2024未知数杯高三数学模拟测试试题含答案.pdf

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1、数学试题 第 1 页 共 6 页“未知数杯”数学模拟测试数学数学2024未知数杯高三数学模拟测试试题含答案注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的选项中，

2、只有一项是符合题目要求的。1 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 在不大于 10 的素数中，选两个不同的数，和为素数的概率为A14B23C13D122数列 na的前 n 项和为nS，满足1024nnSa，则数列 na的前 n 项积的最大值为A552B452C92D1023圆心为(1,3)，且与直线20 xy相切的圆的半径为A2B2C8D2 24已知数列 na为等差数列，且17134aaa，则7sina A12B12C32D325已知二次函数()f x，对任意的xR，有(2)2()fxf x，则()f x的图象可能是ABCD数学试题 第 2 页 共 6 页

3、6如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为 4 分，“较强”记为 5 分，“很强”记为 6 分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是A甲、乙的五项能力指标的平均值相同B甲、乙的五项能力指标的方差相同C如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙D如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙7一个二元码是由0和1组成的数字串12nx xx（nN），其中kx（1k，2，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元码127x xx的码元满足如下校验方程组：456723671

4、357000 xxxxxxxxxxxx，其中运算定义为：000，011，101，110.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么用上述校验方程组可判断k等于A4B5C6D78运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图 2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相

5、等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆2211636xy绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图 3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于A64B148C128D32数学试题 第 3 页 共 6 页二二、选择选择题题：本大题共本大题共 3 3 小题小题，每小题每小题 6 6 分分，共共 1818 分分，全部全部选选对的得对的得 6 6 分分，部分选对的得部分选对的得部分分，有选错的得部分分，有选错的得 O O 分。分。9意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂

6、，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”后人给出了悬链线的函数解析式：coshxfxaa，其中a为曲线顶点到横坐标轴的距离，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为eecosh2xxx，相应地，双曲正弦函数的表达式为sinh x ee2xx若直线xm与双曲余弦函数1C双曲正弦函数2C的图象分别相交于点A，B，曲线1C在点A处的切线1l与曲线2C在点B处的切线2l相交于点P，则下列结论正确的为Acoshcosh coshsinh sinhxyxyxyBsinhcoshyxx是偶函数C(cosh)sinhxxD若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数0m 10平面螺旋是以一个固

7、定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）它的画法是这样的：正方形 ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点 E，F，G，H 作第二个正方形，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点 M，N，P，Q 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形 ABCD 边长为1a，后续各正方形边长依次为2a，3a，na，；如图（2）阴影部分，设直角三角形 AEH 面积为1b，后续各直角三角形面积依次为2b，3b，nb，则数学试题 第 4 页 共 6 页A数列 na是以 4 为首项，104为公比的等比数列B从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为 32C

8、使得不等式12nb 成立的n的最大值为 3D数列 nb的前n项和4nS 111872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机 将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足QMN，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称,M N为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是AQ0Mxx，Q0Nxx满足戴德金分割BM没有最大元素，N有一个最小元素CM有一个最大元素，N有一个最小元素DM没有最大元素，N也没有最小元素三、填空题三、填空题

9、：本大题本大题 3 3 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 1 15 5 分分。12有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中不再成立，比如：“垂直于同一条直线的两条直线平行”；有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中依然成立，比如：“平行于同一条直线的两条直线平行”.请你写出满足下列条件的命题各一个在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题：；既在平面几何中成立又在立体几何中成立的命题：.13在二项式1nxx的展开式中恰好第 3 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是.14已知数列 na为32，43，54，65，L，则该数列的一个通项公式可以是数学试题 第 5 页 共 6 页四四

10、、解答题、解答题：本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知直线30 xy与抛物线2:8Cyx相交于 A，B 两点(1)求弦长AB及线段AB的中点坐标；(2)试判断以AB为直径的圆是否经过坐标原点 O？并说明理由16（15 分）如图，在五面体 ABCDE 中，BE 平面 ABC，ADBE，2ADBE，ABBC(1)求证：平面CDE 平面 ACD；(2)若3AB，2AC，五面体 ABCDE 的体积为2，求平面 CDE 与平面 ABED 所成角的余弦值17（15 分）设函数 32

