湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题含答案.docx

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1、2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ）A. B. C.1 D.23.已知正方形的边长为2，若，则（ ）A.2 B.-2 C.4 D.-44.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.26.已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ）A.2或3 B.2 C.3 D.47.若，则（ ）A. B. C. D.8.能被3个半径为1的圆形

3、纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ）A. B. C. D.二多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知为随机事件，则下列结论正确的有（ ）A.若为互斥事件，则B.若为互斥事件，则C.若相互独立，则D.若，则10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）A.动点轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函

4、数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则_.13.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则_；当取最小值时，的面积为_.14.已知函数有零点，当取最小值时，的值为_.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算

5、步骤.15.（本小题13分）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点.（1）求证：平面；（2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小.16.（本小题15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性

6、检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.附：0.10.050.012.7063.8416.63517.（本小题15分）已知各项均不为0的数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）

7、若对于任意成立，求实数的取值范围.18.（本小题17分）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为.（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：.19.（本小题17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：.（1）请仿照这种根据

8、面积关系证明不等式的方法，证明：；（2）已知函数，其中.（i）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；（ii）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.数学参考答案及评分标准2024.31-8BCBA ABDC9.ACD 10.ABD 11.BCD12. 13.；（填对一空得3分） 14.15.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图所示，设圆与交于交于交圆于，方法1：设，又，所以圆的最大半径为，下求的最大值，设，所以在为增函数，在为减函数，即被完全覆盖的最大的圆的半

9、径为.此时，即圆圆圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设，即当时，的最大值为，即被完全覆盖的最大的圆的半径为.此时，即圆圆圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设的零点为，则，即，设为直线上任意一点，坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，下求的最小值，令，则在为减函数，在为增函数，即，此时，所以的斜率为，（此时）.15.（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又在平面内且相交，故平面（2）解：分别为的中点，又平面过且不过，平面.又平面交平面于，故，进而，因为是中点，所以是的中点.方法1：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面

10、法向量为，由，取，所以方法2：过点作的垂线，垂足为，连接.因为且平面，故有平面，平面与平面垂直且交线为，故平面，故直线与平面所成角在直角三角形巾，所以因为半面，故，又，所以.任直角三角形中，所以在直角三角形中，所以16.解：（1）列联表性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率

11、.故.（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，服从超几何分布：故所求分布列为012317.解析：（1）当时，两式相减得因为，故.所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，得.所以（2）由已知，即恒成立，设，则当，即时当，即时所以，故，所以18.解：设直线的方程为联立得：.（1）不妨设在第一象限，在第四象限，对于的斜率为的方程为，即为.令得直线的方程为：，令得.又，所以即得证.（2）方法1：过点的得垂线的方程为：，即则，解得的纵坐标为要证明，因为三点共线，只需证明：（*）.所以（*）成立，得证方法2：由知与轴平行又的斜率为的斜率也为，所以与平行由得，即得证19.解：（1）在曲线取一点.过点作的切线分别交于囚为即.（2）方法1：由题意得：不妨设，曲线在处的切线方程为：，即同理曲线在处的切线方程为：假设与重合，则，代入化简可得：两式消去可得：，得到由（1）的结论知，与上式矛盾即：对任意实数及任意不相等的正数与均不重合.方法2：同方法1得到设，即在为增函数，矛盾.即：对任意实数及任意不相等的正数与均不重合（3）即：当时，不等式恒成立，在恒成立，下证：当时，恒成立.因为，所以设当时，由知恒成立，即在为增函数，成立；当时，设，由知恒成立，即在为增函数.，即在为减函数，成立.综上所述：实数的取值范围是