2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案含解析新人教A版20230519139.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案含解析新人教A版20230519139第六节正弦定理和余弦定理一、教材概念结论性质重现1余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C余弦定理的推论：cos A，cos B，cos C.2正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2R，其中R是三角形外接圆的半径正弦定理的变形公式：(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(2)sin A，sin B，

2、sin C.(3)abcsin Asin Bsin C若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题3三角形的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aacsin Babsin C(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)4常用结论在ABC中，常用以下结论：(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(A

3、B)tan C；sin cos ；cos sin .(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(6)ABabsin Asin Bcos Ac2是ABC为锐角三角形的必要不充分条件()(4)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()ABC2D3D解析：由余弦定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)故选D3在ABC中，若a2，c4，B60，则b等于()A2B12C2D28A解析：由余弦定理b2a2c22accos B，

4、得b2416812，所以b2.4在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()ABCD1B解析：根据正弦定理，有，得sin B.故选B5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，A45.若三角形有两解，则边b的取值范围是_(2，2)解析：如图，ABC有两解的充要条件是bsin 452b，解得2b0，所以sin A1，所以A，故ABC为直角三角形若本例条件变为，判断ABC的形状解：由，得，所以sin Acos Acos Bsin B，所以sin 2Asin 2B因为A，B为ABC的内角，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形1判断三角形形

5、状的常用途径2判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中，要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解1在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形A解析：由cos B12sin2得sin2，所以，即cos B.(方法一)由余弦定理得cos B，即a2c2b22a2，所以a2b2c2.所以ABC为直角三角形又无法判断两直角边是否相等，故选A(方法二)由正弦定理得co

6、s B，又sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，即sin Bcos C0.又sin B0，所以cos C0，又角C为三角形的内角，所以C，所以ABC为直角三角形又无法判断两直角边是否相等，故选A2给出下列命题：若tan Atan B1，则ABC一定是钝角三角形；若sin2Asin2Bsin2C，则ABC一定是直角三角形；若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则ABC一定是等边三角形其中正确命题的序号为_解析：因为tan Atan B1，且A，B为三角形内角，所以tan A0，tan B0，

7、所以A，B均为锐角又因为tan Ctan(AB)0，所以C为锐角，所以ABC不是钝角三角形，故错误由正弦定理及条件，得a2b2c2，所以ABC一定为直角三角形，故正确由cos(AB)cos(BC)cos(CA)1及A，B，C为三角形内角，可得cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，所以ABC故正确考点3三角形的面积综合性(2020广东化州二模)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若SABC2，ab6，2cos C，则c()A2B2C4D3B解析：因为1，所以2cos C1，所以C60.若SABC2，则absin C2，所以ab8.因为ab6，所以c2a2b22abcos

8、C(ab)22abab(ab)23ab623812，所以c2.故选B(2021龙岩联考)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD4，且ACD为正三角形，则ABC面积的最大值为_，四边形ABCD的面积为_(注：圆内接凸四边形对

9、角互补)4解析：如图，设ACD的边长为a.根据托勒密定理可得4aaABaBC，所以ABBC4.根据基本不等式得ABBC4，当且仅当ABBC2时等号成立又ACD为等边三角形，所以ADC.根据圆内接凸四边形的对角互补得ABC.所以ABC的面积SABBCsin 4.所以ABC面积的最大值为.又因为ABDACD，CBDCAD，所以SABCDSABDSBCDABBDsinABDBCBDsinCBDsinBD(ABBC)4.(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B150.(1)若ac，b2，求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求C解：(1)由余弦定理得a2c22ac

10、cos Bb2，将ac，b2，B150代入，可得(c)2c22cccos 150(2)2，整理得7c228，解得c2.所以a2.所以SABCacsin B22.(2)因为ABC，所以sin Asin(BC)又因为sin Asin C，所以sin(BC)sin C，所以sin Bcos Ccos Bsin Csin C.将B150代入，整理得cos Csin C，即sin(C30).因为B150，所以0C30，即0C3060，所以C3045，解得C15.求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(