11、f xxaxbxc 的导数 fx满足10f ，29f.(1)求 f x的单调区间；(2)f x在区间2 2,上的最大值为20，求c的值.(3)若函数 f x的图象与x轴有三个交点，求c的范围.18（17 分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子

12、以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的可以把第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是12，对母系也一样父系母系各自随机选择得到数学试题 第 6 页 共 6 页的遗传因子再配对形成子代的遗传性状假设三种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa在父系和母系中以同样的比例：:(1)u v w uvw 出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A被选中的概率是2vpu，遗传因子a被选中的概率是2vqw称p，q分别为父系和母系中遗传因子A和a的频率，:p q实际上是父系和母系中两个

13、遗传因子的个数之比基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系母系的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa(或aA)，aa的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA和Aa(或aA)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为p，a被选中的概率为q，1pq求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa所占的比例111,u v w（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa的个体假设得到的第n代总体中 3 种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa所占比例分别

14、为,1nnnnnnu v wuvw设第n代遗传因子A和a的频率分别为np和nq，已知有以下公式22,1,2,11nnnnnnnvvupqnww证明1nq是等差数列（4）求,nnnu v w的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？19（17 分）若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是 3 的倍数的本原海伦三角形，称为“奇异三角形”.（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？数学试题详解 第 1 页 共 13

15、页“未知数杯”数学模拟测试数学试题详解数学试题详解1【答案】C【分析】求出不大于 10 的所有素数，再利用列举法求出古典概率即得.【详解】不大于 10 的素数有 2，3，5，7，从中任取两个数的试验的样本空间 2,3,2,5,2,7,3,5,3,7,5,7，共 6 个样本点，其中和为素数的样本点 2 个，所以和为偶数的概率为13.故选：C2【答案】B【分析】根据给定的递推公式求出1a，进而求出数列 na通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，Nn，1024nnSa，则1512a，当2n时，111024nnSa，两式相减得12nnaa，即112nnaa，因此数列 na是以 512 为首项，12

16、为公比的等比数列，于是1101512()22nnna，显然数列 na单调递减，当10n 时，1na，当11n，1na，所以当9n 或10n 时，数列 na的前 n 项积最大，最大值为987204522222 22.故选：B3【答案】A【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，圆心为(1,3)，且与直线20 xy相切，则圆的半径为221 3221(1)rd .故选：A.4【答案】D数学试题详解 第 2 页 共 13 页【分析】根据等差数列的性质求得7a，进一步计算即可.【详解】因为数列 na为等差数列，则1137734aaaa，所以743a，则743sinsin32a

17、 ，故选：D.5【答案】A【分析】令(2)2()fxf x中0 x，则(0)0f，排除 C，D；又由(2)2()fxf x可得22cax任意的xR恒成立，则0c，20a，排除 B，即可得出答案.【详解】因为对任意的xR，有(2)2()fxf x，令0 x，则(0)2(0)ff，所以(0)0f，排除 C，D；即 00fc，设二次函数2()0f xaxbxc a，所以2(2)42fxaxbxc，22()222f xaxbxc，由(2)2()fxf x可得2242222axbxcaxbxc，则220axc，所以22cax任意的xR恒成立，则0c，20a，故排除 B.故选：A.6【答案】D【分析】由运

18、动素养测评图可以求得平均值以及方差，通过识图可判断甲乙运动素养的高低.【详解】由图可知：甲的平均值为645454.85，乙的平均值为654544.85 ，A 正确；甲的方差为()()()()()2222221164.844.854.844.854.80.565s=-+-+-+-+-=，乙的方差为()()()()()2222222164.854.844.854.844.80.565s=-+-+-+-+-=，B 正确；从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为54514，乙三方面的分值和为45413，乙小于甲，C 正确；从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为65415，乙三方面的分值和为645

