8C7D64在等差数列 na中，1273 aa，则27SS 的值是A12B18C24D305已知 xf 是函数 Rxxf的导数，且Rx，xx

3、f2，52 f，则不等式 12 xxf的解集为A2,B,2C2,D,26已知正项数列 na满足*3131loglogNnaann，且9753aaa，则6423logaaa的值是A1B 2C3D4#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#第 2 页 共 4 页7 如图，已知21,FF是双曲线0,01:2222babyaxC的左、右焦点，P、Q 为双曲线 C 上两点，满足PFQF123，且QFPF22，则双曲线 C 的离心率为A210B25C315D5108已知函数 221axexfx，若对任意两个不等的正实数21,xx都有 121

4、21xxxfxf恒成立，则a的取值范围是A1,B1,C1,0D1,0二二选择题：本题共选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 6 分，部分选对得分，部分选对得部分分部分分，有选错的得，有选错的得 0 分分9下列计算正确的是AmnnnnAmn21B21037AC11mnmnnAAD202020242024654A10 定义：设 xf 是 xf的导函数，xf 是函数 xf 的导数，若方程 0 xf有实数解0 x，则称点00,xfx为函数 xfy 的“拐点”.经

5、过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 bxaxxxf323图象的对称中心为3,0，则下列说法中正确的有A0a，3bB函数 xf的极大值与极小值之和为 6C函数 xf有三个零点D函数 xf在区间3,3上的最小值为 111 已知直线1ymx经过抛物线02:2ppyxE的焦点F，与E交于A，B两点，与E的准线l交于点C，则A2pB若FBAF3，则33mC若1,0 N，则AFAN的取值范围是2,1D若FA，AC，FB成等差数列，则BFFC 第第卷卷三填空题：本题共三填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12一水平弹簧

6、振子做简谐运动，其位移与时间的函数为 36sin2tts(s的单位是cm)，则st2时，弹簧振子瞬时速度是scm/#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#第 3 页 共 4 页13甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在第二十条、飞驰人生 2、热辣滚烫、周处除三害四部电影中任选一部，则不同的选法有种；若至少有一人选择第二十条，则不同的选法有种14若实数1x，2x分别是方程3)1ln(xx，2lnexx的根，则221xxx的值为_四解答题：本题共四解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分解答应写出文字说明，证明过程或演

7、算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题 13 分）已知函数 xeaaxxxf2在 00f，处的切线平行于直线012 yx（1）求a的值；（2）求 xf的极值16（本小题 15 分）已知数列 na的前n项乘积为nT，即nnaaaaT321，若对*,2Nnn，都有2112nnnTTT成立，且4,221aa（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb的前n项和为nS，且,1log2nnTb求使得916nS成立的n的最大值17（本小题 15 分）已知椭圆01:2222babyaxC的离心率为23e，且过点21,3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为A，左焦点为F，过点

8、A的直线交椭圆于点P（P不与顶点重合），交y轴于点Q，且满足AQAP，若OPQOAPSS52，求直线AP的方程#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#第 4 页 共 4 页18（本小题 17 分）已知函数 xaxaxf11ln（1）讨论 xf的单调性；（2）设 1cosxxfxF，求证：当1a时，xF在区间,1上有且仅有 2 个零点19（本小题 17 分）对于整系数方程 0 xf，当x的最高次幂大于等于3时，求解难度较大我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根1x，则)()()(1xgxxxf，若0)(xg已经可

9、以求解，则问题解决；否则，就对0)(xg再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决求根的过程中常用到有理根定理：有理根定理有理根定理：如果整系数方程）（000111nnnnnaaxaxaxa有有理根srx，其中Zsr、，0s，1),(rs，那么0|ar，nas|符号说明：对于整数m，n，),(nm表示m，n的最大公约数；nm|表示n是m的倍数，即m整除n（1）过点)1,3(P作曲线xxy3的切线，借助有理根定理求切点横坐标；（2）试证明有理根定理；（3）若整数a，b不是3的倍数，且存在有理数x，使得01222223xbxax，求a，b#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQ

