2024届深圳宝安区高三上学期期末考试数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司2024深圳市宝安区高三期末考试数学2024深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名答题前，考生务必将自己的姓名考生号考生号考场号考场号座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3.考试结束后，

2、将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.272.已知集合()()2,21,31Ax yyxxBx yyx=+，则AB的元素个数是（）A.0B.1C.2 D.无数 3.某单位有职工 500 人，其中男性职工有 320 人，为了解所有职工的身体健康情

3、况，按性别采用分层抽样的方法抽取 100 人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.644.“01x”是“11x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()54f xxxa=+在()1,1内有零点，则a的取值范围是（）A.()5,5 B.()(),55,+C.5,5 D.(),55,+6.如图，设抛物线24yx=的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点,A B C，其中点,A B在该抛物线上，点C在y轴上，若57,2FAFB=，则ABBC=（）学科网（北京）股份有限公司 A.83 B.72 C.

4、73 D.3 7.若函数()()2coscosf xxx=+的最大值是7，则常数的值可能是（）A.6 B.3 C.23 D.56 8.已知H是球O的直径AB上一点，:1:2,AH HBAB=平面,H为垂足，截球O所得截面的面积为,M为上的一点，且24MH=，过点M作球O的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142 B.114 C.144 D.112 二二多选题多选题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得

5、 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知数列 na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（）A.若2537aa a=，则 na是等比数列 B.若 na是等比数列，则2537aa a=C.若31nnS=，则 na是等比数列 D.若 na是等比数列，且3nnSa=+，则1a=10.直线():2310lmxym+=与圆22:244C xyxy+=，则（）A.圆C的半径为 2 B.直线l过定点()1,1 C.直线l与圆C一定有公共点 D.圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 3 11.若直线yaxb=+与曲线2lnyx=+相切，则ab+的取值可能为（）学科网（北京）股份有限公司 A.1 B.

6、2 C.3 D.6 12.在正三棱柱111ABCABC中，12,ABAAD E F=分别为111,AA BB CC的中点，P为棱1CC上的动点，则（）A.平面1AB F 平面11ABB A B.点1B到平面BCD的距离为2 3 C.1DB与DP所成角的余弦值的取值范围为1 3,5 5 D.以F为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A的交线长为4 39 三三填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知单位向量,a b满足23ab+=，则ab=_.14.函数()()()23log9f xxxa a=+R是奇函数，则()4fa=_.15.

7、为了检查学生的身体素质情况，从田径类 3 项，球类 2 项，武术类 2 项共 7 项项目中随机抽取 3 项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是_.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为(),0Fc，直线:30l xyc+=与C交于A，B两点，若3ABAF=，则C的离心率是_.四四解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，且cos21 3cosBB=.（1）求角B的值；（2）若2 7,bABC=的面积为6 3，

8、求ABC的周长.18.（12 分）在等差数列 na中，375818,24aaaa+=+=.（1）求 na的通项公式；（2）若1(1)nnnnba a+=，求数列 nb的前2n项和2nS.19.（12 分）学科网（北京）股份有限公司 已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生 女生 只喜欢羽毛球 0.3 0.3 只喜欢乒乓球 0.25 0.2 既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15（1）从该地中学生中随机抽取 1 人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也

9、喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取 100 人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X，求X的分布列和期望.20.（12 分）如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且SAB是边长为 4 的等边三角形，,C D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.（1）证明：DE平面SAC.（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.21.（12 分）已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab=的离心率是 3，点()4,3P在C上.（1）求C的标准方程.（2）已知直线l与C相切，且与C的两条渐近线分别交于,A B两点，O为坐标原点，试问OA OB 是否为定值？若是，求出

10、该定值；若不是，请说明理由.22.（12 分）已知函数()3f xxx=.（1）求()f x的极值；（2）已知()()0,sincostan26mfnf+=，证明：32mn+.学科网（北京）股份有限公司 深圳市宝安区高三期末考试数学深圳市宝安区高三期末考试数学 参考答案参考答案 1.B 因为()()()()322(2i)44ii2i34i2i63i8i4i2 11i+=+=+=+=+，所以复数3(2i)+的实部与虚部之和是2 1113+=.2.C 联立221,31,yxxyx=+整理得2520 xx=.由()2(5)4 12330=，得原方程组有两组解，即AB中有 2 个元素.3.A 由题意可

11、知抽取到的男性职工人数为10032064500=，女性职工人数为1006436=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628=.4.B 由11x，得01x，则“01x”是“11x”的必要不充分条件.5.A 易证()f x是R上的增函数.因为()f x在()1,1内有零点，所以()()1140,1140,fafa=+解得55a.6.D 由57,2FAFB=，可得517,12ABxx+=+=，即36,2ABxx=，所以362332ABBCABxxBCxx=.7.B 因为()()()222cos cos2sin sincos2sin sin2cos1 cos(2sin)(2cos1)si

