第十一章　数学建模.docx

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1、成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 【标题】第十一章数学建模数学建模活动是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.几类常见的数学模型考向1指数、对数、幂函数模型【例1】（1）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的

2、声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lgII0（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的（）A.76倍B.1076倍C.10倍D.ln76倍（2）生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y（13t），0，其中为抗生素的残留系数，当t8时，y89，则.解析（1）由10lgII0得II01010，所以I1I0107，I2I0106，所以I1I210，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的

3、声音的声波强度I2的10倍.（2）因为89（138），所以381932，解得14.答案（1）C（2）14解题技法指数、对数、幂函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数与对数运算，灵活进行指数与对数的互化.1.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似地满足关系yalog3（x2），观察发现2020年（作为第1年）到该湿地公园越冬的白鹤数量为3 000只，估计到2026年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为（）A.4 000只B.5 000只C.6 000只D.7 000只解析：C当x1时，由3 000alog3（1

4、2），得a3 000，所以到2026年即第7年，y3 000log3（72）6 000，故选C.2.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析：当t8时，yae8b12a，所以e8b12.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebt18a，ebt18（e8b）3e24b，则t24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16考向2三角函数模型【例2】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我

5、国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为ysin（t）（0，），如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0t1t2t3），且t1t22，t2t36，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（）A.13 sB.23 sC.1 sD.43 s解析因为t1t22，t2t36，t3t1T，所以T4，又T2，所以2，所以ysin2t+，由y0.5得，sin2t+0.5，所以2k62t562k，kZ，4k132t5

6、324k，kZ，4k+53-24k+13-243，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为43 s，故选D.答案D解题技法三角函数模型在实际问题中的求解策略（1）在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程；（2）在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.如图为一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式yAsin（x）2，A0，

7、0，则有（）A.A5，310B.A5，103C.A3，215D.A3，152解析：A因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，所以函数周期T609203，所以2T2203310，由题意知，点P到水面距离的最大值为7，所以A27，得A5，故选A.考向3数列模型【例3】（2021新高考卷）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的

8、面积之和S2180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么k=1nSkdm2.解析依题意得，S11202240；S2603180；当n3时，共可以得到5 dm6 dm，52 dm12 dm，10 dm3 dm，20 dm32 dm四种规格的图形，且5630，521230，10330，203230，所以S3304120；当n4时，共可以得到5 dm3 dm，52 dm6 dm，54 dm12 dm，10 dm32 dm，20 dm34 dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5315，52615，541215，103215，20

9、3415，所以S415575；所以可归纳Sk2402k（k1）240(k+1)2k.所以k=1nSk2401+322+423+n2n-1+n+12n，所以12k=1nSk240222+323+424+n2n+n+12n+1，由得，12k=1nSk2401+122+123+124+12n-n+12n+12401+122-12n121-12-n+12n+124032-n+32n+1，所以k=1nSk2403-n+32n dm2.答案52403-n+32n解题技法数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、减薄率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有

10、关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差（比）数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0x1）.当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间，则x的值为.若2023年年初这片沙漠面积为原沙漠面积的22，按照规划至少还需年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的14.解析：由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0x1），且治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10

11、年，则a（1x）1012a，即（1x）1012，解得x112110.设从2023年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为22a（1x）n，令22a（1x）n14a，即（1x）n24，12n101232，n1032，解得n15，故至少还需治理15年.答案：11211015考向4解析几何模型【例4】某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图所示），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m.解析如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立

12、直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为y22px（p0），由已知条件可得，点A（1，2.4）在抛物线上，所以2p2.42，解得p2.88，所以所求抛物线的标准方程为y25.76x，焦点坐标为（1.44，0），因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m.答案1.44解题技法解决圆锥曲线实际应用问题的五个步骤（1）建立适当的坐标系；（2）设出合适的圆锥曲线的方程；（3）通过计算求出圆锥曲线的方程；（4）求出需要求出的量；（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，