10、kBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#答案第 1页，共 5页西南大学附中重庆育才中学高 2025 届拔尖强基联盟高二下三月联合考试数学参考答案及评分意见数学参考答案及评分意见题号1234567891011答案DBCDBAABBCABACD8解析：因为 12121xxxfxf，不妨设021 xx，则有 2121xxxfxf，即 2211xxfxxf，令 xxfxg，由函数单调性可知，xg在,0上单调递增，则 011axexfxgx在,0上恒成立.法一：若01 axex，则1 axex，又过点1,0且与xey 相切的切线方程为1 xy，由函数图象可知，只需1a即可.法二：若01 axe

11、x，则,001minxaxex，令 1axexhx，aexhx，若1a，则 0 xh，xh在,0上单调递增，00 hxh，符合题意，所以1a；若1a，令 0 xh，则axln,0，所以 xh在aln,0上单调递减，所以 00 hxh，不合题意，舍；综上1a.法三：若01 axex，则,01xaxex，,01minxaxex令,01xxexsx，则 22111xxexexexsxxx，令 11 xextx，01xxxxeexext，所以 xt在,0上单调递增，00 txt，则 0 xs，所以 xs在,0上单调递增，由洛必达法则知11lim1lim00 xxxxexe，所以1a.11解析：因为直线

12、1ymx过点1,0，即1,0F，所以2p，A 选项正确；过 A 作lAA 1于1A，过 B 作lBB 1于1B，则AFAA 1，BFBB 1，若点 A 在第二象限，过 B 作1AABD 于 D，因为FBAF3，所以21ABAD，所以斜率33k，则3m，#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#答案第 2页，共 5页同理，当点 A 在第一象限时，3m，B 选项错误若(0,1)N，设11,yxA，则11411121112121yyyyyxAFAN，令111 yt且2t，110t，且211t，所以2,12211444442222ttt

13、ttttAFAN，C 选项正确；因为FBACFA,成等差数列，所以FAFBAC2，可得BCAC31，又AFAA 1，BFBB 1，所以1131BBAA 即BFAF31，且BCBFAF32，所以BCAF61，BCBF21，所以 F 为 BC 中点，则BFFC，选项 D 正确.题号121314答案664，372e14解析：21,xx分别是方程2ln,3)1ln(exxxx的根，22211ln,3)1ln(exxxx，即21)1ln(11xx，变形为2ln)1ln()1(11xex，从而222)1(1ln)1(1xxeexx，同构得：22)1()1(lnln11xxeexx且1,21xx.设xxxf

14、ln)(，xxfln1)(，即)(xf在),1(上单调递增，又)()(2)1(1xfefx，2)1(1xex，从而22212221ln)1(exxxxxxx.15（1）由已知可得 xxxeaaxxxeaaxxeaxxf222222 分 1220aaf5 分（2）由（1）得 2122xxexfexxxfxx6 分当2，x时，0 xf，函数 xf单调递增；当1,2x时，0 xf，函数 xf单调递减；当，1x时，0 xf，函数 xf单调递增；9 分故极大值为252ef11 分极小值为 ef113 分16解：（1）由2222111211naaTTTTTTTnnnnnnnnn3 分又由已知条件可得,21

15、2aa 则 na为公比为 2 的等比数列，nna2.6 分（2）21212222nnnnT8 分则11121221log2nnnnbnnTnn 10 分#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#答案第 3页，共 5页所以 111211131212112nnnSn12 分若9161112nSn，则8n.14 分又因为*Nn，所以n的最大值为 7.15 分17解：（1）由题知23ace即4322ac，所以224ba；2 分又点21,3在椭圆上，即1414322bb，解得12b，4 分所以3,2ca，5 分则椭圆C的标准方程1422

16、yx；6 分（2）设直线AP的方程为：2 myx，pPyxP,，QyQ,0，myQ2，7 分因为OPQOAPSS52，所以52212121PQPOAPOAQOAPOPQOAPyOAyOAyOASSSSS，即52PQPyyy，则有72QPyy，又AQAP，可得py与Qy同号，所以72QPQPyyyy，10 分联立椭圆 C 和直线AP的方程：21422myxyx得myym4422，则442mmyP，12 分所以722442mmmyyQP即322m，36m，14 分所以直线AP的方程为：0663yx或0663yx.15 分18解：解：（1）111111xxxaaxaxf当0a时，令 0 xf，,11