19、15，乙与甲相同，D 错误.数学试题详解 第 3 页 共 13 页故选：D7【答案】A【分析】根据校验方程组分别判断各位码元的正误.【详解】由已知得4567000110 xxxx ，故4567xxxx，至少错误一个，又236710010 xxxx ，正确，故2367xxxx，均正确，135710010 xxxx ，正确，故1357xxxx，均正确，综上所述，4x错误，故选：A.8【答案】C【分析】由类比推理可知所求几何体体积为在底面半径4R，高6h 的圆柱内，挖出一个以该圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到的新的几何体体积的2倍，借助圆锥和圆柱体积公式可求得结果.【详解】类比推理可

20、知：若在底面半径4R，高6h 的圆柱内，挖出一个以该圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到一新的几何体，则新几何体与所求橄榄状几何体的一半的体积相等.所求体积222144216 6128333VR hR hR h.故选：C.9【答案】ACD【分析】根据双曲余弦函数、双曲正弦函数的表达式可判断 A 的正确，根据奇函数的定义可判断 B 的正误，根据导数的计算公式可判断 C 的正误，利用导数的几何意义可判断数学试题详解 第 4 页 共 13 页D 的正误.【详解】eeeeeecosh cossinh sinh222xxyyxxxhyxyeeeecos()22yyx yxyxy，A 正确；2

21、2eesinh cosh4xxyxx，记22ee()4xxg x，则22ee()()4xxgxg x，()g x为奇函数，即sinhcoshyxx是奇函数，B 错误；ee2xxeesinh2xxx，C 正确；因为ABx轴，设 ee2xxS x，则 ee2xxSx，所以若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则0PAk，由 ee02mmPAkSm，解得0m，D正确故选：ACD10【答案】ACD【分析】根据题意，na，nb都是等比数列，从而可求 na，nb的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案【详解】对于 A 选项，由题意知，2222135448nnnnaaaa且0na，所以1104nnaa，又因

22、为14a，所以数列 na是以4为首项，104为公比的等比数列，故 A 正确；对于 B 选项，由上知，11044nna，14a，210a，352a，所以222222123512941024aaa，故 B 错误；对于 C 选项，21123313103542443232428nnnnnnaaab，易知 nb是单调递减数列，且2335751281282b，343537512810242b，数学试题详解 第 5 页 共 13 页故使得不等式12nb 成立的的最大值为3，故 C 正确；对于 D 选项，因为3512854 15818nnnS，且*nN，所以50118n，所以4nS，故 D 正确；故选：ACD

23、11【答案】BD【分析】根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.【详解】对于选项 A，因为Q0Mxx，Q0Nxx，Q0QMNxx，故 A 错误；对于选项 B，设Q0Mxx，Q0Nxx，满足戴德金分割，则 M 中没有最大元素，N 有一个最小元素 0，故 B 正确；对于选项 C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若mn，一定存在(,)km n使QMN不成立；若mn，则MN 不成立，故 C 错误；对于选项 D，设2MxQ x，2NxQ x，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故 D 正确故选:BD12【答案】垂直于同一条直线的两条直线平行（答案不唯一）；平行于同一条直线的

24、两条直线平行.（答案不唯一）【分析】根据平面几何和立体几何中线线、线面位置关系的相关理论直接得到结果即可.【详解】在平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行；在立体几何中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面；则在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题为：垂直于同一条直线的两条直线平行.在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线平行；在立体几何中，平行于同一条直线的两条直线平行；则在平面几何中成立又在立体几何中成立的命题为：平行于同一条直线的两条直线平行.数学试题详解 第 6 页 共 13 页故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行（答案不唯一）；平行于同一条直线的两条直线平行.（