13、是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为.（精确到0.1）解析：设椭圆的方程为x2a2y2b21（ab0），由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac，最大值为ac，根据题意可得ac3 4002653 665

14、，ac3 40011 94515 345，解得a9 505，c5 840，所以椭圆的离心率为eca5 8409 5050.6.答案：0.6数学模型的构建与拟合考向1已知数学模型解决实际问题【例5】已知某公司研发的A、B两种芯片都已获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，该公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入yB（单位：千万元）与投入的资金xB（单位：千万元）的函数关系为yBkxB（x0）（k与都为非零常数），其图象如图所示.（1）试分别求出生产A、B两种芯片的毛收入y（单位：

15、千万元）与投入资金x（单位：千万元）函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求出最大利润.（利润A芯片毛收入B芯片毛收入研发耗费资金）解（1）由题意可知，生产A种芯片的毛收入yA（单位：千万元）与投入资金xA（单位：千万元）的函数关系式为yA14xA（xA0）.将点（1，1），（4，2）代入函数yBkxB（x0），得k=1,k4=2,解得k=1,=12,因此生产B种芯片的毛收入yB（单位：千万元）与投入资金xB（单位：千万元）的函数关系式为yBxB（xB0）.（2）由题意可得f（

16、x）40-x4x2x4x814（x2）29，0x40，当x2，即x4时，函数f（x）取得最大值f（4）9.因此，当x4时，利润最大，且最大利润为9千万元.解题技法1.已知数学模型解决实际问题的关注点（1）认清所给数学模型，弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用所给数学模型，借助所给模型的性质求解实际问题，并进行检验，例如：涉及到个数时，变量应取正整数；涉及到费用、速度等问题，变量的取值应该为正数.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元

17、）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）k3x+5（0x10，k为常数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k的值及f（x）的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求最小值.解：（1）当x0时，C8，k40，C（x）403x+5（0x10），f（x）6x20403x+56x8003x+5（0x10）.（2）由（1）得f（x）2（3x5）8003x+510（0x10）.令3x5t，t5，35，则y2t800t1022t800t1070当且仅当2t=800t,即t=20时等号成立，此时x5，因此f（x）

18、的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f（x）达到最小，最小值为70万元.考向2构建数学模型解决实际问题【例6】（1）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：A1B1A0B0B0B1，A2B2A1B1B1B2，A3B3A2B2B2B3，AnBnAn1Bn1Bn1Bn，其中Bn1BnB2B3B1B2B0B1，nN*.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B08

19、 m，B0B10.5 m.则这五层正六边形的周长总和为（）A.35 mB.45 mC.210 mD.270 m（2）设，为平面，l，m，n为直线，则m的一个充分条件为（）A.，l，mlB.n，n，mC.m，D.，m解析（1）由已知得：AnBnAn1Bn1Bn1Bn，Bn1BnB2B3B1B2B0B10.5，因此数列AnBn（1n5，nN*）是以A0B08为首项，公差为d0.5的等差数列，设数列AnBn（1n5，nN*）的前5项和为S5，因此有S55A0B01254d5812540.535 m，所以这五层正六边形的周长总和为6S5635210 m.故选C.（2）构造如下图形：由图知A错；由图知C

20、错；由图，在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故D错.答案（1）C（2）B解题技法构建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务；设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量；列什么就是把问题中已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等；限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义.1.f（x）在（0，）上的导函数为f（x），xf（x）2f（x），则下列不等式成立的是（）A.2 0232f（2 024

21、）2 0242f（2 023）B.2 0232f（2 024）2 0242f（2 023）C.2 023 f（2 024）2 024 f（2 023）D.2 023 f（2 024）2 024 f（2 023）解析：A令g（x）f(x)x2，则g（x）x2f(x)-2xf(x)x4xf(x)-2f(x)x3，因为在（0，）上xf（x）2f（x），所以在（0，）上g（x）0，即g（x）f(x)x2在（0，）上为增函数.所以g（2 024）g（2 023）f(2 024)2 0242f(2 023)2 0232，即2 0232f（2 024）2 0242f（2 023），故选A.2.一物体相对于某

