24 微专题21　基本初等函数与函数模型 【正文】教师.docx

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1、微专题21基本初等函数与函数模型备选理由 例1考查基本初等函数的图象与性质,考查学生的数学运算素养;例2考查指数函数的图象与性质,考查数形结合思想;例3考查对数函数模型与对数函数的单调性,考查学生的运算求解能力. 1 配例1使用（1） 2023天津和平区三模 已知a,b,c满足2-a=a+2,b+log2b=-2,c3-c-2=0,则a,b,c的大小关系为( B ) A.bacB.abcC.acbD.cb16C.x+y9D.x2+y232(3)2023北京丰台区二模 已知函数f(x)=12-12x+1,f(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是( D )A.f(-x)-f(x)=0B.f(

2、x)0C.若0x1x2f(x1)D.若0x1f(x1+x2)解析 (1)b+log2b=-2-log2b=b+2log12b=b+2.由题意知,a为函数y=12x与函数y=x+2的图象的交点的横坐标,b为函数y=log12x与函数y=x+2的图象的交点的横坐标,c为函数y=x3与函数y=x+2的图象交点的横坐标.在同一坐标系中作出函数y=12x,y=log12x,y=x3与函数y=x+2的图象,如图所示,由图可知abc.故选B.(2)由2x=3y=36可得x=log236,y=log336.对于A,x+yxy=1y+1x=log363+log362=log366=12,所以xy=2(x+y),

3、故选项A正确;对于B,x=log236=log24+log29=2+log29,因为log28log29log216,即3log294,所以x=2+log29(5,6),y=log336=log39+log34=2+log34,因为log33log34log39,即1log348,xy=2(x+y)16,故选项B正确;对于C,x=log236=2+2log23,y=log336=2+2log32,所以x+y=4+2(log23+log32)=4+2log23+1log23,令log23=t(1,2),则x+y=4+2t+1t,因为y=t+1t在(1,2)上单调递增,所以x+y=4+2t+1t5

4、2=25,y232=9,所以x2+y234,故选项D不正确.故选ABC.(3)对于选项A,易知f(x)的定义域为R,f(x)=12-12x+1=2x-12(2x+1),f(-x)=2-x-12(2-x+1)=1-2x2(1+2x),f(-x)=-f(x),故A选项错误;对于选项B,f(x)=12-12x+1,f(x)=2xln2(2x+1)2,由ln 20知f(x)0,故B选项错误;对于选项C,f(1)=12-12+1=16,f(2)=12-122+1=310,1f(2)x10,2x22x11,2x1(2x2-1)2x2-10,2x1+x2+12x1+2x2,22x1+x2+22x1+x2+2

5、x1+2x2+1,即2(2x1+x2+1)(2x1+1)(2x2+1),2(2x1+1)(2x2+1)12x1+x2+1,2(2x1+x2-1)(2x1+1)(2x2+1)2x1+x2-12x1+x2+1,又(2x1-1)(2x2+1)+(2x2-1)(2x1+1)=2(2x1+x2-1),(2x1-1)(2x2+1)+(2x2-1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)2x1+x2-12x1+x2+1,(2x1-1)(2x2+1)+(2x2-1)(2x1+1)2(2x1+1)(2x2+1)2x1+x2-12(2x1+x2+1),即2x1-12(2x1+1)+2x2-12(2x2+1)2x

6、1+x2-12(2x1+x2+1),f(x1)+f(x2)f(x1+x2),故D选项正确.故选D. 2 配例1使用 2023福建泉州三模 已知函数f(x)=|ex-1|-ax有两个零点,则实数a的取值范围为(1,+)(-1,0).解析 f(x)=|ex-1|-ax有两个零点,关于x的方程|ex-1|=ax有两个根,即y=|ex-1|的图象与y=ax的图象有两个交点,作出y=|ex-1|的图象如图所示.由图可知,当a0时,设g(x)=ex-1,则g(x)=ex,若y=|ex-1|的图象与y=ax的图象有两个交点,则ag(0)=1;当a=0时,y=|ex-1|的图象与y=ax的图象只有一个交点;当

7、ah(0)=-1.综上可得,实数a的取值范围为(1,+)(-1,0). 3 配例2使用 2023河北衡水模拟 李明开发的小程序发布经过t天后,用户人数为A(t)=500ekt,其中k为常数.已知该小程序发布经过10天后的用户人数为2000,则用户人数超过50 000至少需要经过的天数为(lg 20.3)( D )A.31B.32C.33D.34解析 根据题意得2000=500e10k,即4=e10k,lg 4=lg e10k=10klg e.由50 000500ekt,得100ekt,可得lg 100lg ekt,210t,即2lg2210t,故t10lg2100.333.3,用户人数超过50 000至少需要经过的天数为34.