创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题.doc

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1、微专题5与平面向量有关的最值、范围问题高考定位1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇融合.2.此类问题一般以选择题或填空题的形式出现.1.(2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1 C.2 D.2答案A解析法一设O为坐标原点，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线yx(x0)上，如图，数形结合可知|

2、ab|min|1.故选A.法二由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0.取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.2.(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为()A.3 B.2 C. D.2答案A解析如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为：y2x2，C方程为：(x1)2(y2)2r2，又(1，0)，(0

3、，2)，则(，2)，又圆与直线BD相切，则半径r.因为P点坐标可表示为x1rcos ，y2rsin 2，则2sin rcos 2sin()，当sin()1时，有最大值，为23.3.(2022北京卷)在ABC中，AC3，BC4，C90.P为ABC所在平面内的动点，且PC1，则的取值范围是()A.5，3 B.3，5C.6，4 D.4，6答案D解析以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，则x2y21，(3x，y)，(x，4y)，所以x23xy24y(y2)2.又(y2)2表示圆x2y21上一点到点距离的平方，圆心(0

4、，0)到点的距离为，所以，即4，6，故选D.4.(2020浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1e2|.设ae1e2，b3e1e2，向量a，b的夹角为，则cos2的最小值是_.答案解析法一设e1(1，0)，e2(x，y)，则a(x1，y)，b(x3，y).由2e1e2(2x，y)，故|2e1e2|，得(x2)2y22.又有x2y21，得(x2)21x22，化简，得4x3，即x，因此x1.cos2，当x时，cos2有最小值，为.法二单位向量e1，e2满足|2e1e2|，所以|2e1e2|254e1e22，即e1e2.因为ae1e2，b3e1e2，a，b的夹角为，所以cos2 .不妨设te

5、1e2，则t，cos2 ，又y在上单调递增.所以cos2 .所以cos2 的最小值为.法三由题意，不妨设e1(1，0)，e2(cos x，sin x).因为|2e1e2|，所以，得54cos x2，即cos x.易知a(1cos x，sin x)，b(3cos x，sin x)，所以ab(1cos x)(3cos x)sin2x44cos x，|a|2(1cos x)2sin2 x22cos x，|b|2(3cos x)2sin2 x106cos x，所以cos2 .不妨设mcos x，则m，cos2 ，又y在上单调递增，所以cos2 ，所以cos2 的最小值为.热点一向量数量积的最值或范围问

6、题数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算. 例1 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A.(2，6) B.(6，2)C.(2，4) D.(4，6)答案A解析法一如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(1，).设P(x，y)，则(x，y)，(2，0)，且1x3.所以(x，y)(2，0)2x(2，6).故选A.法二|cosPAB2|cosPAB，又|cosP

7、AB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.又22cos 306，22cos 1202，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，(2，6)，故选A.规律方法结合图形求解运算量较小，建立坐标系将用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.训练1 如图，在矩形ABCD中，AB3，AD2，DE2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为_.答案解析以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则E(2，2)，M(3，1)，又(3，0)，(0，2)，令(1)(3，22)，01，故P(3，22)，则(23

8、，2)，(33，21)，(23)(33)2(21)132176，所以时，取最小值.热点二向量模的最值或范围问题向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求. 例2 (1)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.(2)若向量a(x，2)，b(3，y)，c(1，2)，且(ac)(bc)，则|ab|的最小值为_.答案(1)5(2)解析(1)如图，以DA，DC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0

9、，0)，设P(0，b)(0ba)，则(2，b)，(1，ab)，3(5，3a4b)，|3|5，即当3a4b时，取得最小值5.(2)由题设，ac(x1，4)，bc(4，y2)，又(ac)(bc)，(ac)(bc)4(x1)4(y2)0，则xy30，又ab(x3，2y)，则|ab|，求|ab|的最小值，即求定点(3，2)到直线xy30的距离，|ab|min.规律方法模的范围或最值常见方法(1)通过|a|2a2转化为实数问题；(2)数形结合；(3)坐标法.训练2 已知a，b为非零向量，且|a|ab|1，则|2ab|b|的最大值为_.答案2解析法一设a(1，0)，b(cos 1，sin )，则|2ab|

10、b|22.法二设则且|n|m|1，所以|2ab|b|nm|nm|2.热点三向量夹角的取值范围问题求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 例3 若平面向量a，b，c满足|c|2，ac2，bc6，ab2，则a，b夹角的取值范围是_.答案解析设c(2，0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，设a，b的夹角为，ac2x12x11，bc2x26x23，所以a(1，y1)，b(3，y2)，ab3y1y22y1y21y2，所以cos ，当且仅当y1时，等号成立，显然cos 0，即0cos ，又0，故0，b0.若A，B，C三点