22、一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0解析：设yAsin（t）（0），则从表中可以得到A4，2T20.852，又由4sin 4.0，可得sin 1，取2，故y4sin52t-2，即y4cos 52t.答案：y4cos 52t（答案不唯一）考向3数学模型的拟合【例7】某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6，8，10，12，14，16（单位：英寸）六种，根据日常销售统计，将蛋糕尺寸x（英寸）、平均月销量y（个

23、）以及成本和单价的数据整理得到如下的表格.蛋糕尺寸x（英寸）6810121416平均月销量y（个）9121515138成本（元）20406080100120单价（元）5090140180200220（1）求该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润（利润销售收入成本）；（2）根据题中数据，从yabx与ycd（x11）2两个模型中选择更合适的模型，建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），（un，vn），其经验回归方程vu的斜率和截距的最小二乘估计分别是i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2，vu.参考数据：i=16

24、（yiy）（xix）2，i=16（xix）270，i=16（yiy）（tit）160，i=16（tit）2600，其中ti（xi11）2，t16i=16ti.解（1）根据题意，该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润为93012501580151001310081005 670（元）.（2）由表中的数据可知x与y之间不是线性相关关系，所以选ycd（x11）2，设t（x11）2，则ycdt，y16（9121515138）12，t16（25911925）353，d-1606004150.27，cydt1241535315.11，所以y15.110.27t，因此y关于x的经验回归方程为y15.110.27（x1

25、1）2.解题技法解决数学模型拟合问题的步骤某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.（1）若建立奖励方案函数模型yf（x），试确定这个函数的定义域、值域和yx的范围；（2）现有两个奖励函数模型：yx1502；y4lg x3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由.解：（1）yf（x）的定义域是10，1 000，值域是（0，9，yx（0，0.2.（2）当yx1502时，yx11502x的最大值是3115

26、00.2，不符合公司的要求.当y4lg x3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.由yx0.2可知y0.2x0.令g（x）4lg x30.2x，x10，1 000，则g（x）20-xln105xln100，所以g（x）在10，1 000上单调递减，所以g（x）g（10）10，即yx0.2.故函数y4lg x3符合公司的要求.1.（2021全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10101.259

27、）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6解析：C4.95lg Vlg V0.1V10-1101101011.2590.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.2.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处解析：A设仓库建在离车站x千米处，则y1k1x，y2k2x，根据给出的初始数据可得k120，k20.8，两项费用之和为y20x0.8x8，

28、当且仅当x5时，等号成立.3.在某市2023年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）.已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）A.1 500名B.1 700名C.4 500名D.8 000名解析：A因为学生的数学成绩X服从正态分布N（98，100），则P（X108）121P（88X108）121P（X）12（10.682 7）0.158 65，而0.158 659 4551 500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名.故选A.4.（2022新高考卷）南水北调工程缓解

29、了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（72.65）（）A.1.0109 m3B.1.2109 m3C.1.4109 m3D.1.6109 m3解析：C如图，由已知得该棱台的高为157.5148.59（m），所以该棱台的体积V139（140140180180）10660（1637）10660（1632.65）1061.4371091

30、.4109 （m3）.故选C.5.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi（x）（i1，2，3，4）关于时间x（x0）的函数关系式分别为f1（x）2x1，f2（x）x2，f3（x）x，f4（x）log2（x1），则下列结论正确的是（）A.当x1时，甲走在最前面B.当x1时，乙走在最前面C.当0x1时，丁走在最前面，当x1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲解析：CD甲、乙、丙、丁的路程fi（x）（i1，2，3，4）关于时间x（x0）的函数关系式分别为f1（x）2x1，f2（x）x2，f3（x）x，f4（x）log2（x1），它们对应

31、的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x2时，f1（2）3，f2（2）4，所以A不正确；当x5时，f1（5）31，f2（5）25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最前面，当x1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.6.（多选）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，

