创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题27　非对称韦达定理.doc

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1、微专题27非对称韦达定理在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，我们常联立方程组，利用韦达定理整体代入来解决；但是有些情况，如有些定点、定值、定线问题，我们发现把韦达定理整体代入并不能完全消除两根，把这类问题称之为非对称韦达定理.类型一两式相除，和积转化把韦达定理两式相除得到两根的和积关系，然后把两根的积(或和)式代入，是非对称韦达定理化简时常用的方法. 例1 (2022郑州调研)已知双曲线C：1(a0，b0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上.(1)求C的方程；(2)过点(3，0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点.(1)解M3与

2、M4关于原点对称，由题意知双曲线一定过M3和M4两点.当双曲线过M1，M3，M4时，有则0无解；当双曲线过M2，M3，M4时，有解得故C的方程为y21.(2)证明设直线l：xmy3代入y21，整理得(m23)y26my60，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，由韦达定理得 得m，即my1y2y1y2，直线AQ：yy1(x1)，令y0，解得x，x2，直线过定点(2，0).当直线l与x轴重合时，直线AQ也过点(2，0).训练1 过椭圆C：1的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：x4的垂线，垂足为E.(1)已知直线EN过定点P，求定点P的坐

3、标.(2)点O为坐标原点，求OEN面积的最大值.解(1)由题意知F1(1，0)，设直线MN方程为xmy1，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(4，y1)，由得(3m24)y26my90，则y1y2，y1y2， 得，直线EN方程为yy1(x4).令y0，得x444，又my1y2(y1y2)，故x44，因此直线EN过定点.(2)由|y1y2|，得SOEN|OP|y1y2|15.故OEN面积的最大值为.类型二第三定义法(斜率之积，e21)1.在椭圆1(ab0)中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若kPAkPB存在，则kPAkPB(反之亦成立).2.在双曲线1(a0

4、，b0)中，A，B两点关于原点对称，P是双曲线上异于A，B两点的任意一点，若kPAkPB存在，则kPAkPB(反之亦成立).注：若焦点在y轴上时，椭圆满足kPAkPB，双曲线满足kPAkPB.例2 (2022成都诊断改编)已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于P，Q(点P在x轴上方)，设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数，使得k1k20？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.解由题意知F(2，0)，设PQ的直线方程为xmy2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(95m2)y220my250，则y1y2，y1y2，95m240恒成立

5、.直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，则k1，k2.假设存在，满足k1k20，即k1k2，则.即.法一(双参变单参)由得，所以my1y2，为定值.法二(和积转化法)，为定值.法三(第三定义法)由A(3，0)，B(3，0)，得kPA，kPB，又P在1上，得1，即y5，故kPAkPB.为定值.法四(极点、极线法)由1得F点对应的极线为1，即x，令APBQM，由kAPkMA，kBQkMB，得，即.训练2 (2022潍坊模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的虚轴长为4，直线2xy0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双

6、曲线C于M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值.(1)解由题意双曲线方程为x21.(2)证明由题意知，直线l过点(2，0)，直线MN斜率不能为零，故设直线MN方程为xmy2，M(x1，y1)，N(x2，y2).由联立得(4m21)y216my120，则而得，my1y2(y1y2)，法一又k1，k2，.法二由题意得kMA，kMB，由x1，得y4(x1)，kMAkMB4，即k1kMB4，k1.又k2kNB，44.法三点T(2，0)对应的极线方程为1，即x.延长NB交MA于Q，则MABNQ，k1kMAkQA，k2kNBkQB，故.一、基本技能练1.已知A

7、，B分别为双曲线C：x21的左、右顶点，过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点(异于A，B)，求直线AP，BQ的斜率的比值.解由题意知F(2，0)，设直线PQ的方程为xmy2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程得(3m21)y212my90，则y1y2，y1y2， 而得，my1y2(y1y2).又kAP，kBQ，.所以直线AP，BQ的斜率的比值为.2.(2022西安调研)在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为的椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，ABM的面积最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线xt(

8、t2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.解(1)设椭圆C的半焦距为c，依题意， 又ABM的面积最大值为2，所以2ab2，即ab2，又a2b2c2， 联立，得a24，b23，c21，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l：xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组整理得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2，故my1y2(y1y2).易得直线AM：y(x2)与直线xt相交于T，因为k1，k0，k2成等差数列，所以2k0k1k2，即2，所以13，进而解得t4，所以实数t的值为4.3.已知椭圆C：1(

9、ab0)的离心率为，其短轴长为2，设直线l：x4，过椭圆右焦点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，过点A作ADl，垂足为D.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标.(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为1.(2)证明由题得F(1，0)，设直线AB：xmy1(mR).A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(4，y1)，联立方程得(3m24)y26my90， 所以y1y2，y1y2，且2my1y23(y1y2)，因为B(x2，y2)，D(4，y1)，所以直线BD的方程为yy1(x4)，由xmy1，得yx4y1x，将2my1y23(y1y2)代入式

10、，则直线BD的方程为y，直线BD过定点E.二、创新拓展练4.设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k12k20，求直线F1M的方程.解设M(x1，y1)，F1M直线方程xmy1交C于M1(x2，y2)，由得(8m29)y216my640，则y1y2，y1y2.则my1y24(y1y2)，又k1，k2，所以3k12k20，则3y1(x23)2y2(x13)0，即3y1(my22)2y2(my12)0，可得5(4)(y1y2)6y14y20，则14y116y20，即y1y2.y1y2，y2，即y2，y10，m0.由y1y2，得216m29，解得m或m(舍)，直线F1M的方程为y12x120.