06 微专题5　等差数列、等比数列 【正文】教师.docx

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1、微专题5等差数列、等比数列 备选理由 例1考查等差数列的通项与求和;例2考查等比数列的判定与求和;例3考查数列的递推关系和等比数列的证明与判定;例4 考查数列模型与不等式的综合问题. 1 配例1使用 2023江苏南通模拟 已知各项均为正整数的递增数列an的前n项和为Sn,若a1=3,Sm=2023,则当m取最大值时,am的值为( D )A.10B.61C.64D.73解析 因为an为递增数列且各项均为正整数,所以an-an-11(n2),当an-an-1=1(n2)时,数列an是首项为3,公差为1的等差数列,则an=3+n-1=n+2,Sn=3n+n(n-1)21=n(n+5)2,可得S60=

2、19502023,S61=20132023.若m的最大值为61,则可取a60=62,a61=2023-1950=7362,符合题意;若m的最大值为62,又a61的最小值为63,则此时a62=2023-2013=1063,不符合题意.综上所述,当m取最大值时,am的值为73.故选D. 2 配例2使用 2023广东六校联考 记Sn为数列an的前n项和,已知Sn,2n的等差中项为an.(1)求证an+2为等比数列.(2)数列1an+3的前n项和为Tn,是否存在整数k满足Tn(k,k+1)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为Sn,2n的等差中项为an,所以Sn+2n=2an

3、,当n=1时,S1+2=2a1,又S1=a1,所以a1=2.由Sn+2n=2an,得Sn+1+2n+2=2an+1,所以an+1+2=2an+1-2an,即an+1=2an+2,即an+1+2=2(an+2),所以an+1+2an+2=2,所以an+2是等比数列,其首项为a1+2=4,公比为2.(2)由(1)知an+2=42n-1,可得an=2n+1-2,所以1an+3=12n+1+1,因为012n+1+10,又Tn=1a1+3+1a2+3+1an+3122+123+12n+1=12-12n+10,anan+1=27-2n.(1)当=132时,求数列a2n中的第10项.(2)是否存在正数,使得

4、数列an是等比数列?若存在,求出的值并证明;若不存在,请说明理由.解:(1)由anan+1=27-2n,得anan-1=29-2n(n2),所以an+1an-1=14(n2),所以数列a2n-1和数列a2n均为公比为14的等比数列,又a1=132,a2a1=25,所以a2=210,所以a20=210149=128=1256.(2)假设存在正数,使得数列an是等比数列,由a2a1=25,得a2=32,由a2a3=8,得a3=4,因为an是等比数列,所以a1a3=a22,可得2=64,即=8.下面证明当=8时,数列an是等比数列.当=8时,a1=8,a2=4.由(1)知数列a2n-1和a2n均为公

5、比为14的等比数列,所以a2n-1=814n-1,a2n=414n-1,所以当n为奇数时,an=24-n,当n为偶数时,an=24-n,所以对一切正整数n,都有an=24-n,所以anan-1=12(n2),故数列an是公比为12的等比数列,所以存在正数=8,使得数列an是公比为12的等比数列. 4 配例4使用 在当前市场经济条件下,私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值之间存在着相当大的差距.对顾客而言,总是希望通过还价来减少商品所标价格a与其实际价值的差距.设顾客第n次的还价为bn,商家第n次的讨价为cn.有一种“对半讨价还价”法如下:顾客第1次的还价为标价a的一半,即第1次的还价b1

6、=a2,商家第1次的讨价为b1与标价a的平均值,即c1=a+b12;顾客第n(n2)次的还价为上一次商家的讨价cn-1与顾客的还价bn-1的平均值,即bn=cn-1+bn-12,商家第n(n2)次的讨价为上一次商家的讨价cn-1与顾客这一次的还价bn的平均值,即cn=cn-1+bn2.现有一件衣服标价1200元,若经过n次的“对半讨价还价”,bn与cn相差不到1元,则n的最小值为( C )A.4B.5C.6D.7解析 依题意可知cnbn,当n2时,cn-bn=cn-1+bn2-cn-1+bn-12=bn-bn-12=cn-1+bn-12-bn-12=cn-1-bn-14,所以数列cn-bn是以c1-b1=a+b12-b1=a-b12=a-a22=a4=300为首项,14为公比的等比数列,所以cn-bn=30014n-1=120014n.由cn-bn=120014n1得14n1200,其中nN*,经检验可知,n的最小值为6.故选C.