11、2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6解析：由余弦定理得b2a2c22accos B又因为b6，a2c，B，所以364c2c222c2，所以c2，a4，所以SABCacsin B426.2(2020全国卷)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.解析：ABAC，AB，AC1，由勾股定理得BC2.同理得BD，所以BFBD，在ACE中，AC1，AE

12、AD，CAE30，由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos 3013211，所以CFCE1，在BCF中，BC2，BF，CF1，由余弦定理得cosFCB.3(2020菏泽高三联考)在B，a2，bcos Aacos B1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S.若4Sb2c2a2，b，且_，求ABC的面积S的大小解：因为4Sb2c2a2，cos A，Sbcsin A所以2bcsin A2bccos A显然cos A0，所以tan A1.又A，所以A.若选，B，由，得a2.又sin Csin(AB)sin(A

13、B)sin Acos Bcos Asin B，所以Sabsin C2.若选，a2，由，得sin B.因为B，所以cos B.又sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以Sabsin C2.若选，bcos Aacos B1，所以acos B1，即a1，所以a262cc2.又a26c22c6c22c，所以62cc26c22c，解得c1.所以Sbcsin A(1)sin .已知ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2b22c28，则三角形ABC面积的最大值为()ABCD四字程序读想算思ABC面积的最大值1.面积的表达式；2.以谁为变量？用适当的变量表示S转化

14、与化归a2b22c281.Sah；2.Sabsin C；3.边作变量；4.角作变量；5.海伦公式S2a2b2(1cos2C)；S1.均值不等式；2.函数最值；3.三角函数的性质思路参考：余弦定理角化边二次函数的最值B解析：因为a2b22c28，即a2b282c2，所以S2a2b2sin2Ca2b2(1cos2C)a2b2a2b2c2，故当a2b2，c2时，S2有最大值，所以ABC面积的最大值为.思路参考：设高转化，利用基本不等式B解析：如图，过点C作CDAB于点D设ADm，BDn，CDh.因为a2b22c28，所以m2n22h22c28.因为m2n2，当且仅当mn时取等号故m2n22h22c2

15、2h22c22h22ch4S，所以S，当且仅当mn，ch时取等号所以ABC面积的最大值为.思路参考：利用海伦公式S基本不等式B解析：设p(abc)，则pa(bca)，pb(acb)，pc(abc)所以S.因为a2b22c28，所以S.因为a2b22c28，所以4a2b2(a2b2)2(82c2)2.所以S.当c2时，S2有最大值.所以ABC面积的最大值为.思路参考：建系设点B解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系不妨令x10，y20，设A(x1,0)，B(x1，0)，C(x2，y2)因为a2b22c28，所以(x1x2)2y(x1x2)2y8x8，所以5x

16、xy4.因为Sx1y2，所以2S5xy4x4.所以S，当且仅当x20,5xy2时取等号所以ABC面积的最大值为.1本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助于三角函数的性质求最值，对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元2基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力3基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解

17、答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解：(1)由正弦定理和已知条件sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，得BC2AC2AB2ACAB由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC的周长取得最大值32.第七节解三角形应用

18、举例一、教材概念结论性质重现1仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为.3.方向角意义图示 相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误

19、，对的打“”，错的打“”(1)若从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)若点P在点Q的北偏东44，则点Q在点P的东偏北46()(4)方位角大小的范围是0，)，方向角大小的范围是()2如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80D解析：由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.3如图，为测量一棵树OP的高度，在地面上选取A，B两点，从A，

20、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.3030解析：在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.由正弦定理得，所以PB30()，所以树的高度OPPBsin 4530()(3030)(m)4如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km.解析：因为ADCADBCDB60，ACD60，所以DAC60，所以ACCD km

21、.在BCD中，DBC180CDBACDACB45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.所以AB km.所以A，B两点间的距离为 km.5要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用应

22、用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)解：在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1.因为ABD120，由正弦定理，解得AD(km)在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD即CD23CD60，解得CD(km)，BCBDCD(km)两个小时小王和小李可徒