11、共线，则的最小值是_.答案4解析A，B，C三点共线，设x，即(a1)e1e2x(be12e2)，e1，e2是平面内两个不共线的向量，解得x，a1b，即ab1，a0，b0.1122224.当且仅当，即b2a，即a，b1时，取等号，故最小值为4.一、基本技能练1.已知向量a(，1)，b(1，)，则|ab|(R)的最小值为()A.2 B. C.1 D.答案C解析由题意可得ab(，1)(1，)(1，)，所以，|ab|2(1)2()2424441，故当时，|ab|取得最小值1.2.已知a(x，y)，b(x1，9)(x0，y0)，若ab，则xy的最小值为()A.6 B.9 C.16 D.18答案C解析a(

12、x，y)，b(x1，9)(x0，y0)，ab，9xy(x1)0，9xyxy，即1，x0，y0.xy(xy)1010216，当且仅当，即x4，y12时取等号，所以xy的最小值为16.3.若向量a(1，2x)，b(4，2x)，则向量a与b的夹角为锐角的充要条件是()A.(2，2)B.(0，)C.(，2)(2，)D.(1，0)(0，1)答案D解析因为a(1，2x)，b(4，2x)且向量a与b的夹角为锐角，所以ab0且a与b不共线，所以解得1x0)上运动，若的最小值为4，则实数a的值为()A.2 B.4 C.5 D.6答案C解析()()|2|21，由题得|的最小值为，即点O到直线的距离为，a5.6.已

13、知向量a(1，2x)，b(0，2)，则的最大值为()A.2 B.2 C. D.1答案D解析由向量a(1，2x)，b(0，2)，得，当x0时，0，当x0时，1，当且仅当4x，即x时，取等号，综上，的最大值为1.7.已知单位向量a，b满足|ab|2ab0，则|tab|(tR)的最小值为()A. B. C. D.答案B解析由|ab|2ab0，得|ab|2ab，两边平方，得a22abb212(ab)2，即12(ab)22ab20，整理得(2ab1)(3ab1)0，所以ab或ab.因为|ab|2ab0，所以ab0，所以ab，所以|tab|.8.(2022苏州模拟)已知ABC为等边三角形，AB2，ABC所

14、在平面内的点P满足|1，则|的最小值为()A.1 B.21C.21 D.1答案C解析因为|2222|2|22|cos 12，所以|2，由平面向量模的三角不等式可得|()()|21.9.(2022九江模拟)点O为坐标原点，若A，B是圆x2y216上的两个动点，且AOB120，点P在直线3x4y250上运动，则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6答案A解析如图，取线段AB的中点M，连接OM，则OMAB，A，B是圆x2y216上的两个动点，且AOB120，则OM2，即M点的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆，()()2()212，设原点到直线3x4y250的距离为d，则d5，PMmind23

15、，的最小值是3.10.(2022兰州调研)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，当且仅当t时等号成立.的最大值等于13.11.若a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角的取值范围是_.答案解析根据题意，设|ab|t，则|a|b|t，设a与ab的夹角为，由|ab|t，得a22abb2t2，又|a|b|，所以a2ab，所以cos .又，则cos ，又0，所以.12.在ABC中

16、，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2abc0，则ABC的最小角的余弦值为_.答案解析由2abc0可得2abc()0，即(2ac)(bc)0，所以(2ac)(cb)，而和不共线，所以2ac0，cb0，解得bc2a，所以边a为最小的边，故角A为最小的角，由余弦定理可得cos A，所以ABC的最小角的余弦值为.二、创新拓展练13.(2022新余模拟)已知ABC是顶角A为120，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A. B. C. D.1答案A解析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(，0)，C(，0

17、)，设P(x，y)，所以(x，1y)，(x，y)，(x，y)，所以(2x，2y)，()2x22y(1y)2x22，当P时，所求的最小值为.14.平面上的两个向量和，|cos ，|sin ，0，若向量(，R)，且(21)2cos2(21)2sin2，则|的最大值为()A. B. C. D.答案B解析0，OAOB，|cos ，|sin ，|1，取AB的中点D，且|，如图所示.则()，cos2sin2(21)2cos2(21)2sin2，(21)2cos2(21)2sin2，|，C在以D为圆心，为半径的圆上，|的最大值为.15.已知O是ABC的外心，cos A，若xy，则xy的最大值为_.答案解析如

18、图，延长AO交BC于D，设k，则.因为D在BC上，所以1，kxy.注意到k，而AO是定值，故OD最小，即ODBC时，k取最大值.此时ABC是等腰三角形，BODBOCA，cosBOD.k.16.已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|cb|的取值范围是_.答案1，1解析由a，b是单位向量，且ab0，则可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y).向量c满足|cab|1，|(x1，y1)|1，1，即(x1)2(y1)21，它表示圆心为C(1，1)，半径为r1的圆，又|cb|(x，y1)|，它表示圆C上的点到点B(0，1)的距离，如图所示，且|BC|，1|PB|1，即|cb|的取值范围是1，1.