2024届河北省百师联盟高三下学期开学摸底联考数学含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司2024 届高三开年摸底联考数学试题届高三开年摸底联考数学试题1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

2、回考试时间为考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试时间为 120 分钟，满分分钟，满分 150 分一、选择题：本题共分一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合2110,14Ax xBxx=-=，则AB=I（）A10,2B10,2C0,1D0,12复数32 i2iaza-=R在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3命题“221,log0 xx”的否定为（）A221,log0 xx C221,log0 xx$-D221,lo

3、g0 xx$的实轴长为 2，离心率为3，则双曲线的左焦点F到一条渐近线的距离为（）A2B2 2C1D25已知上底面半径为2，下底面半径为2 2的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）A14 6pB56pC14 63pD563p6已知实数,m n满足10mn，设lnlnln,nmnambncn=，则（）Aabc=BabcCcabDcab=7在ABC中，D为边BC上一点，2,4,23DACADABBDp=，且ADC的面积为4 3，则百师联盟2023-2024学年高三下学期开学摸底联考（新高考卷)数学试题学科网（北京）股份有限公司sin ABD=（）A1538-B153

4、8+C534-D534+8已知等差数列 na的前n项和为nS，若mn，且221122,mnnmaaaamn+=+=，则m nS+=（）A2()mn+B2()mn-+C22mn-D22nm-二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9下列说法正确的是（）A若随机变量2,0.2XB，则20.2P X=B若经验回归方程yxba=+中的0b，则变量x与y正相关C若

5、随机变量20,Nxs，且12Ppx-=，则11022Ppx的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴交于点Q，若2,1PFFQ=，则p=_；向量FPuuu r与PQuuu r的夹角为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）已知函数 1exf xax=+（1）讨论 fx的单调性；（2）若直线1y=与曲线 yfx=相切，求a的值（15 分）如图，在三棱台111ABCABC-中，111224 2ABACABAA=，113A ABA ACp=，2BACp=（

6、1）证明：111A ABC；（2）求直线1BB与平面11A ACC所成角的正弦值17（15 分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从 10 个数字 1，2，3，10中随机抽取的 3 个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若 3 个数的积为 3 的倍数且不为 5 的倍数时，中三等奖；若 3 个数的积为 5 的倍数且不为 3 的倍数时，中二等奖；若 3 个数的积既为 3 的倍数，又为 4 的倍数，且为 7 的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；（2）假设每张彩票售价为*a aN元，且三、二、一等奖的奖金分别为 5 元，10 元，

7、50 元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a的最小值18（17 分）已知椭圆22:143xyC+=的右焦点为,F A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线OA与椭圆交于另一点B，直线AF与椭圆交于另一点D（点BD、不重合）学科网（北京）股份有限公司（1）设直线,AD BD的斜率分别为,ADBDkk，证明：34ADBDkk=-；（2）点P为直线4x=上一点，记,PA PF PD的斜率分别为123,k k k，若12324kkk+=，求点P的坐标19（17 分）在数列 na中，若存在常数t，使得*1123nnaa a aat n+=+NL恒成立，则称数列 na为“H t数列”（1）若11ncn=+，试判

8、断数列 nc是否为“H t数列”，请说明理由；（2）若数列 na为“H t数列”，且12a=，数列 nb为等比数列，且2121logninniaabt+=+-，求数列 nb的通项公式；（3）若正项数列 na为“H t数列”，且11,0at，证明：ln1nnaa，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限故选C3 D 【解 析】全 称 量 词 命 题 的 否 定 为 存 在 量 词 命 题，所 以“221,log0 xx”的 否 定 为“221,log0 xx$，所以lnlnmn，又xyn=为减函数，所以lnlnmnnn，即bc=，故选 D学科网（北京）股份有限公司7A 【解析】113sin44 3

9、222ADCSADACDACAC=，解得4AC=，所以ADC为等腰三角形，6ADCp=，故56ADBABDp=中，由正弦定理得sinsinABBDADBBAD=，即21sin2BDBDBAD=，得1sin4BAD=因为56ADBp=，所以BAD为锐角，故15cos4BAD=，故13153sinsinsincossin6228ABDADCBADBADBADBADp-=-=-=-=故选 A8B 【解析】由题，1212,22mnmnm aan aanSmS+=，所以2112m ma mdn-+=，2112n na ndm-+=，两式作差得222212mnmnamndnm-+-+=-，化简得112mn

10、admn+-+=-+，即211()2mnmnamndmn+-+=-+，所以2()m nSmn+=-+，故选 B9BC 【解析】222(2)C(0.2)0.04P X=，A 错误；若经验回归方程ybxa=+中斜率0b，则变量x与y正 相 关，B 正 确；易 得 正 态 曲 线 关 于 直 线0 x=对 称，故1(0)2P x=，又1122PPpxx=-=，所以11022Ppx=-，C 正确；掷一枚骰子，设事件:A出现的点数为 1，事件:B出现的点数为 2，则A与B互斥，但A与B不互斥，D 错误故选 BC10BC 【解析】222sincos2sin sin22xxfxxxfxppp+=+=-，A