12、nf xxxxxxx=+=+=+，所以22(2sin)(2cos1)7+=，所以1cos2=，则()2 3kk=Z.8.C 如图，设截得的截面圆的半径为r，球O的半径为R，因为:1:2AH HB=，所以13OHR=.由勾股定理得222RrOH=+，由题意得2,rr=1，所以22113RR=+，解得298R=.此时过点M作球O的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O到所求截面的距离为d，所求截面的半径为r，则22rRd=，所以只需球心O到所求截面的距离d最大即可，而当且仅当OM与所求截面垂直时，球心O到所求截面的 学科网（北京）股份有限公司 距离d最大，即22max11

13、32dOMRMH=+=，所以min9114844r=.9.BCD 当0na=时，满足2537aa a=，但 na不是等比数列，则A错误.由等比数列的性质可知2537aa a=，则 B 正确.由31nnS=，得1131nnS=，则()112 32nnnnaSSn=，当n 1=时，112aS=，则12 3nna=，从而可知 na是等比数列，则 C 正确.由3nnSa=+，得1233,6,18aa aa=+=.由等比数列的性质可知2213aa a=，即()2618 3a=+，解得1a=，则 D 正确.10.BCD 由题意可得圆C的圆心坐标为()1,2，半径为 3，直线l过定点()1,1，则A错误，B

14、正确.因为点()1,1在圆C上，所以直线l与圆C一定有公共点，则C正确.圆C的圆心到直线l的距离的最大值是22(12)(1 1)3+=，则D正确.11.BCD 设切点为()00,2lnxx+，因为1(2ln)xx+=，所以01ax=.又因为切点()00,2lnxx+在直线yaxb=+上，所以002ln1xaxbb+=+=+，解得01 lnbx=+，所以0011lnabxx+=+.令()11lng xxx=+，则()22111xgxxxx=+=，易知()g x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()min()12g xg=，故ab+的取值范围为)2,+.12.ACD 对于A，取1

15、AB的中点G，连接,FG DE（图略），易知G也是DE的中点，在1AB F中，因为1,FAFB G=为1AB的中点，所以1FGAB.在DEF中，因为,FDFE G=为DE的中点，所以FGDE.又因为1,AB DE 平面11ABB A，所以FG 平面11ABB A.又因为FG 平面1AB F，所以平面1AB F 平面11,AABB A正确.对于B，设点1B到平面BCD的距离为h，易知11125 12,2 2222BCDBB DSS=，因为 学科网（北京）股份有限公司 11BBCDC BB DVV=，所以1122333h=，解得3h=，B 错误.对于C，取BC的中点Q，连接AQ（图略），易知AQB

16、C.以A为坐标原点，向量,CB AQ ，1AA的方向分别为,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()10,0,1,1,3,2DB，设()1,3,02Ptt，则()()11,3,1,1,3,1DBDPt=.设1DB与DP所成的角为，则()224115cos15(1)4525ttttt+=+.令()111utu=，则254cos154uu=+，当0u=，即1t=时，5cos5=；当01u，即12t 时，54cos145uu=+，可知53cos55；当10u，即01t 时，可知15cos55.综上，1DB与DP所成角的余弦值的取值范围为1 3,5 5，C 正确.对于D，由A选项中的结论知

17、FG 平面11,3ABB A FG=.又因为球面的半径为393，所以以F为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A的交线（圆的一部分）的半径为22392 3(3)33=.如图，2 3,3GMGE=1，所以3cos2MGE=，解得6MGE=.由圆与正方形的对称性知6MGN=，所以球面与侧面11ABB A的交线长为2 34 34369=，D正确.13.3 因为23ab+=，所以22443aa bb+=，所以12a b=，则222()23abaa bb=+=，故3ab=.学科网（北京）股份有限公司 14.1 因为()()23log9f xxxa=+，所以()()23log9fxxxa=+.因为(

18、)f x是奇函数，所以()()0f xfx+=，即()()2233log9log90 xxaxxa+=，所以32log 92a=，解得1a=，则()()234log44911fa=+=.15.2235 从这 7 项项目中随机抽取 3 项的情况有37C35=种，抽取的 3 项属同一类的情况有33C1=种，抽取的 3 项包含三类的情况有111322C C C12=种，则符合条件的情况有35 1 1222=种，故所求概率为2235.16.109 设()()1122,A x yB xy，因为3ABAF=，所以1212yAFyBF=，所以212yy=.联立222230,1,xycxyab+=+=整理得(

19、)22224960abyb cyb+=，则21212269b cyyyab+=+，412229by yab=+，从而22422226299b cbabab =+，整理得228110ca=，故109cea=17.解：（1）因为cos21 3cosBB=，所以22cos11 3cosBB=，所以22cos3cos20BB+=，所以()()2cos1 cos20BB+=，则1cos2B=或cos2B=（舍去）.因为0B，可得3333x，所以()f x在33,33上单调递增，在3,3和3,3+上单调递减.所以()f x的极大值为()32 3,39ff x=的极小值为32 339f=.（2）证明：由()()sincostan6mfnf+=，可得223cossinsincos3mn+=，学科网（北京）股份有限公司 所以3cossin3sin cosmn+=.由对称性，不妨设0,4，则()3cossincos3sin cosmnmn+=+，当且仅当sincos=时，等号成立，所以()23333sin cos3 sinsinmn+=.由（1）可知()f x在20,2上的最大值为32 339f=，所以()332 3330sinsin,923 sinsin.