25、答案不唯一）.13【答案】6【分析】由已知，根据二项式定理可得4n,再利用二项展开式的通项公式即可求解【详解】由已知，展开式中恰好第 3 项的二项式系数最大可知，4n.根据二项式定理设第1r 项是常数项，则：1rn rrrnTC ab=44 24411rrrrrrCxCxx,令420r,解得2r,所以常数项是22341TC=6故答案为：614【答案】21nnan（答案不唯一）【分析】分析数列 na前 4 项的特征，求出前 4 项都满足的一个通项公式作答.【详解】依题意，312 422 532 642,21 1 321 43 1 541，所以前 4 项都满足的一个通项公式为21nnan.故答案为

26、：21nnan15【答案】(1)8 5AB，中点坐标为(7,4)(2)以AB为直径的圆不经过坐标原点 O，理由见解析【分析】（1）设出,A B坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，根据弦长公式结合韦达定理可求AB，根据1212,xxyy的值可求线段AB的中点坐标；（2）根据韦达定理计算出1212x xy y的值，然后可判断出结果.【详解】（1）设1122,A x yB xy，联立2308xyyx，消去 y 整理得21490 xx，且2144 1 91600 ，数学试题详解 第 7 页 共 13 页所以1212149xxx x，所以221212142196368 5ABkxxx x

27、，又因为12121214,338xxyyxx ，所以线段AB的中点坐标为7,4（2）以AB为直径的圆不经过坐标原点 O因为12121212121233239150Ox xy yx xxxx xAxxOB ，所以OA与OB不垂直，故以AB为直径的圆不经过坐标原点 O16【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）利用中位线定理证明线线平行，得到平行四边形，进而根据线面垂直的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面CDE与平面ABED的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）取 AC 中点 M，连接 BM，ABBC，BMAC，又AD 平面ABC，BM平面

28、ABC，ADBM，又ACADA，,AC AD 平面ACD，BM平面ACD，取 CD 中点 F，连接 MF，EF，数学试题详解 第 8 页 共 13 页12MFAD/且12MFAD，又12BEAD/且12BEAD，/MFBE且MFBE，四边形 BMFE 为平行四边形，EFBMEF平面 ACD，又EF 平面 CDE，平面CDE 平面 ACD（2）过点C作CQAB，则112 6223223ABCSCQCQ 设BEx，2ADx，13ABCDEABEDVSCQ五面体梯形1(2)32 621323xxx由（1）可知,MB MF MC两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图，(0,1,0),(0,1,

29、2),(2,0,1),(0,1,0),(2,0,0)CDEAB，(0,2,2),(2,1,1),(0,0,2)CDDEAD 设平面 CDE 与平面 ABED 的一个法向量分别为11112222,nx y znxy z，1111111122000,1,1200yzn CDnxyzn DE ，22222220201,2,0200nDExyznznAD ，设平面CDE与平面ABED所成角为，数学试题详解 第 9 页 共 13 页121223cos323n nn n ，即平面CDE与平面ABED所成角的余弦值为33.17【答案】(1)递增区间为1,3，递减区间为,1，3,(2)2(3)27,5【分析】

30、（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求 f x的单调区间；（2）利用导数求出函数 f x在区间2 2,上的最大值，建立方程关系即可求c的值.（3）根据 f x的单调性求得极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围.(1)由 32f xxaxbxc 可得 232xxxbfa，因为10f ，29f，所以3201249abab，解得：3a，9b，所以 3239f xxxxc，22369323xxfxxx ，由 0fx即2230 xx可得：13x-，由 0fx即2230 xx 可得：1x 或3x，所以 f x的单调递增区间为1,3

31、，单减区间为,1 和3,.(2)由（1）知，f x在2,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以当1x 时，f x取得极小值321131915fcc ，322232922fcc ，32223 29 222fcc ，数学试题详解 第 10 页 共 13 页则 f x在区间2 2,上的最大值为 22220fc，所以2c .(3)由（1）知当1x 时，f x取得极小值321131915fcc ，当3x 时，f x取得极大值 32333 39 327fcc ，若函数 f x的图象与x轴有三个交点，则(1)50(3)270fcfc得527cc，解得275c，即c的范围是27,5.18【答案】（1）AA，A