11、错误；令 0fx=，得sin0 x=或cos02x=，当3,22xpp-时，解得0 x=或xp=，故 fx在3,22pp-上有 2 个零点，B 正确；222sin cossinsin cos,2coscos12xfxxxxx fxxx=+=+-，令 0fx=，得cos1x=-或1cos2x=，且当,3xpp-时，0,fxfx单调学科网（北京）股份有限公司递增，所以 fx在3xp=-处取得极小值，C 正确；可知 fx的极大值为3 32,34fkkpp+=Z，这个极大值即为函数的最大值，fx的极小值为3 32,34fkkpp-=-Z，这个极小值即为函数的最小值，故12213 3,2x xfxfx-

12、R，D 错误故选 BC11 ACD 【解析】因为22fx+为奇函数，所以2222fxfx-+=-+，所以22fxfx-+=-+，故2fx+为 奇 函 数，A 正 确；又1322fxfx+=-，故11fxfx+=-，所 以 22fxfxfx=-=-+，故 4fxfx+=，所 以 fx是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数，所 以7122ff=-，且不能确定1122ff=-一定成立，故 B 错误；因为11fxfx+=-，所以11fxfx+=-，所 以1322ff=-，C 正 确；因 为22fxfx-+=-+，所 以22fxfx-+=+，故4fxfx-=+，又 4fxfx=+，所以 fxfx-=

13、，所以 fx为偶函数，D 正确，故选 ACD1214 【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则31,44PAP BBA=，又 31,44APP A=，所以 P BP A P B A=+P A P B A=1131144444+=1354 【解析】22sin 2cossinPbbaj=+，其中cos1tansin22sinbjbb=，所以sinaj+的最大值为 1，设2242sin 2cos4cos5costbbbb=+=-+，当25cos8b=时，t取得最大值54，所以P的最大值为54141；56p 【解析】由题得0,2pF，设2,2tP tp，

14、由22xpy=得22xyp=，求导得xyp=，所以直线l的斜率tkp=，则直线l的方程为22ttyxtpp-=-，易得,02tQ，所以学科网（北京）股份有限公司2222,12244tptpPFFQp=+=+=，解得1,3pt=当3t=时，333,1,22FPPQ=-uuu ruuu r，则3cos,2FP PQFP PQFP PQ=-uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r,0,FP PQpuuu r uuu r，故向量FPuuu r与PQuuu r的夹角为56p，当3t=-时，同理可得夹角为56p（第一空 2 分，第二空 3 分）15解：（1）fx的定义域为 1,e

15、xfxa=-R，当0a 时，0,fxfx时，令 0fx=，得lnxa=-，当,lnxa-时，0,fxfx单调递增综上，当0a 时，fx在R上单调递减；当0a 时，fx在,lna-上单调递减；在ln,a-+上单调递增（2）由题，1exfxa-=，设切点为00,xf x，则0010exfxa=-=，易知0a，故0lnxa=-又01fx=，即0011exax+=，将0lnxa=-代入，得ln10aa a-=设 ln1(0)h xxx xx=-，则 lnhxx=-当0,1x时 0,hxh x单调递增；当1,x+时 0,hxh x=，因为*aN，故a的最小值为 818（1）证明：设0011,D xyA

16、x y，则11,Bxy-，则2201010122010101ADBDyyyyyykkxxxxxx-+-=-+-又222211001,14343xyxy+=+=，两式作差得：22220101043xxyy-+=，即2201220134yyxx-=-，学科网（北京）股份有限公司所以34ADBDkk=-，得证（2）解：由题，A不与长轴两端点重合，设4,0Pmm，直线:1AF xty=+，与椭圆方程联立，并消去x得2234690tyty+-=设1122,A x yD xy，则12122269,3434tyyy ytt-+=+，所以20413mmk-=-，211212131212444444xmyxmy

17、mymykkxxxx-+-+=+=-又11221,1xtyxty=+=+，代入上式化简得22212121322221212223618663222234341899333393434tmttmmtmyyty ymtmmttkkttt yyt y yttt+-+=-+-+，所以1234243mkkk+=故3m=，所以点P的坐标为4,319（1）解：数列 nc不是“H t数列”理由如下：因为111nncnn+=+=，所以121nncn+=+又1 223411123nnc ccnn+=+LL，所以11 221111nnncc ccnnnn+-=-+=-+L，因为11nn-+不是常数，所以数列 nc不

18、是“H t数列”（2）解：因为数列 na为“H t数列”，由2121logninniaabt+=+-，得21221logninniaa aab=+L，所以12121211logninnniaa aa ab+=+L，两式作差得：21111221lognnnnnbaaa aab+=-+L又数列 na为“H t数列”，故112nnata aa+-=L设数列 nb的公比为q，学科网（北京）股份有限公司所以211121lognnnaaatq+=-+，即121log0ntatq+-+=对*n N成立，则210,log0,ttq+=+=得1,2tq=-=又21112 12,logaaab=+，得14b=，所以11422nnnb-+=，所以数列 nb的通项公式为12nnb+=（3）证明：设函数 ln1fxxx=-+，则 111xfxxx-=-=，当1,x+时，0fx，则 fx在1,+上单调递减，且 10fxf，则2111aata=+，故312121aa ata a=+，以此类推，可得对*,1nna N，所以 10nf af=，即ln10nnaa-+，所以ln1nnaa-得证