23、步攀登1 25022 500(m)，即2.5km，而2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰1若将本例条件“BD1 km，AC3 km”变为“BD200 m，CD300 m”，其他条件不变，求这条索道AC的长解：在ABD中，BD200，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200 (m)在ABC中，DC300 m，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100 m.故这条索道AC长为100 m.2若将本例条件“ABC120，ADC150，BD1 km，A

24、C3 km”变为“ADC135，CAD15，AD100 m，作COAB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE50 m，如图”，求角的余弦值解：在ACD中，ADC135，CAD15，所以ACD30.由正弦定理可得AC100.在ACE中，由正弦定理可得sinCEA1，所以cos cossinCEA1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解提醒：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当考向2测量高度问题如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上

25、沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.226解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtABD中，AB200.在RtACD中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/

26、s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化1圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)

27、为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()ABCDD解析：由题意得，BAD73.526.547.在ABD中，由正弦定理可得，即，则AD.在ACD中，sinADCsin 73.5，所以AC.故选D2如图是改革开放四十周年大型展览的展馆国家博物馆现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30，45，且ABO60，AB50米，则OP为()A15米B25米 C35米D45米B解析：如图所示：由于OAP30，PBO45，ABO60，AB50米，OPAO，OPOB设OPx，则OAx，OBx，在OA

28、B中，由余弦定理得OA2OB2AB22OBABcosABO，即(x)2502x2250x，所以x225x1 2500，解得x25或x50(舍)3海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_米80解析：如图，在ACD中，DCA15，ADC150，所以DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)在BCD中，BDC15，BCD135，所以CBD30.由正弦定理，得，所以BC40

29、()(米)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB1 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 60020，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AD，BC. (1)若CD1，求四边形ABCD的面积；(2)若sinBCD，ADC，求sinADC解：(1)如图，连接BD，在RtABD 中，由勾股定理可得，BD2AB2AD24，所以BD2.在BCD中，由余弦定理可得，cos C.因为C为三角形的内角，故C，所以SABDAB

30、AD1，SBCDBCCDsin C(1)，故四边形ABCD的面积S.(2)在BCD中，由正弦定理可得，所以sinBDC.因为ADC，所以BDC，所以cosBDC，在RtABD中，tanADB，故ADB，所以sinADCsin.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题(3)养成应用方程思想解题的意识1如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB5，BC8，CD3，AD5，

31、且B与D互补，则AC的长为()A7 kmB8 kmC9 kmD6 kmA解析：在ACD中，由余弦定理得cos D.在ABC中，由余弦定理得cos B.因为BD180，所以cos Bcos D0，即0，解得AC249.所以AC7.2(2020山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB2，AD3，ADB2ABD，BCD.(1)求BD；(2)求BCD周长的最大值解：在ABD中，设BDx，ABD，则ADB2，因为，所以cos .由余弦定理得cos .整理得x28x150，解得x5或x3.当x3时，得ADB2，与AD2BD2AB2矛盾，故舍去，所以BD5.(2)在BCD中，设CBD，所以，

32、所以BCsin，CDsin ，所以BCCD10sin10.所以BCD周长的最大值为15.考点3解三角形与三角函数的综合问题(2020合肥模拟)已知函数f (x)cos2xsin(x)sin.(1)求函数f (x)在0，上的单调递减区间；(2)锐角ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f (A)1，a2，求ABC的面积的最大值解：(1)f (x)sin xcos xcos 2xsin 2xsin.令2k2x2k，得kxk(kZ)，所以函数f (x)在0，上的单调递减区间为和.(2)因为ABC为锐角三角形，所以0A，所以2A.又f (A)sin1，所以2A，即A.因为a2b2c22bc

33、cos Ab2c2bc2bcbcbc，当且仅当bc2时，等号成立又a2，所以bc4，所以SABCbcsin A.即ABC的面积的最大值为.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x)sin 2xcos2x(xR)，设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c，f (C)0.(1)求角C；(2)若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，求ABC的周长解：(1)f (x)sin 2xcos2xsin 2xcos 2x1sin1.因为f (C)sin10且C为三角形内角，所以C.(2)若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，则sin B2sin A0.由正弦定理得b2a，由余弦定理得cos，解得a1，b2，故ABC的周长为3.