17、ax，所以 xf在,11a上单调递增，令 0 xf，11,1ax，所以 xf在11,1a上单调递减，2 分当10 a时，0 xf，所以 xf在,1上单调递增，4 分当1a时，令 0 xf，11,1ax，所以 xf在11,1a上单调递增，#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#答案第 4页，共 5页令 0 xf，,11ax，所以 xf在,11a上单调递减，6 分综上所述：当0a时，xf在,11a上单调递增，在11,1a上单调递减；当10 a时，所以 xf在,1上单调递增；当1a时，xf在11,1a上单调递增，在,11a上单调递减

18、.（2）由题 1cos1ln1cosxxxxfxF，xxxFsin11，令 xxxFxgsin11，则 xxxgcos112，当0,1x时，0 xF，则 xF在0,1上单调递增，所以 00 F，所以 xF在0,1上有一个零点，即0 x8 分当2,0 x时，0 xg，则 xF在2,0上单调递减，9 分又 010F，011212F，所以存在2,0m使得 0mF，10 分则当mx,0，0 xF，xF在m,0上单调递增，当2,mx，0 xF，xF在2,m上单调递减，而 00 FmF，0121ln2F，所以 xF在2,m上必存在唯一零点，即 xF在2,0上存在唯一零点 12 分当,2x时，xg在,2上单

19、调递增且02g，01112g，所以存在,2n，使得 0ng，13 分当nx,2时，0 xg，所以 xF在n,2上单调递减，当,nx时，0 xg，所以 xF在,n上单调递增，又 02FnF，011F，所以存在,nt，使得 0tF15 分则当tx,2时，0 xF，xF在t,2上单调递减，当,tx时，0 xF，xF在,t上单调递增，所以 02FtF，021lnF，所以 xF在,2上无零点.17 分综上，xF在,1上有且仅有 2 个零点.#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#答案第 5页，共 5页19解：（1）设切点为),(0300

20、 xxx，132 xy，3113003020 xxxx即：0292030 xx.1 分由有理根定理知，该方程有理根可能为：21,2,1，经验证21满足方程，即有理根有210 x2 分进一步分解因式为：0)24)(12(0200 xxx，即：210 x或620 x或620 x4 分（2）因为sr是 xf的一个有理根，因此在有理数域上|srx0111axaxaxannnn，从而|rsx 0111axaxaxannnn5 分所以，可将)(xf分解为：0111axaxaxannnn011.bxbrsxnn，式中01,bbn都是整数6 分比较两边系数，即得001,rbasbann.因此，0|,|aras

21、n.8 分（3）求解之前先引入下面引理：引理方程01222223xbxax不存在整数解.证明：假设存在整数解n，即01222223nbnan，变形为1)22(222bnannn是1的约数，即1n.9 分当1n时，02322ba，因此不成立.10 分当1n时，01222 ba，即1222 ba.又因为整数ba,不是3的倍数，不妨设13 ma，Zmma,23即1)23(322mma，或1)143(322mma.同理可得2b情形；3除以222ba的余数为2与1矛盾.12 分不存在整数解n.下面正式求解：假设这样的x写成最简分数是srx，其中1),(sr.根据引理，1s，因此2s01222223srbsrasr，化简得到2222322ssrbrasr.注意到22222ssrbsa是整数，所以s是32r的约数.另外rs,互质，所以2s14 分代入回上面的式子，得到22244brarr，即r是 4 的约数.考虑到rs,互质，1r.15 分分别代入即可，当1r时，,05422 ba矛盾.当1r时，也就是03422 ba，322abab.可得：1,1,1,1,1,1,1,1,ba17 分#QQABSYQAoggAAoBAAAhCAQ0SCgMQkBCCCIoORFAAoAAAyAFABAA=#