03 微专题3　解三角形 【正文】教师.docx

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1、微专题3解三角形 备选理由 例1是结构不良问题,考查正弦定理化边为角、诱导公式、倍角公式及商数关系式的变形; 例2考查直角三角形的边角关系、三角形面积公式、三角恒等变换及求函数的最小值,难度较大;例3考查利用正、余弦定理解三角形,以及平面向量在解三角形中的应用. 1 配例1使用 2023浙江金丽衢十二校联考 设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3cos C,b=1.(1)证明:tan C=2tan B.(2)从这两个条件中选择一个作为已知条件,求cos 2B的值.ABC的面积取到最大值;c=102.解:(1)证明:因为a=3cos C,b=1,所以a=3bcos C,所以由

2、正弦定理得sin A=3sin Bcos C,又A+B+C=,所以3sin Bcos C=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以2sin Bcos C=cos Bsin C,显然cos B0,cos C0,所以tan C=2tan B.(2)若选择.由题意得SABC=12absin C=32cos Csin C=34sin 2C,则当C=4时,SABC取得最大值34,此时tan C=1,又由(1)知tan B=12tan C=12, 故cos 2B=cos2B-sin2B=cos2B-sin2Bsin2B+cos2B=1-tan2Btan2B+1

3、=1-1414+1=35.若选择.由正弦定理得bsinB=csinC,则sin C=csinBb=102sin B,则sin2C=52sin2B.由(1)知tan C=2tan B,所以sin2Ccos2C=4sin2Bcos2B,所以52sin2Bcos2C=4sin2Bcos2B,则cos2C=58cos2B,所以sin2C+cos2C=52sin2B+58cos2B,即1=158sin2B+58,解得sin2B=15,故cos 2B=1-2sin2B=1-215=35. 2 配例2使用 2023福州质检 如图,直线l1l2,线段DE与l1,l2均垂直,垂足分别是E,D,点A在DE上,且A

4、E=1,AD=2.C,B分别是l1,l2上的动点,且满足BAC=3.设ABD=x,ABC的面积为S(x).(1)写出S(x)与x的函数关系式;(2)求S(x)的最小值.解:(1)结合图形可知,若ABD=x,则x0,3,所以DAB=2-x,又BAC=3,所以CAE=-2-x-3=6+x.在RtACE中,AC=AEcosCAE=1cos6+x,在RtABD中,AB=ADsinABD=2sinx,所以S(x)=121cos6+x2sinx32=32cos6+xsinx,x0,3.(2)由(1)知S(x)=32cos6+xsinx=32sinx32cosx-12sinx=332sin2x-1-cos2

5、x2=232sin2x+6-1,因为x0,3,所以2x+66,56,所以2sin2x+6-1(0,1,故当x=6时,S(x)取得最小值23. 3 配例3使用 2023安徽黄山三模 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=3,b(1+cos C)=3csin B.(1)求角C的大小和b的取值范围;(2)若O是ABC的外心,求OCAB+CACB的最大值.解:(1)在ABC中,由b(1+cos C)=3csin B结合正弦定理,可得sin B(1+cos C)=3sin Csin B,因为B(0,),所以sin B0,所以1+cos C=3sin C,则3sin C-cos C=2s

6、inC-6=1,即sinC-6=12,又因为C(0,),所以C-6-6,56,所以C-6=6,解得C=3.由正弦定理得bsinB=csinC=332=2,则b=2sin B,因为0B23,所以0sin B1,所以0b2,故b的取值范围为(0,2.(2)方法一:连接OA,OB,由题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,且AOB=23,则OCAB+CACB=OC(OB-OA)+(OA-OC)(OB-OC)=OCOB-OCOA+OAOB-OAOC-OCOB+OC2=-2OCOA+OAOB+OC2=-2cosAOC-12+12=12-2cosAOC.当点O不在ABC外部时(如图),可得AOC=2ABC

7、,则此时OCAB+CACB=12-2cos 2ABC=12-2(1-2sin2ABC)=4sin2ABC-32=b2-32;当点O在ABC外部时(如图),可得AOC=2(-ABC)=2-2ABC,则此时OCAB+CACB=12-2cos(2-ABC)=12-2cos 2ABC=12-2(1-2sin2ABC)=4sin2ABC-32=b2-32.由(1)可知0b2,则当b=2时,OCAB+CACB取得最大值52.方法二:由题可知CACB=abcos3=12ab.如图,分别取线段BC,AC的中点D,E,连接OD,OE.因为O是ABC的外心,所以ODBC,OEAC,则OCAB=-CO(CB-CA)=-COCB+COCA=-CDCB+CECA=-a22+b22,所以OCAB+CACB=b2+ab-a22.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosACB,即3=a2+b2-ab,整理得ab-a2=b2-3,所以OCAB+CACB=b2+ab-a22=b2+b2-32=b2-32,由(1)可知0b2,则当b=2时,OCAB+CACB取得最大值52.