32、然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则以下说法正确的是（）A.椭圆轨道上任意两点距离最大为2RB.椭圆轨道的焦距为RrC.若r不变，则R越大，椭圆轨道的短轴越短D.若R不变，则r越小，椭圆轨道的离心率越大解析：BD设椭圆轨道的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.依题意得a+c=R,a-c=r,解得aR+r2，cR-r2.椭圆轨道上任意两点距离的最大值为2aRr，故A错误；椭圆轨道的焦距为2cRr，故B正确；椭圆轨道的短轴长2b2a2-c22Rr，若r不变，R越大，则2b越大，故

33、C错误；椭圆轨道的离心率ecaR-rR+r12RR+r，若R不变，r越小，则e越大，故D正确.故选B、D.7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析：一年的总运费与总存储费用之和为y6600x4x3 600x4x23 600x4x240，当且仅当3 600x4x，即x30时，y有最小值240.答案：308.某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y（mg/m3）与时间t（h）的函数关系式为ykt,0t12,1kt,t12（如图所示），实验表明，当药物释放量y0.75（mg/m

34、3）时对人体无害，则k；为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.解析：由题图可知，当t12时，y1，即1k121k2.由题意可得t12,12t0.75,解得t23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过236040（分钟）人方可进入房间.答案：2409.某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第年起，该公司经销这一产品将亏损.解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则

35、由题意知a1200，anan120（n2，nN*）.所以每年的利润an可构成一个等差数列an，且公差d20.从而ana1（n1）d22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an22020n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.答案：1210.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为vablog3Q10（其中a，b是实数）.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.（1）求出a，b的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低

36、于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog330100，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有ablog390101，整理得a2b1.解方程组a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.（2）由（1）知，v1log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log3Q102，即log3Q103，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.11.（多选）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室

37、气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标.某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f（x）Asin（x）b（A0，0，0），如图，则（）A.34B.函数f（x）的最小正周期为16C.xR，f（x）f（x8）40D.若g（x）f（xm）是偶函数，则m的最小值为2解析：ACD依题意A0，0，0，根据图象可知2A=30-10,b=20A=10,b=20,f（x）10sin（x）20，根据图象可知T21468，T16

38、，2T2168，B选项错误；f（x）10sin8x+20，f（6）10sin34+2010，sin34+1，0，343474，343234，A选项正确；f（x）10sin8x+3420.f（x8）10sin8(x+8)+342010sin8x+34+2010sin8x+3420，所以f（x）f（x8）40，C选项正确；g（x）f（xm）10sin8(x+m)+342010sin8x+8m+3420是偶函数，8m34k2，kZ，m8k2，kZ，所以当k0时，m的最小值为2，D选项正确.故选A、C、D.12.（多选）若f（x）满足f（x）f（x）0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（）A.f

39、（a）f（2a）B.f（a）e2af（a）C.f（a）f（0）D.f（a）f(0)ea解析：BD设h（x）exf（x），则h（x）exf（x）f（x），因为f（x）f（x）0，所以h（x）0，h（x）在R上是增函数，因为a是正实数，所以a2a，所以eaf（a）e2af（2a），即f（a）eaf（2a），又ea1，故f（a），f（2a）大小不确定，故A错误；因为aa，所以eaf（a）eaf（a），即e2af（a）f（a），故B正确；因为a0，所以eaf（a）e0f（0）f（0），即f（a）f(0)ea，又ea1，所以f（a），f（0）大小不确定，故C错误，D正确.故选B、D.13.某市出租车的计

40、价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费元.解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列an来计算车费.令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2（111）1.223.2（元）.答案：23.214.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定

41、该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车累计运输收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为（25x）万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车累计运输收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？（利润累计收入销售收入总支出）解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车累计运输收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx（x1）50x220x50（0x10，xN），由x220x500，可得1052x1052，210523，从第3年年底，该车累计运输收入超过总支出.（2）利润累计收入销售收入总支出，二手车出售后，小王的年平均利润为y+(25-x)x19x+25x（万元），19x+25x19109，当且仅当x5时，等号成立.在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期