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1、第三周星期一(三角)2023年_月_日1.在平面四边形ABCD中,AB4,AD2,对角线AC与BD交于点E,E是BD的中点,且2.(1)若ABD,求BC的长;(2)若AC3,求cosBAD.解(1)在ABD中,AB4,AD2,ABD,由正弦定理得.所以sinADB1,因为0 ADB,所以ADB.所以BD2,所以DEBE,AE.所以cosAEDcosBEC.因为2,所以EC.在BEC中,由余弦定理得,BC2BE2EC22BEECcosBEC22,所以BC.(2)法一因为AC3,2,所以AE2.设DEBEx,在ABD中,由余弦定理得cosADB.在AED中,由余弦定理得cosADB,所以,解得x2
2、.所以BD4.在ABD中,由余弦定理得cosBAD.法二因为AC3,2,所以|2,在ABD中,E为BD的中点,所以2,平方得|2|224|2,即168242cosBAD16,解得cosBAD.星期二(数列)2023年_月_日2.已知数列an满足a12a23a3nan(n1)2n12.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,证明:Tn0,所以Tn0,所以(3,0,22),(0,2,0).设平面QAD的法向量为n2(x2,y2,z2),则即可取n2(22,0,3).因为平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60,所以|cosn1,n2|,所以,解得或2(舍),所以,所以|
3、.星期五(解析几何)2023年_月_日5.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线yx1与E相切.(1)求E的方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点分别为A,B,证明:PAPB.(1)解依题意可设E的方程为y22px(p0),联立得x22(1p)x10,依题意得4(1p)240,解得p2或p0(舍去),故E的方程为y24x.(2)证明由(1)知E的准线方程为x1,设P(1,m).设过点P且与E相切的直线l的斜率为k,则l:ymk(x1),联立得ky24y4(mk)0,则1616(mk)k0,即k2mk10,由题意知,直线PA,PB的斜率k1,k2为方程k2mk10
4、的两根,则k1k21,故PAPB.星期六(函数与导数)2023年_月_日6.(2022湖南长郡中学质检)已知函数f(x)ex1,g(x)aln x.(1)若函数h(x)f(x)g(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a0时,若f(x),g(x)的图象存在公切线l,求ln a的取值范围(x表示不大于x的最大整数).解(1)由题意得,h(x)ex10在(0,)上恒成立.即axex1在(0,)上恒成立.令r(x)xex1(x0),则r(x)(x1)ex10,r(x)xex1在(0,)上单调递增.r(x)0,a0.实数a的取值范围是(,0.(2)当a0时,设公切线l在曲线yf(x)上的
5、切点为A(x0,ex01),则切线方程为ye x01xe x01(1x0).设公切线l在曲线yg(x)上的切点为B(x1,aln x1),则切线方程为yxa(ln x11),x01x1x1ln x1,ax1e x01,ln ax1ln x1x1ln x1.令F(x)xln xxln x(x0),F(x)ln x.又F(x)在(0,)上单调递减,且F(1)10,F(2)ln 20,x2(1,2)满足F(x2)0,即ln x2,F(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,)上单调递减.F(x)maxF(x2)ln x2x2x2ln x2x21,ln a1.综上,ln a的取值范围是ln a|ln
6、a1且ln aZ.星期日(选考部分)2023年_月_日在下面两个题目中任选一题作答,注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分.7.选修44:坐标系与参数方程已知极点与坐标原点O重合,极轴与x轴正半轴重合的极坐标系中,M是曲线C:2sin 上任一点,点P满足3.设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的直角坐标方程;(2)已知曲线Q向上平移1个单位长度后得到曲线N,设曲线N与直线l:(t为参数)相交于A,B两点,求|OA|OB|的值.解(1)设P(,),3,点M的极坐标为,把点M代入曲线C,得2sin ,即曲线Q的极坐标方程为6sin .26sin ,又x2y22,ysin ,x2y
7、26y,x2(y3)29,曲线Q的直角坐标方程为x2(y3)29.(2)曲线Q向上平移1个单位长度后得曲线N,则曲线N的方程为x2(y4)29.直线l的参数方程可化为代入曲线N的方程得t24t70,322840,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1t24,t1t27,|OA|OB|t1|t2|t1t24.8.选修45:不等式选讲已知函数f(x)|2x4|x1|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)若不等式f(x)a22a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)不等式f(x)6等价于或或解得x1或x3.不等式的解集为(,13,).(2)由(1)知:当x1时,f(x)6;当1x2时,3f(x)2时,f(x)3.故函数f(x)的值域为3,),即f(x)的最小值是3.不等式f(x)a22a对一切实数x恒成立,a22a3,解之得3a1,故实数a的取值范围是3,1.