32、a(或aA)，aa的概率分别是14，12，14（2）22111,2,upvpq wq（3）答案见解析（4）答案见解析【详解】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（3）由（2）知22111,2,nnnnnnnupvp q wq，求出1np、1nq，利用等差数列的定义即可证出.（4）利用等差数列的通项公式可得111(1)nnqq，从而可得1nqqnq，再由2211nnnqwqq，利用式子的特征可得nw越来越小，进而得出结论.【详解】（1）即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是12，故AA出现的概率是1122，Aa或aA出现的

33、概率是1111222224，aa出现的概率是1122所以：AA，Aa(或aA)，aa的概率分别是14，12，14（2）22111,2,upvpq wq数学试题详解 第 11 页 共 13 页（3）由（2）知22111,2,nnnnnnnupvp q wq于是2111212122111nnnnnnnnnvp qupwpqq1121211111nnnnnnnnnnnnvp qp qqqwqqqq1111nnqq 1nq是等差数列，公差为 1（4）111(1)nnqq其中，1121222111vpqqqwqq(由（2）的结论得)所以1111nnqnqqqnq于是，2211nnnqwqq2211,11

34、nnnnpnqpnqpqupnqnq 12()22(1)nnnp pnqvp qnq很明显211nqwnq，n越大，1nw越小，所以这种实验长期进行下去，nw越来越小，而nw是子代中aa所占的比例，也即性状aa会渐渐消失【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题，19【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设a、b、c(abc)是一个奇异三角形的三边长.则由海海伦公式知 216abcabcabcabc .数学试题详解 第 12 页 共 13 页因为,1a b c，所以，a、b、c中至少有一个为奇数.如

35、果a、b、c中有奇数个奇数，则abc、abc、abc、cabc都是奇数，与式矛盾.因此，a、b、c中恰有两个为奇数.若1a，由1cabb，知cb.因为cb，所以，bc.此时，a、b、c中有奇数个奇数，矛盾.若2a，由2cabb，知1cb.因为cb，所以，cb或1cb.当cb时，112pabcb，22111 11bbb ，因此，1bb.但1b，矛盾.当1cb时，b、c一奇一偶.故a、b、c中恰有一个奇数，矛盾.若4a，则b、c都是奇数.由4cabb，知3cb.又cb，于是，cb或2cb.当cb时，122pabcb，22222244bbb ，所以，为偶数.令12 .则2214b，114bb.但11

36、bb，于是，14b，11b，故25b，矛盾.当2cb时，132pabcb，所以，3.令13 ，则21331bb.若33b，则3 b，与奇异三角形矛盾.若31b，则32bc，也与奇异三角形矛盾.综上所述，5a.又（5，5，8）是奇异三角形，故奇异三角形的最小边长的最小值为 5.（2）若m、nN，,3,1mnm n m n，m、n一奇一偶，则222222,22mnmnmn是奇异三角形.事实上，222mn mn 为整数.其次，因m、n一奇一偶，则22,21mn.故 2222222222222,22,1mnmnmnmnmnmmn.数学试题详解 第 13 页 共 13 页最后，因为3 mn，且,1m n

37、，故m、n中恰有一个是 3 的倍数，所以，22mn、2222mn都不是 3 的倍数.特别地，取61mk，6n.则222361237,361237,722470kkkkkk是奇异三角形.类似知，若m、nN，mn，223 mn，,1m n，m、n一奇一偶，则2222,4mnmnmn是奇异三角形.特别地，取61mk，2n，则2236125,36125,488kkkkk是奇异三角形.（3）非等腰的奇异三角形亦有无数个.取5 mod30t，令25at，42125614btt，42125614ctt.因为t为奇数，所以，a、b、c为整数，且显然有abc.又因为t不是 3 的倍数，所以，a、b、c都不是 3 的倍数.最后，由于5 t，于是，b、c都不是 5 的倍数，进而，由242,25611ttt，知,1a b c.经计算可得2412512tt 为整数.所以，（a、b、c）是非等腰奇异三角形.